Cauchy-sorozat

Egy Cauchy-sorozat ábrázolása

Egy nem Cauchy sorozat ábrázolása

A Cauchy-sorozatok Augustin Cauchy-ról kapták a nevüket, és fontos szerepet játszanak a matematikai analízisben. Szemléletesen, egy sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha a sorozat elejét le tudjuk vágni úgy, hogy a maradék elemek tetszőlegesen közel legyenek egymáshoz.

Definíció valós számsorozatokra

Egy {x₁,x₂,x₃,...} alakú, valós számokból álló sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha minden pozitív valós ε-hoz találunk olyan N egész számot, hogy az N-nél nagyobb indexű elemek közül bármely kettő közti távolság kisebb, mint ε.

$(\mathrm{\forall }\epsilon >0)(\mathrm{\exists }N=N(\epsilon ))(\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{N})[n>m>N\Rightarrow |x_n-x_m|<\epsilon ]$

A valós sorozatok esetében minden Cauchy-sorozatnak létezik határértéke, mert a valós számok halmaza teljes metrikus tér a szokásos abszolút érték metrikával.

Példák:

1. Az x_n=1/n, n=1,2,3,...sorozat Cauchy-sorozat. Ennek bizonyításához meg kell konstruálni az előre tetszőlegesen adott ε-hoz tartozó N=N(ε) küszöbindexet (a küszöbindex pozitív egész szám). Legyen tehát 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor
   
   

          $|x_n-x_m|=|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\epsilon ⟺m>\frac{1}{\epsilon }\Rightarrow N=N(\epsilon ):=\left[\frac{1}{\epsilon }\right]+1$

A fenti jelölésben [x] az x valós szám egész részét jelöli. A fenti N küszöbindex eleget tesz a Cauchy-kritériumban kirótt követelményeknek, tehát a sorozat Cauchy-sorozat. Ez a sorozat konvergens is, ha alaptérnek a valós számok halmazát tekintjük. Nevezetesen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0$.

1. Legyen $x_n:=\sum _{j=1}^n\frac{\cos (j)}{j^2}$. Megmutatjuk, hogy {x_n} Cauchy-sorozat. Most is legyen 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor
   
   

          $|x_n-x_m|=\left|\sum _{j=m+1}^n\frac{\cos (j)}{j^2}\right|\le \sum _{j=m+1}^n\frac{|\cos (j)|}{j^2}\le \sum _{j=m+1}^n\frac{1}{j^2}<\sum _{j=m+1}^n\frac{1}{j(j-1)}=\sum _{j=m+1}^n(\frac{1}{j-1}-\frac{1}{j})=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\epsilon ⟺m>\frac{1}{\epsilon }.$

Így a fenti sorozat valóban Cauchy sorozat. {x_n} valójában nem más, mint a $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (j)}{j^2}$ sor n-edik részletösszegeinek sorozata, vagyis azt bizonyítottuk, hogy a sor konvergens, hiszen a részletösszegek sorozata Cauchy-sorozat, így persze konvergens is.

Definíció metrikus terekre

A fenti definíció általánosítható úgy, hogy minden térben, ahol a távolság fogalma megfelelően értelmezett (azaz metrikus terekben), a Cauchy-sorozatok fogalma is értelmezett legyen.

Legyen $(X,d)$ metrikus tér. Ekkor az $x_n\in X$ sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden $\epsilon >0$-hoz van olyan $N$, hogy minden $n,m>N$ esetén $d(x_n,x_m)<\epsilon$.

Nevezetes átfogalmazás: az $x_n\in X$ sorozat Cauchy-sorozat akkor és csak akkor, ha bármely $\epsilon >0$-hoz található olyan $N$ küszöbszám, hogy a sorozat minden $N$-nél nagyobb $n$ indexű tagja benne van az $x_N$ elem $\epsilon$ sugarú környezetében. Ez formálisan így néz ki:

$(\mathrm{\forall }\epsilon >0)(\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})[n>N\Rightarrow d(x_n,x_N)<\epsilon ].$

Az ekvivalencia bizonyítása: Legyen $x_n\in X$ Cauchy-sorozat, és válasszunk egy $\epsilon >0$ számot. Így van olyan $N_1$ szám, hogy minden $n,m>N_1$ esetén $d(x_n,x_m)<\epsilon$. $N:=N_1+1$, így minden $n>N$ esetén $d(x_n,x_N)<\epsilon$.

Visszafele: legyen most $x_n\in X$ sorozat olyan, hogy teljesíti az átfogalmazásban leírt feltételt. Válasszunk $\epsilon >0$ számot. Eszereint van olyan $N$, hogy minden $n>N$ esetén $d(x_n,x_N)<\frac{\epsilon }{2}$. Legyen $n,m>N$, így a háromszög-egyenlőtlenség szerint: $d(x_n,x_m)\le d(x_n,x_N)+d(x_N,x_m)<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon ,$ vagyis a sorozat valóban Cauchy-sorozat.

Kapcsolódó definíciók

Egy metrikus teret teljesnek nevezünk, ha abban minden Cauchy-sorozat konvergens.

Példák

A valós számok a szokásos metrikát tekintve teljes metrikus teret alkotnak, azaz a számegyenesen minden Cauchy-sorozat konvergens.

Ezzel szemben ez nem igaz a racionális számokra. Ugyanis, ha tekintünk egy racionális számokból álló konvergens sorozatot, aminek a határértéke irracionális, akkor ennek a nyilván Cauchy-sorozatnak nincs határértéke a racionális számok körében.

Például:

• A következőképp definiált sorozat x₀ = 1, x_n+1 = (x_n + 2/x_n)/2 racionális számokból áll (1, 3/2, 17/12,…), mely a definícióból nyilvánvaló; mégis az irracionális $\sqrt{2}$ értékhez tart (Newton-módszer).

Tulajdonságok

• Minden Cauchy-sorozat korlátos.
• Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.

Források

• Encyclopedia of Mathematics-on
• MathWorld-ön