Komplex konjugált

A z komplex szám és konjugáltja ábrázolása a komplex síkon

A matematikában a komplex konjugált egy komplex szám képzetes része előjelének megváltoztatásával képződik. Így a

$z=a+ib$

komplex szám (ahol $a$ és $b$ valós számok) konjugáltja

$\bar{z}=a-ib.$

A komplex konjugáltat időnként $z^{*}$-gal jelölik. A továbbiakban a jelölés $\overline{z}$ lesz, hogy elkerülhető legyen egy mátrix adjungáltjával való összecserélés. Megjegyzendő, hogy ha egy komplex számot $1\times 1$-es vektornak tekintünk, akkor a jelölések megegyeznek.

Például:

• $\overline{(3-2i)}=3+2i$
• $\bar{i}=-i$
• $\bar{7}=7$

A komplex számokat szokásosan a komplex sík egy pontjának fogják fel. A Descartes-féle koordináta-rendszerben az $x$-tengely tartalmazza a valós részt, az $y$-tengely pedig az $i$ többszöröseit (tehát az imaginárius részt). Ha a komplex számot a komplex számsíkon képzeljük el, akkor a konjugált az eredeti szám x-tengelyre vett tükörképe.

Polárkoordinátákban az $r{e}^{i\varphi }$ konjugáltja $r{e}^{-i\varphi }$. Ez könnyen igazolható az Euler-formulával.

Tulajdonságok

Az alábbi tulajdonságok minden $z$ és $w$ komplex számra igazak:

$\overline{(z+w)}=\bar{z}+\bar{w}$

$\overline{(zw)}=\bar{z}\bar{w}$

$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}$ , ha $w$ nem nulla

$\bar{z}=z$ akkor és csakis akkor, ha $z$ valós

$\left|\bar{z}\right|=\left|z\right|$

${\left|z\right|}^2=z\bar{z}$

$z^{-1}=\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2}$, ha $z$ nem nulla

Ha $p(x)$ valós együtthatós polinom, és $p(z)=0$, akkor $p(\bar{z})=0$ is teljesül. Így valós együtthatós polinomok nem-valós komplex gyökei konjugált párokat alkotnak.

A komplex számokból komplex számokba képező $z\mapsto \bar{z}$ függvény folytonos. Noha igen egyszerű, nem analitikus, mert orientációfordító, míg az analitikus függvények lokálisan orientációtartók. Mivel bijektív és megőrzi a műveleteket, a komplex számtest automorfizmusa. Mivel a valós számokat fixen hagyja, a $ℂ/ℝ$ testbővítés Galois-csoportjának eleme. $ℂ$-nek pontosan két olyan automorfizmusa van, ami a valósokat fixen hagyja: az identitás és a konjugálás, azaz az említett Galois-csoport kételemű.

Általánosítás

Általában, egy $F$ test feletti algebrai $\alpha$ elem konjugáltjainak $\alpha$ kanonikus polinomjának gyökeit nevezzük. (A kanonikus polinom az a legalacsonyabb fokú, 1 főegyütthatós polinom, aminek $\alpha$ gyöke.) Ez valóban általánosítja definíciónkat, hiszen az $a+bi$ nemvalós komplex szám kanonikus polinomja

$(x-(a+bi))(x-(a-bi))=x^2-2ax+(a^2+b^2).$

Ha $\alpha$ algebrai $F$ felett, kanonikus polinomja elsőfokú faktorokra esik szét a felbontási testben:

$(x-{\alpha }_1)\cdots (x-{\alpha }_n),$

ahol ${\alpha }_1=\alpha$. A felbontási test $F$-et fixen hagyó automorfizmusai megkaphatók az $\alpha \mapsto {\alpha }_i$ leképezések segítségével ($i=1,\dots ,n$).