Speciális unitér csoport

A speciális unitér csoport, jelölés szerint $\mathrm{SU}(n)$ a matematikában az olyan unitér $n\times n$ mátrixok csoportja, melyek determinánsa egy. A csoport asszociatív csoportművelete a mátrixszorzás, és mivel a speciális unitér csoport egy sima sokaság, amelyben a mátrixszorzás tetszőlegesen sokszor differenciálható, ezért egy Lie-csoport.

Az unitér mátrixok determinánsának abszolút értéke egy, ezt a tulajdonságot szűkíti tovább a speciális unitér csoport. Továbbá, a speciális unitér csoport normálosztója az unitér csoportnak ($\mathrm{U}(n)$), mely az $n\times n$ unitér mátrixok csoportja, mely részcsoportja az általános lineáris csoportnak. Formálisabb jelölés szerint $\mathrm{SU}(n)\subset \mathrm{U}(n)\subset \mathrm{GL}(n,ℂ)$.

Az $\mathrm{SU}(n)$ csoportok legegyszerűbb esete az $\mathrm{SU}(1)$, mely egy triviális csoport, tehát egyetlen eleme van, az egységelem, ami ebben az esetben $1$. Az $\mathrm{SU}(2)$ izomorf azon kvaterniók csoportjához, melyeknek normája egy, ezáltal diffeomorf a 3-gömbhöz. Mivel a gömbhéjon elhelyezkedő kvaterniókkal leírhatóak forgatások a háromdimenziós térben (egy előjelig bezárólag), létezik egy szürjektív homomorfizmus $\mathrm{SU}(2)$ és a speciális ortogonális forgatáscsoport $\mathrm{SO}(3)$ között, melynek magja az $\{I,-I\}$ halmaz, ahol $I$ az egységmátrixot jelöli. Mivel a kvaterniók identifikálhatóak a $\mathrm{Cl}(3)$ Clifford-algebra páros részével, így az $\mathrm{SU}(2)$ megegyeztethető a spinorok egyik szimmetriacsoportjával, a $\mathrm{Spin}(3)$ spincsoporttal.

Az speciális unitér csoportok rendkívül hasznosak a részecskefizika standard modelljében, főleg $\mathrm{SU}(2)$ az elektrogyenge kölcsönhatás leírásában, az $\mathrm{SU}(3)$ pedig a kvantum-színdinamikában.

Tulajdonságai

A speciális unitér csoport egy szigorúan valós Lie-csoport, melynek dimenziója egy valós sokaságként $n^2-1$. Topológiai tulajdonságai közé tartozik, hogy kompakt és egyszerűen összefüggő. Algebrailag besorolható az egyszerű Lie-csoportok közé,Sablon:Jegyzet tehát a csoport Lie-algebrája is egyszerű.

A speciális unitér csoport centruma izomorf a $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ciklikus csoporthoz, mely olyan diagonális mátrixokat tartalmaz, melynek minden eleme az $n$-edik komplex gyöke az 1-nek. Abban az esetben, amikor $n\ge 3$, az $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ a csoport külső automorfizmuscsoportja, míg az $\mathrm{SU}(2)$ külső automorfizmuscsoportja a triviális csoport.

Az $(n-1)$ ranggal rendelkező maximális tóruszok megadhatóak olyan diagonális mátrixok halmazaként, melynek determinánsa egy. Az $\mathrm{SU}(n)$ Weyl-csoportja a szimmetrikus csoport ${\mathrm{S}}_n$.

Lie-algebrája

Az $\mathrm{SU}(n)$ Lie-algebrája, jelölés szerint $𝔰𝔲(n)$, az olyan antihermitikus komplex mátrixok halmaza, melyek nyoma nulla. A Lie-algebra Lie-zárójele a mátrixok kommutátora. A részecskefizikában gyakran használnak egy alternatív definíciót, mely szerint a csoport Lie-algebrája a nulla-nyommal rendelkező hermitikus mátrixok halmaza, ellátva egy olyan Lie-zárójellel, ami a kommutátor megszorozva $-i$-vel. Az $𝔰𝔲(n)$ algebra dimenziója szintúgy $n^2-1$.

Struktúrája

Az $𝔰𝔲(n)$ komplexifikációja az $𝔰𝔩(n,ℂ)$, mely az $n\times n$-es nyommentes komplex mátrixok algebrája. Ennek Cartan-részalgebrái tehát nyommentes diagonális mátrixokat tartalmaznak, melyek bármelyike megegyeztethető egy olyan vektorral ${ℂ}^n$-ben, amelyek komponenseinek összege nulla. A gyökrendszerében ezáltal a $(1;-1;0;\dots ;0)$ számok $n(n-1)$ lehetséges permutációja található meg. Az egyszerű gyököket választhatjuk következőféleképpen:

$\begin{array}{cc}(& 1,-1,0,\dots ,0,0),\\ (& 0,1,-1,\dots ,0,0),\\ & ⋮\\ (& 0,0,0,\dots ,1,-1).\end{array}$

Következtetésképpen, az $\mathrm{SU}(n)$ csoport rangja $n-1$, Dynkin-diagrammja pedig $A_{n-1}$, melyet grafikusan egy $n-1$ taggal rendelkező lánccal jelölünk. Az $𝔰𝔲(n)$ Lie-algebra Cartan-mátrixa a következő:

$\left(\begin{array}{ccccc}2& -1& 0& \dots & 0\\ -1& 2& -1& \dots & 0\\ 0& -1& 2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 2\end{array}\right).$

Az $𝔰𝔲(n)$ Weyl-csoportja (vagy Coxeter-csoportja) az ${\mathrm{S}}_n$ szimmetrikus csoport, amely az $(n-1)$-szimplex szimmetriacsoportja.

Ábrázoláselmélete

Mivel az $\mathrm{SU}(n)$ egy egyszerűen összefüggő Lie-csoport, bármelyik ábrázolása (vagy reprezentációja) levezethető a csoporthoz tartozó $𝔰𝔲(n)$ Lie-algebra (vagy pedig annak komplexifikációjának) ábrázolásaiból. Mivel a csoport kompakt, így a Peter–Weyl-tétel kimondja, hogy az ábrázolásai felbonthatóak irreducibilis ábrázolások direkt összegeként. Továbbá, az $\mathrm{SU}(n)$ csoport nem kommutatív, így léteznek olyan irreducibilis ábrázolásai, melyeknek egynél nagyobb a dimenziója.

Fundamentális ábrázolása

Egy adott Lie-csoport fundamentális ábrázolása a legkisebb dimenziós nemtriviális irreducibilis ábrázolása. Az $𝔰𝔲(n)$ algebra esetén ez az az ábrázolás, amely megmutatja, hogy az algebra hogyan hat a ${ℂ}^n$ testre. Fizikában használt konvenció szerint az algebra generátorainak választhatjuk azokat a $T_a$ nyommentes hermitikus $n\times n$-mátrixokat, melyekre teljesül

$T_a{T}_b=\frac{1}{2n}{\delta }_{ab}{I}_n+\frac{1}{2}\sum _{c=1}^{n^2-1}(i{f}_{abc}+d_{abc})T_c$

ahol ${\delta }_{ab}$ a Kronecker-deltát, $f$ pedig a szerkezeti tényezőket jelöli, melyek minden indexükben antiszimmetrikusak, míg a $d$-vel jelölt állandók minden indexükben szimmetrikusak.

Következésképpen, a generátorok kommutátora a következő:

$[T_a,T_b]=i\sum _{c=1}^{n^2-1}{f}_{abc}{T}_c,$

a megfelelő antikommutátor pedig:

$\{T_a,T_b\}=\frac{1}{n}{\delta }_{ab}{I}_n+\sum _{c=1}^{n^2-1}{d}_{abc}{T}_c.$

A kommutátor a fizikusok által használt konvenció szerint úgy teljesíti a Lie-zárójelet definiáló feltételeket, ha tartalmazza az imaginárius egységet, matematikai irodalomban nem található meg, mivel ott a generátorok antihermitikus mátrixok.

Általában a következő normalizáció használatos:

$\sum _{c,e=1}^{n^2-1}{d}_{ace}{d}_{bce}=\frac{n^2-4}{n}{\delta }_{ab}.$

A generátorok teljesítik a Jabobi-identitást:

$[T_a,[T_b,T_c]]+[T_b,[T_c,T_a]]+[T_c,[T_a,T_b]]=0.$

A fizikusok által használt konvenció oka az, hogy így egyszerűbben leírhatók a fundamentális részecskék bizonyos tulajdonságai, mivel például $\mathrm{SU}(2)$ esetén generátorként választhatók a Pauli-mátrixok $1/2$-del megszorozva, továbbá az $\mathrm{SU}(3)$ csoportnál a Gell-Mann-mátrixok szintén egy ketteddel megszorozva. Ezen definíciók szerint a generátorok a következőt teljesítik:

$Tr(T_a{T}_b)=\frac{1}{2}{\delta }_{ab}.$

Adjungált ábrázolása

Egy adott Lie-algebra adjungált ábrázolása az az ábrázolása, melyben az önmagára vetett (Lie-zárójel általi) hatása mutatkozik meg. Ebben az esetben a generátorok olyan $(n^2-1)\times (n^2-1)$-es mátrixok, melyeket a szerkezeti tényezők definiálnak:

${\left(T_a\right)}_{jk}=-i{f}_{ajk}.$

Az SU(2) csoport

Az $\mathrm{SU}(2)$ olyan $2\times 2$-es unitér mátrixok csoportja, melyek determinánsa egy. Pontosabban kifejezve:

$\mathrm{SU}(2)=\{\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\bar{\beta }\\ \beta & \bar{\alpha }\end{array}\right)|\alpha ,\beta \in ℂ,|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1\},$

ahol például $\bar{\alpha }$ az $\alpha$ komplex konjugáltját jelöli. A csoportművelet a mátrixszorzás.

Kapcsolata a 3-gömbbel

Ha a definícióban szereplő $\alpha$ és $\beta$ komplex számokat felbontjuk valós és imaginárius részeikre, tehát $\alpha =a+bi,\beta =c+di$, akkor a determinánsra szabott feltétel a következő egyenlet lesz:

$a^2+b^2+c^2+d^2=1$

Ez pontosan az egységsugarú 3-gömb (${𝕊}^3$) egyenlete. Ezt a megfeleltetést lehet egy beágyazásnak is tekinteni: a leképezés

$\begin{array}{cc}\phi :{ℂ}^2\to & \mathrm{M}(2,ℂ)\\ \phi (\alpha ,\beta )=& \left(\begin{array}{cc}\alpha & -\bar{\beta }\\ \beta & \bar{\alpha }\end{array}\right),\end{array}$

ahol $\mathrm{M}(2,ℂ)$ a $2\times 2$-es komplex mátrixok halmazát jelöli, egy valós injektív lineáris leképezés. Tehát, $\phi$-nek a ${𝕊}^3$-ra vett korlátozása a 3-gömb beágyazása $\mathrm{M}(2,ℂ)$ egy kompakt részsokaságába, pontosabban $\phi ({𝕊}^3)=\mathrm{SU}(2)$.

Ennek következtében, ${𝕊}^3$ diffeomorf $\mathrm{SU}(2)$-vel, mely bizonyítja, hogy $\mathrm{SU}(2)$ egyszerűen összefüggő, ${𝕊}^3$ pedig ellátható egy olyan struktúrával, mely egy kompakt, összefüggő Lie-csoporttá teszi.

Kapcsolata az egységkvaterniókkal és a térbeli forgatásokkal

Az egységhosszú kvaterniókat röviden egységkvaternióknak hívjuk, és az $\mathrm{SO}(3)$ csoportot generálják. Az általánosan megadott $\mathrm{SU}(2)$ mátrix

$\left(\begin{array}{cc}a+bi& c+di\\ -c+di& a-bi\end{array}\right)(a,b,c,d\in ℝ)$

leképezhető a következő formájú kvaternióba:

$a\hat{1}+b\hat{i}+c\hat{j}+d\hat{k}.$

Ez a leképezés egy csoportizomorfizmus, a mátrix determinánsa pedig pontosan a kvaternió normája, tehát $\mathrm{SU}(2)$ izomorf az egységkvaterniók csoportjához.

Minden egységkvaternió megfelel egy háromdimenziós térbeli forgatásnak, az egységkvaterniók szorzata pedig a hozzájuk tartozó forgatások kompozíciójának. Továbbá, bármely háromdimenziós térbeli forgatás pontosan kettő különböző egységkvaternióval írható le. Pontosabban megfogalmazva létezik egy 2:1 szürjektív homomorfizmus $\mathrm{SU}(2)$ és $\mathrm{SO}(3)$ között. Ennek következtében, $\mathrm{SO}(3)$ izomorf az $\mathrm{SU}(2)/\{\pm I\}$ faktorcsoporthoz, $\mathrm{SU}(2)$ az $\mathrm{SO}(3)$ univerzális fedése, továbbá az $\mathrm{SO}(3)$-at definiáló sokaság létrehozható, ha ${𝕊}^3$ antipodális pontjait megfeleltetjük egymásnak.

Lie-algebrája

Az $\mathrm{SU}(2)$ csoport Lie-algebrájába azon $2\times 2$-es antihermitikus mátrixok tartoznak, melyek nyoma nulla. Pontosabban:

$𝔰𝔲(2)=\{\left(\begin{array}{cc}ia& -\bar{z}\\ z& -ia\end{array}\right)|a\in ℝ,z\in ℂ\}.$

Ezt az algebrát a következő három mátrix generálja:

$u_1=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right),u_2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),u_3=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right),$

melyek a következő kommutációs relációkat teljesítik:

$[u_3,u_1]=2u_2,[u_1,u_2]=2u_3,[u_2,u_3]=2u_1.$

Ezek a generátorok szoros összefüggésben állnak a kvantummechanikában alkalmazott Pauli-mátrixokkal: $u_1=i{\sigma }_1,u_2=-i{\sigma }_2$ és $u_3=+i{\sigma }_3.$ Ennek következtében az $𝔰𝔲(2)$ algebrával leírható a fundamentális részecskék (például elektronok) spinje.

Továbbá, a Lie-algebra ábrázolásainak segítségével levezethetőek az $\mathrm{SU}(2)$ ábrázolásai.

Az SU(3) csoport

Az $\mathrm{SU}(3)$ egy 8-dimenziós valós egyszerű Lie-csoport, mely olyan $3\times 3$-as unitér mátrixokat tartalmaz, melyek determinánsa egy.

Topológiai tulajdonságai

Az $\mathrm{SU}(3)$ csoport egyszerűen összefüggő és kompakt. A csoport topológiai struktúrája megérthető abból a tulajdonságából, hogy tranzitív módon hat az ${𝕊}^5$ egységgömbre a ${ℂ}^3\cong {ℝ}^6$ térben. A gömb bármelyik pontjának stabilizátora izomorf $\mathrm{SU}(2)$-vel, amely topológiailag a 3-gömb. Ebből következik, hogy $\mathrm{SU}(3)$ egy fibrált nyaláb, melynek bázistere ${𝕊}^5$, fibruma (vagy rostja) pedig ${𝕊}^3$. Mivel a fibrum és a bázistér is egyszerűen összefüggő, ebből következik, hogy $\mathrm{SU}(3)$ is egyszerűen összefüggő.

Homotópiacsoportok hosszú egzakt sorozatát vizsgálva bizonyítható, hogy az $\mathrm{SU}(3)$ csoport egy nemtriviális (csavart) $\mathrm{SU}(2)$-nyaláb ${𝕊}^5$ bázistér felett.

Lie-algebrája

Az $\mathrm{SU}(3)$ Lie-algebrája $𝔰𝔲(3)$, amely a $3\times 3$-as (fizikai konvenció szerint) hermitikus mátrixokat tartalmazza, melyek nyoma nulla. Az algebra generátorai a

$T_a=\frac{{\lambda }_a}{2},$

mátrixok, ahol ${\lambda }_a$ a Gell-Mann-mátrixokat jelöli, melyek a Pauli-mátrixok háromdimenziós megfelelői:

$\begin{array}{cccccc}{\lambda }_1=& \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),& {\lambda }_2=& \left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),& {\lambda }_3=& \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\\ {\lambda }_4=& \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right),& {\lambda }_5=& \left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right),\\ {\lambda }_6=& \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),& {\lambda }_7=& \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right),& {\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}& \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right).\end{array}$

A Gell-Mann-mátrixok a következő kommutációs és antikommutációs szabálynak tesznek eleget:

$\begin{array}{cc}[T_a,T_b]& =i\sum _{c=1}^8{f}_{abc}{T}_c,\\ \{T_a,T_b\}& =\frac{1}{3}{\delta }_{ab}{I}_3+\sum _{c=1}^8{d}_{abc}{T}_c,\end{array}$

ahol $f$ a Lie-algebra szerkezeti tényezőjeit jelöli. Ezek $𝔰𝔲(3)$ esetén a következők:

$\begin{array}{cc}{f}_{123}& =1,\\ f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}& =\frac{1}{2},\\ f_{458}=f_{678}& =\frac{\sqrt{3}}{2},\end{array}$

ahol olyan $f_{abc}$, melyek nem érhetőek el az előbb felsoroltak permutációjaként, automatikusan nullák. A szimmetrikus $d$ tényezők a következők:

$\begin{array}{cc}{d}_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}& =\frac{1}{\sqrt{3}}\\ d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}& =-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\ d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}& =\frac{1}{2}.\end{array}$

Egy általános $\mathrm{SU}(3)$ csoportelem, melyet egy $H$ $3\times 3$-as hermitikus nyommentes mátrix generál, leírható a következő másodfokú mátrixpolinommal:

$\begin{array}{cc}\exp (i\theta H)=& [-\frac{1}{3}I\sin (\phi +\frac{2\pi }{3})\sin (\phi -\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{2\sqrt{3}}H\sin (\phi )-\frac{1}{4}{H}^2]\frac{\exp (\frac{2}{\sqrt{3}}i\theta \sin (\phi ))}{\cos (\phi +\frac{2\pi }{3})\cos (\phi -\frac{2\pi }{3})}\\ & +[-\frac{1}{3}I\sin (\phi )\sin (\phi -\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{2\sqrt{3}}H\sin (\phi +\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{4}{H}^2]\frac{\exp (\frac{2}{\sqrt{3}}i\theta \sin (\phi +\frac{2\pi }{3}))}{\cos (\phi )\cos (\phi -\frac{2\pi }{3})}\\ & +[-\frac{1}{3}I\sin (\phi )\sin (\phi +\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{2\sqrt{3}}H\sin (\phi -\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{4}{H}^2]\frac{\exp (\frac{2}{\sqrt{3}}i\theta \sin (\phi -\frac{2\pi }{3}))}{\cos (\phi )\cos (\phi +\frac{2\pi }{3})}\end{array}$

ahol

$\phi \equiv \frac{1}{3}[\arccos (\frac{3\sqrt{3}}{2}\det H)-\frac{\pi }{2}].$

Általánosított speciális unitér csoport

Adott $F$ test esetén definiálható az általánosított speciális unitér csoport $SU(p,q;F)$, mely azon lineáris leképezések csoportja, melyek determinánsa egy és egy $F$ feletti $n=p+q$-dimenziós vektortérhez tartoznak. Továbbá, ezek a leképezések változatlanul hagynak egy nemelfajuló, szeszkvilineáris formát, melynek szignatúrája $(p,q)$. Az $F$ mező felcserélhető egy kommutatív gyűrűre, ebben az esetben viszont a vektortér felcserélődik egy szabad modulusra.

Amennyiben egy $(p,q)$ szignatúrával rendelkező $A\in \mathrm{GL}(n,ℝ)$ hermitikus mátrixot, akkor minden $M\in \mathrm{SU}(p,q;ℝ)$-re teljesül

$\begin{array}{cc}{M}^{*}AM& =A\\ \det M& =1.\end{array}$

Amennyiben a csoport $\mathrm{SU}(p,q)$-ként van jelölve bármiféle testre való utalás nélkül, akkor a test általában a komplex számtest $ℂ$.

SU(1,1)

Az $\mathrm{SU}(1,1)$ egy fontos példája az általánosított speciális unitér csoportoknak. Definíció szerint a következő:

$\mathrm{SU}(1,1)=\{\left(\begin{array}{cc}u& v\\ \overline{v}& \overline{u}\end{array}\right)\in M(2,ℂ):u\overline{u}-v\overline{v}=1\}.$

Ez a csoport izomorf az $\mathrm{SL}(2,ℝ)$ és a $\mathrm{Spin}(2,1)$ csoportokkal, ahol a vesszővel elválasztott két szám annak a kvadratikus alaknak a szignatúrájára utal, melyet a csoport változatlanul hagy. A definícióban található $u\overline{u}-v\overline{v}$ kifejezés egy hermitikus forma, melyből egy izotropikus másodfokú forma lesz, ha a $u$-t és $v$-t a valós komponenseire felbontjuk.

A csoport egy korai formája a kokvaterniók egységgömbjeként mutatkozott meg. Legyen

$j=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],k=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right],i=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right].$

A három mátrix szorzata a kétdimenziós egységmátrix, továbbá mind a három mátrix antikommutál, mint a kvaterniók esetében. Továbbá, $i$ ugyanúgy az egységmátrix $(-1)$-szeresének négyzetgyöke, azonban $j^2=k^2=I_2$. Mind a kvaterniók, mind a kokvaterniók esetén a skalármennyiségek $I_2$ többszöröseinek tekinthetők, így a továbbiakban a szakaszban az $I_2=1$ jelölés lesz alkalmazva.

A $q=w+xi+yj+zk$ kokvaternió (ahol $w$ egy skalár) konjugáltja $q^{*}=w-xi-yj-zk$, hasonlóan a kvaterniókhoz. Az általuk definiálható másodfokú forma $q{q}^{*}=w^2+x^2-y^2-z^2.$ A kokvaterniók egységgömbjében ez a mennyiség 1, mely így pontosan megfeleltethető az $\mathrm{SU}(1,1)$ csoportnak, ha a definícióban használt $u$ és $v$ komplex számokat felbontjuk valós és imaginárius részükre.

Fontos részcsoportok

A speciális unitér csoportot a fizikában fermionrendszerek szimmetriáinak leírására alkalmazzák. A spontán szimmetriasértés elméletében fontos bizonyos részcsoportjait felismerni. Például, a nagy egyesített elméletben jelentős részcsoportok $p>1,n-p>1$ esetén

$\mathrm{SU}(n)\supset \mathrm{SU}(p)\times \mathrm{SU}(n-p)\times \mathrm{U}(1),$

ahol a $\times$ a direkt szorzatot jelöli, $\mathrm{U}(1)$ pedig a körcsoport, mely olyan komplex számokat tartalmaz, melyek normája egy.

Bizonyos ortogonális és szimplektikus csoportok is részcsoportjai $\mathrm{SU}(n)$-nek:

$\begin{array}{cc}\mathrm{SU}(n)& \supset \mathrm{SO}(n),\\ \mathrm{SU}(2n)& \supset \mathrm{Sp}(n).\end{array}$

Az $\mathrm{SU}(n)$ részcsoportja a következő Lie-csoportoknak:

$\begin{array}{cc}\mathrm{SO}(2n)& \supset \mathrm{SU}(n)\\ \mathrm{Sp}(n)& \supset \mathrm{SU}(n)\\ {\mathrm{E}}_6& \supset \mathrm{SU}(6)\\ {\mathrm{E}}_7& \supset \mathrm{SU}(8)\\ {\mathrm{G}}_2& \supset \mathrm{SU}(3).\end{array}$

A következő izomorfizmusok gyakran használatosak: $\mathrm{SU}(4)=\mathrm{Spin}(6),\mathrm{SU}(2)=\mathrm{Spin}(3)=\mathrm{Sp}(1),\mathrm{Spin}(4)=\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$.

Jelentősége a fizikában

Az $\mathrm{SU}(n)$ az egyik legfontosabb szimmetriacsoport a fizikában. Az $\mathrm{SU}(2)$ leírja a perdületet a kvantummechanikában, ezáltal a spint is. A csoport irreducibilis ábrázolásait egyedi módon karakterizálják a Casimir-operátor sajátértékei, ebből levezethető, hogy a spin vagy egész szám, vagy egy egész szám fele: például az elektron spinje 1/2 vagy -1/2 lehet, (a Planck-állandót elméleti fizikai konvenció szerint eggyel egyenlővé tesszük) a Pauli-mátrixok pedig a fundamentális ábrázolás generátorai. Mivel az $\mathrm{SU}(2)$ csoportnak három generátora van, így az adjugált ábrázolása háromdimenziós: ez a spin-1 részecskéket írja le.

Az $\mathrm{SU}(3)$ csoport a részecskefizikában a színtöltést írja le: itt két Casimir-operátor van és az irreducibilis ábrázolásokat egy számpárral lehet identifikálni. Továbbá, az $\mathrm{SU}(3)$ segítségével osztályozhatók azok a hadronok, melyek könnyű (azaz top, down és strange) kvarkokból állnak.

Az $\mathrm{SU}(2)$ önmagával vett direkt szorzata (tehát $\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$) a relativisztikus kvantumelméletben is használt ortokrón Lorentz-csoport univerzális fedése.

Források

• Sablon:Cite book

Lásd még

• Az SU(2) ábrázoláselmélete részletesebben az angol Wikipédián
• Clebsch–Gordan-együtthatók az SU(3) ábrázoláselméletéhez az angol Wikipédián