Komplex számok

A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás (a valós számok halmazával ellentétben, ahol negatív számnak nincs négyzetgyöke), valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak. A valós szám fogalmának ilyen általánosítását a 16. századi algebrai problémák (casus irreducibilis) vetették fel, később a komplex számok a matematika más területein és a fizikában is alkalmazhatónak bizonyultak.

A komplex számok megalkotása

A komplex számok halmazát $ℂ$ vagy $𝐂$ betűvel jelöljük. Imaginárius (képzetes) egységnek az egyik olyan komplex számot nevezzük, amelynek a négyzete −1. Ennek jele i. (A másik komplex szám, melynek négyzete −1, a −i.)

A komplex számok származtatásának három lehetséges módja alább olvasható.

Halmazelméleti modell	Geometriai modell	Algebrai modell
$ℂ:=\{(x,y)|x,y\in ℝ\}$, azaz olyan rendezett párok, melyeknek elemei valós számok, tehát az $ℝ\times ℝ$ Descartes-szorzat.	$ℂ:=\{r\cdot {ℱ}_{\phi }|r\ge 0,\phi \in ℝ\}$, ahol az $r\cdot {ℱ}_{\phi }$ alakú leképezések közös kezdőponttal rendelkező síkbeli forgatva nyújtások (r a nagyítás mértéke, φ a szöge)	$ℂ:=ℝ[x]/(x^2+1)$, azaz a valós együtthatójú polinomok x2+1 polinommal történő osztásának maradékai. (Pontosabban az $ℝ[x]$ polinomgyűrű (x2+1) szerinti maradékosztályai)
Szorzás:	Szorzás:	Szorzás:
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)$	Itt $\cdot$ a függvénykompozíció ( $\circ$ ), konkrétan a síkbeli leképezések egymásutánja	a polinomok szorzása
Összeadás:	Összeadás:	Összeadás:
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$	a képpontba mutató vektorok összege	a polinomok összeadása
A szorzás egységeleme:	A szorzás egységeleme:	A szorzás egységeleme:
1 := (1,0)	1 := F0° = id (a nulla fokos forgatás)	1 := az azonosan 1 polinom
Az x2 = -1 egyenlet megoldása:	Az x2 = -1 egyenlet megoldása:	Az x2 = -1 egyenlet megoldása:
(0,1)$\cdot$(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1	F+90°$\circ$F+90° = F180° = – id = – 1	x$\cdot$x = x2 = (x2+1)-1 = 0-1 = -1

A három modellnek az a közös tulajdonsága, hogy mindegyik a valós számtest feletti 2 dimenziós vektortér, melyen egy szorzás is értelmezve van, ami az összeadással együtt testet alkot. Az ilyen algebrai struktúrát a valós számok testbővítésének nevezzük. Érvényes az a tétel, miszerint

a valós számok testének egyetlen olyan valódi testbővítése van, mely kommutatív és véges dimenziós.

Ezt az (izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározott) testbővítést a komplex számok halmazának nevezzük. A komplex számok fenti három értelmezése tehát kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon megfeleltethető egymásnak. Az előbbi tétel következményeként kijelenthetjük, hogy a komplex számok bizonyos értelemben a számkörbővítés utolsó állomásának tekinthető. Tovább csak úgy bővíthető a számkör, ha feladjuk a szorzás kommutativitását (kvaterniók) illetve ezen túl a szorzás asszociativitását (oktoniók).

Halmazelméleti modell

A rendezett valós számpárok összessége alkotja a komplex számok halmazelméleti modelljét. Az összeadást ebben a modellben az

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

formulával definiáljuk;

a szorzást a kissé légbőlkapott

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)$

egyenlőséggel. Ellenőrizhető, hogy ez az (R×R, +, $\cdot$) matematikai struktúra valóban testet alkot a

0 := (0,0) additív neutrális elem és a

1 := (1,0) multiplikatív neutrális elem

választásával.

Érdemes még felírni az additív inverz elemet:

$-(a,b)=(-a,-b)$

és a mutiplikatív inverz elemet minden nem nulla elem esetén:

$\frac{1}{(a,b)}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}).$

A valós számtestet az

R $\to$ R×R, a $\mapsto$ (a,0)

bijektív azonosítással kapjuk.

A kardinális kérdés, hogy melyik elem alkalmas -1 négyzetgyökének. A válasz (0,1) és (0,-1), mely közül i -vel jelöljük és imaginárius egységnek mondjuk a (0,1) elemet:

(0,1)² = (0,1)$\cdot$(0,1) = (0$\cdot$0 – 1$\cdot$1,1$\cdot$0 + 0$\cdot$1) = (-1,0) = -1

Ez a modell a komplex számok összeadási tulajdonságát teszi szemléletessé, visszavezetve azt a vektorösszeadásra.

Geometriai modell

A közös kezdőpontú, síkbeli forgatva nyújtások alkotják a komplex számok geometriai modelljét. Minthogy ezek egy (Descartes-féle derékszögű, ortonormált) koordináta-rendszer választásával azonosíthatók bizonyos lineáris leképezésekkel, érdemes rögtön a mátrixukra áttérni. A φ szöggel elforgató, r-szeresére nyújtó ${}_{r\cdot {ℱ}_{\phi }}$ leképezés mátrixa:

$[r\cdot {ℱ}_{\phi }]=r\cdot \left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)$

vagy az a := r$\cdot$cos(φ), b := r$\cdot$sin(φ) választással:

$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$.

Az ilyen alakú leképezések illetve mátrixok alkotják a geometriai modellt.

Itt a műveletek a következők lesznek. Az összeadás a mátrixösszeadás:

$[r\cdot {ℱ}_{\phi }+s\cdot {ℱ}_{\psi }]=[r\cdot {ℱ}_{\phi }]+[s\cdot {ℱ}_{\psi }]$

A szorzás a leképezések kompozíciója, ami mátrixokkal felírva a mátrixszorzás:

$[(r\cdot {ℱ}_{\phi })\circ (s\cdot {ℱ}_{\psi })]=[(r\cdot s)\cdot {ℱ}_{\phi +\psi }]=rs\left(\begin{array}{cc}\cos (\phi +\psi )& -\sin (\phi +\psi )\\ \sin (\phi +\psi )& \cos (\phi +\psi )\end{array}\right)$

Az additív neutrális elem a 0 szorosára nyújtó leképezés, illetve a nullmátrix, a multiplikatív egységelem a 0°-os elforgatás. Egy nemnulla elem multiplikatív inverze az ugyanolyan szögű, de ellenkező irányba forgató leképezés, melynek nyújtási tényezője az eredeti reciproka.

A +90°-os forgatás olyan leképezés, melyet egymás után kétszer végrehajtva az identitás leképezés ellentettjét, a 180°-os forgatást kapjuk, tehát megoldható az x² = -1 egyenlet.

Ez a modell a komplex számok szorzási tulajdonságait teszi szemléletessé.

Algebrai modell

Algebrai modellnek az R[x] polinomgyűrű (x²+1) főideálja szerinti R[x] / (x²+1) faktorgyűrűjét értjük, mely ellenőrizhető, hogy testet alkot. Ez praktikusan azt jelenti, hogy a komplex számok ekkor a valós együtthatós polinomok x²+1 polinommal történő osztási maradékai, tehát legfeljebb elsőfokú polinomok, ahol a műveleteket (összeadás, szorzás) a maradékokkal kell végeznünk. Az algebrai modellben az x²+1 polinomot úgy tekinthetjük, mint ami azonos a 0 polinommal, hiszen ezt saját magával maradékosan elosztva nullát kapunk:

$x^2+1\equiv 0$

Ebből következik, hogy az elsőfokú x polinom (mint polinomosztási maradék) megoldása az

$x^2\equiv -1$

egyenletnek. Ezt nevezzük ebben az esetben az imaginárius egységnek, amit i-vel jelölünk, és amely jelölés alkalmazásával az x²+1-tel történő osztás minden maradéka előáll az

$a+bi$

nevezetes algebrai alakban.

Ezek után az algebrai modellben minden azonosítás helyett az = jelet írhatjuk és figyelembe véve a polinomok és algebrai törtek műveleteit, minden testben végezhető műveletet ugyanúgy végezhetünk, mint a valós számok között, figyelve arra, hogy i azt az elemet jelöli, melyre

$i^2=-1;i^3=-i;i^4=1;i^5=i$

Számolás a komplex számok körében

Algebrai alak

Bárhogy is definiáljuk a komplex számok ${}_{ℂ}$ halmazát, benne megtaláljuk a multiplikatív egységelemet, az 1-et és az imaginárius egységet, az i-t. Ezek ketten bázist alkotnak a komplex számok kétdimenziós terében, ezért minden z ∈ ${}_{ℂ}$ komplex szám egyértelműen előállítható z = a$\cdot$1 + b$\cdot$i alakban, ahol a és b valós számok. Ennél fogva egyszerűbb áttérni a következő logikus jelölésre:

$z=a+b\cdot i$

Mivel a és b a z által egyértelműen van meghatározva, ezért ezeknek nevet is adhatunk. a-t a z szám valós részének nevezzük és

$\mathrm{R}\mathrm{e}z$

-vel jelöljük, b-t a z szám imaginárius részének:

$\mathrm{I}\mathrm{m}z$

vegyük észre, hogy az elnevezésével ellentétben, a definíció alapján az imaginárius rész nem imaginárius, hanem valós szám. Tehát:

$z=\mathrm{R}\mathrm{e}z+i\cdot \mathrm{I}\mathrm{m}z$

A komplex számok halmazán normát, vagy abszolút értéket is bevezethetünk, ha z = a + bi, akkor

$|z|:=\sqrt{a^2+b^2}$.

Geometriai ábrázolás

A geometriai ábrázolásban minden komplex szám a kétdimenziós sík egy vektorának feleltethető meg. Ez az ábrázolás a Gauss-féle számsík, vagy (hogy Gauss neve ne legyen túlterhelve és ennek az ábrázolási formának az első bevezetőjéről legyen elnevezve) Argand-diagram (Jean-Robert Argand). Így egy komplex számnak van hossza, ez pont az előzőekben definiált abszolút érték (mely az R²-beli euklideszi norma), és irányszöge, vagy arkusza, mely a valós tengellyel bezárt irányított szöge.

Trigonometrikus alak

A geometria és a halmazelméleti modell összevetéséből kiderül, hogy a z = a + bi komplex szám felírható

$z=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi )$

alakban, ahol r nemnegatív szám z modulusa, a φ radiánban megadott szögérték az árkusza. Ekkor persze

$a=r\cos \phi$ és

$b=r\sin \phi$.

A fordított reláció a sugarat ugyan igen, de az árkuszt nem egyértelműen fejezi ki:

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

Illetve nem nulla a esetén:

$\phi =\{\begin{array}{cc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{b}{a}\right),& \text{ha }a>0\\ \pi +\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{b}{a}\right),& \text{ha }a<0.\end{array}$

Érdemes továbbá megemlíteni, hogy a komplex számokon értelmezett arg függvény az alábbi képlettel vezethető vissza az arctg2 függvényre:

$\arg (a+bi)=\mathrm{arctg2}(b,a)$

Ennek az alaknak a komplex számok szorzásánál, hatványozásánál és a komplex számokból való gyökvonásnál vesszük hasznát. A z₁ és z₂ komplex számok triginometrius alakban felírt szorzata a geometriai modellhez hasonlóan:

$z_1\cdot z_2=r_1{r}_2(\cos (\phi +\psi )+i\sin (\phi +\psi ))$

A többtagú szorzás ugyanígy, speciális esetben a hatványozás:

$z^n=r^n(\cos (n\phi )+i\sin (n\phi ))$

amelyet r = 1 esetén felírva a Moivre-formulát kapjuk:

$(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n=\cos (n\phi )+i\sin (n\phi )$

Exponenciális alak

Mivel a komplex test normált, ezért léteznek és igazolható módon konvergensek a következő sorok:

$\sin z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{z}^{2k+1}$

$\cos z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{z}^{2k}$

$\exp z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{z}^n$

Ha a csupa páratlan tagot tartalmazó szinusz i-szeresét hozzáadjuk a csupa páros tagból álló koszinuszhoz, akkor az exponenciális olyan alakját kapjuk, melyben a változó i-vel van szorozva:

$\exp (iz)=e^{iz}=\cos z+i\sin z$

Mindez a valós z = φ-re is igaz, mely esetet Euler-formulának nevezzük:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$

Van, amikor a φ = π -re vonatkozó esetet nevezik Euler-formulának:

$e^{i\pi }=-1$

Tehát minden komplex szám előáll

$z=r{e}^{i\phi }$

alakban.

Az exponenciális alak segítségével a komplex számok szorzása, osztása és hatványozása a szokásos szabályok szerint folyik:

$z_1\cdot z_2=r_1{e}^{i{\phi }_1}\cdot r_2{e}^{i{\phi }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\phi }_1+{\phi }_2)}$

Feltéve, hogy r₂ nem nulla:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1{e}^{i{\phi }_1}}{r_2{e}^{i{\phi }_2}}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\phi }_1-{\phi }_2)}$

$z^n=r^n\cdot e^{in\phi }$

Érdemes a nemnulla komplex számokat teljesen exponenciális alakban írni:

$z=r{e}^{i\phi }=e^{{\phi }_0}{e}^{i\phi }=e^{{\phi }_0+i{\phi }_1}$

Ekkor a nemnulla z komplex szám komplex w kitevőjű hatványozása, ha v = φ₀+iφ₁, akkor

$z^w=(e^{{\phi }_0+i{\phi }_1}{)}^w=(e^v{)}^w=e^{v\cdot w}$

Gyökvonás komplex számokból

A gyökvonásról általában

Mielőtt továbblépnénk, jegyezzük meg, hogy az Euler-képlet segítségével egy komplex szám végtelen sokféleképpen felírható, mert az arkuszához formálisan akárhányszor hozzáadhatunk $2\pi$-t:

$z=R\cdot e^{i\cdot \varphi }=R\cdot e^{i\cdot (\varphi +k\cdot 2\pi )}$,

ahol k=0,1,2,…. Ez fontos, mert amikor $z$-ből n-edik gyököt vonunk, akkor egy olyan komplex számot keresünk, amelynek arkuszát n-nel szorozva visszakapjuk az eredeti arkuszt. De a fenti megjegyzés szerint nem csak $\frac{\varphi }{n}$ ilyen, hanem a következő arkuszok mind:

$\frac{\varphi }{n}+\frac{k\cdot 2\pi }{n}$,

ahol k=0,1,2, … n-1. Tehát n különböző n-edik gyök létezik

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{R\cdot \left(e^{i\cdot \varphi }\right)}=\sqrt[n]{R}\cdot e^{i\cdot (\frac{\varphi }{n}+\frac{k\cdot 2\pi }{n})}$, ahol k=0,1,2, … n-1.

Valóban, ezek mind olyan komplex számok, melyekre igaz, hogy n-edik hatványuk éppen $z$. Triviális példa az 1-szám. Ennek négyzetgyökei, mint az elemekből ismeretes $\pm 1$, vagyis a következő két (komplex) szám $e^0=1$ és $e^{i\cdot (0+\pi )}=-1$.

Példaképp most számoljuk ki a

$z=1+i=\sqrt{2}\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4}}$

komplex szám negyedik gyökeit. A mondottak szerint négy ilyen negyedik gyök van:

$\sqrt[8]{2}\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{16}}$,

$\sqrt[8]{2}\cdot e^{i\cdot \frac{9\cdot \pi }{16}}$,

$\sqrt[8]{2}\cdot e^{i\cdot \frac{17\cdot \pi }{16}}$ és

$\sqrt[8]{2}\cdot e^{i\cdot \frac{25\cdot \pi }{16}}$.

Valóban, például az utolsó gyököt a negyedik hatványra emelve:

${(\sqrt[8]{2}\cdot e^{i\cdot \frac{25\cdot \pi }{16}})}^4=\sqrt{2}{e}^{i\cdot \frac{25\cdot 4\cdot \pi }{16}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\cdot (\frac{\pi }{4}+3\cdot 2\pi )}=\sqrt{2}\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4}}=1+i$.

Rendezés

A komplex számok körében nem lehetséges definiálni olyan ≤ rendezési relációt, mely „kompatibilis” az összeadás és szorzás műveletekkel, így nem alkotnak rendezett testet (bár egyéb módon a komplex számok teste rendezhető (például a lexikografikus rendezéssel), sőt a jólrendezési tétel alapján jólrendezhető is, csak az ilyen rendezések egyike sem lesz kompatibilis a hagyományos +, · műveletekkel).

A komplex számtest algebrai és topologikus jellemzései

Tétel – Frobenius tétele – A valós számok teste feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrák (algebraizomorfizmus erejéig) a következők:

• a valós számok teste,
• a komplex számok teste,
• a kvaterniók teste.

Ennek a tételnek a következménye, hogy a valós számok testbővítései közül egy definiáló tulajdonság segítségével kiválaszthatjuk a komplex számok testét. Mivel minden test nullosztómentes, ezért elegendő azt a megszorítást tenni, hogy véges dimenziós (1, 2, vagy 4), valódi bővítése R-nek (dim > 1) és kommutatív (tehát nem a kvaternió ferdetest), ekkor eljutunk a komplex számok testéhez.

Felvetődik a kérdés, hogy a valós számokra való hivatkozás nélkül is kijelölhető-e a testek közül a komplex számtest.

Tétel – A komplex számok karakterizációja, mint test – Testizomorfizmus erejéig egyetlen olyan test van, mely:

• karakterisztikája 0,
• a prímteste feletti transzcendencia foka kontinuum,
• algebrailag zárt.

Ez a komplex számok teste.

(A prímtest, a minimális résztest (igazolható, hogy ez egyértelműen létezik), a transzcendencia foka a transzcendencia-bázis számossága (jelen esetben kontinuum). Algebrailag zárt egy test, ha minden legalább elsőfokú polinomjának van gyöke a testben.)

Ezzel a karakterizációval elveszítjük a komplex számok topologikus tulajdonságait, melyek a valós számokkal való kapcsolatából erednek. A komplex számok testének, mint topologikus testnek a karakterizációját Pontrjagin határozta meg első ízben:

Tétel – Pontrjagin tétele – Összefüggő, lokálisan kompakt topologikus testből csak kétféle van az izomorfizmus erejéig, éspedig a valós számok teste és a komplex számok teste.

Ennek segítségével úgy jellemezhető a komplex számtest, mint olyan, a fenti tulajdonságokkal rendelkező test, melyben a nemnulla elemek összefüggő halmazt alkotnak (ellentétben a valósokkal).

p-adikus analógia és általánosítás

A racionális számokból a komplex számokat a következő módon kapjuk. Először teljessé tesszük a racionális számok $\mathbb{Q}$ testét a szokásos (arkhimédeszi) abszolút értékre nézve: ez a valós számok $ℝ$ teste. Az így kapott test algebrai lezártja a komplex számok $ℂ$ teste.

Ezzel analóg módon definiálható a komplex számok p-adikus analogonja: ez a p-adikus számok testének olyan bővítése, ami egyszerre teljes és algebrailag zárt. Valóban, a p-adikus számok ${\mathbb{Q}}_p$ teste a racionális számok teljessé tétele a (nemarkhimédeszi) p-adikus abszolút értékre nézve, ez tehát a valós számoknak felel meg az arkhimédeszi esetben. A p-adikus számok algebrai ${\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{a}\mathrm{l}}$ lezártjára egyértelműen kiterjed a p-adikus abszolút érték, viszont ${\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{a}\mathrm{l}}$ nem teljes erre nézve. Például megmutatható, hogy a

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}^{3^{n^2}/2^{n^2}}$

sor részletösszegei Cauchy-sorozatot alkotnak, de a sor nem konvergál a ${\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{a}\mathrm{l}}$ testben.Sablon:Refhely A ${\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{a}\mathrm{l}}$ teljessé tétele viszont szükségképpen teljes, és megmutatható, hogy itt a teljessé tétel során nem vész el az algebrai zártság sem. Az így kapott test tehát teljes és algebrailag zárt: ez a komplex p-adikus számok ${ℂ}_p$ teste.Sablon:Refhely

Megmutatható, hogy a komplex számok $ℂ$ teste izomorf a komplex p-adikus számok ${ℂ}_p$ testével, viszont nem létezik $ℂ$ és ${ℂ}_p$ közötti topologikus izomorfizmus (azaz olyan testizomorfizmus, ami tiszteletben tartaná az egyes abszolút értékek által definiált topológiát).Sablon:Refhely

A komplex p-adikus számok fontos szerepet játszanak az aritmetikai geometriában és az algebrai számelméletben. Segítségükkel definiálhatók p-adikus L-függvények (ezek az L-függvények p-adikus avatarjai).Sablon:RefhelySablon:Refhely A komplex p-adikus számok felett megalkotható a komplex függvénytan analogonja, a p-adikus analízis: ennek egyik alkalmazása a Weil-sejtések egyikének Dwork-féle bizonyítása.Sablon:Refhely

A fenti konstrukció általánosítható: Kürschák József megmutatta, hogy bármely értékelt testnek létezik olyan bővítése, ami teljes és algebrailag zárt. Sőt, a minimális ilyen bővítést pontosan a fenti három lépés adja meg, azaz a testet először teljessé tesszük, majd algebrailag lezárjuk (az abszolút érték egyértelműen kiterjed erre), majd még egyszer teljessé tesszük.Sablon:Refhely

Alkalmazásai

A komplex számokat a gyakorlati és természettudományok igen széleskörűen alkalmazzák. Elsősorban a komplex függvények jelennek meg a gyakorlatban, de ezek értéke is komplex szám, aminek aztán fizikai értelmet adhatunk.

A legtipikusabb alkalmazás a rezgések és hullámok vizsgálata. Mivel ezeket szinusz és koszinusz függvények segítségével írjuk le, kézenfekvő az Euler-féle képlet alkalmazása. Ilyen módon a fázisszög is egyszerűen kiolvashatóvá válik a mozgást leíró függvényből. A rezgéseket Fourier-transzformáció segítségével tudjuk harmonikus rezgések összegére felbontani, amit szintén egyszerűbb komplex függvények segítségével megalkotni.

A Fourier-transzformációhoz hasonló Laplace-transzformáció a mérnöki alkalmazások során merül fel. Ennek szerepe, hogy bizonyos problémákat, különösen a differenciálegyenleteket hatékonyan és gyorsan tudjuk megoldani.

Igen speciális szerepet kapnak a komplex számok a modern fizikában, ugyanis a részecskéket leíró Schrödinger-egyenlet is komplex számokat alkalmaz. A függvényérték maga is általában komplex szám, így fizikai értéket nem a függvény, hanem az abszolútértéke, $\psi {\psi }^{*}$ képvisel, jelesül egy részecske előfordulásának valószínűségét.

Programozási nyelvek, amelyekben található komplex aritmetika

• C: #include <complex.h>;
• C++: #include <complex>;
• C#: using System.Numerics;
• D: import std.complex;
• Fortran: alapból kezeli
• Go: import "math/cmplx"
• Julia: alapból kezeli
• Matlab: alapból kezeli
• Octave: alapból kezeli
• Perl: use Math::Complex;
• Python: alapból ismeri, illetve további függvényekhez import cmath
• Rust: use num_complex::Complex;
• R: alapból kezeli

Kapcsolódó szócikkek

• Az algebra alaptétele

Források

• A PlanetMath complex szócikke Sablon:Wayback
• A PlanetMath complex number szócikke Sablon:Wayback
• A MathWorld complex number szócikke
• A komplex számok története
• Komplex számok szemléltetőfilmjeinek letöltő oldala – az 5. és a 6. fejezet (130 és 190 MB, angol, francia, spanyol vagy arab nyelvű hanggal)
• Sablon:Hely Sablon:Cite web
• Sablon:Hely Sablon:Cite book
• Sablon:Hely Sablon:Cite book
• Sablon:Hely Sablon:Cite journal

További információk

• Láng Csabáné: Példák és feladatok. Egyetemi jegyzet. 1. Komplex számok; ELTE, Budapest, 2003
• Szeitz Judit: Komplex számok. Főiskolai jegyzet; ZMNE BJKMFK, Budapest, 2004
• Komplex analízis, 1-2.; Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2004–2007
  • Teodor Bulboacă–Németh Sándor; 1.; 2004
  • Teodor Bulboacă–Salamon Júlia: 2. Feladatok és megoldások; 2007
• Takács Miklós: Komplex számok. Példatár; 3. jav. kiad.; Főiskolai, Dunaújváros, 2009
• Móricz Ferenc: Harmonikus analízis a komplex egységkörlapon; Polygon, Szeged, 2013 (Polygon jegyzettár)
• Kecskés Lajos: A halmaz peremén. Cirkálás a komplex végtelenben; Typotex, Budapest, 2021