Euler-képlet

Az Euler-képlet a komplex matematikai analízis egy formulája, mely megmutatja, hogy szoros kapcsolat van a szögfüggvények és a komplex exponenciális függvény között. A képletet Leonhard Eulerről nevezték el. (Az Euler-összefüggés az Euler-képlet egy speciális esete.)

Az Euler-képlet azt állítja, hogy minden valós x számra igaz:

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

ahol

$e$ az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapja (=2,71828 …)

$i=\sqrt{-1}$ az imaginárius egység

Richard Feynman az Euler-képletet „becses szellemi drágakő”-nek és „a matematika egyik legfigyelemreméltóbb összefüggésé”-nek nevezte.

Története

Az Euler-képletet először 1714-ben Roger Cotes bizonyította az alábbi alakban:

$\ln (\cos (x)+i\sin (x))=ix$

(ahol „ln” a természetes alapú logaritmust jelenti, vagyis az e alapú logaritmust).

Euler volt az első, aki jelenlegi alakjában tette közzé 1748-ban, és a bizonyítást arra alapozta, hogy a két oldal végtelen sorai egyenlőek.

Egyikük sem vette észre a képlet geometriai interpretációját: a komplex számokra, mint a komplex sík geometriai pontjaira csak mintegy 51 évvel később Caspar Wessel gondolt.

Alkalmazás a komplex számok elméletében

A képlet úgy interpretálható, hogy az e^ix egy egységsugarú kört rajzol ki a komplex számok síkján, ahogy x az összes valós számot végigpásztázza. Itt x az a szög, mely a pozitív valós tengely és a pontot az origóval összekötő egyenessel bezár (radiánban).

Az eredeti bizonyítás az e^z exponenciális függvény (ahol z komplex szám) és a valós argumentumú sin x valamint a cos x szögfüggvény Taylor-sorba fejtésén alapul. (Lásd lejjebb).

Az Euler-képletet arra is lehet használni, hogy a komplex számokat polárkoordinátás alakban ábrázoljuk. Minden z = x + iy komplex szám felírható így:

$z=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|z|e^{i\varphi }$

$\overline{z}=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=|z|e^{-i\varphi }$

ahol

$x=\mathrm{R}\mathrm{e}\{z\}$ a valós rész,

$y=\mathrm{I}\mathrm{m}\{z\}$ a képzetes rész,

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ a z abszolút értéke,

$\varphi$ a z argumentuma (a szög az x tengely és a z vektor között). A szög pozitív értéke az óramutató járásával ellenkező irányú, és radiánban mérjük.

Az Euler-képlet segítségével definiálható a komplex szám logaritmusa is. Használjuk fel ehhez az alábbi azonosságokat:

$a=e^{ln(a)}$

és

$e^a{e}^b=e^{a+b}$

mindkettő igaz bármely a és b komplex számra, így írható:

$z=|z|e^{i\varphi }=e^{\ln |z|}{e}^{i\varphi }=e^{\ln |z|+i\varphi }$

minden $z\ne 0$-ra. Mindkét oldal logaritmusát véve:

$\ln z=\ln |z|+i\varphi .$

és valóban ezt a komplex logaritmus definíciójaként lehet használni. Egy komplex szám logaritmusa ezért többértékű függvény, mivel $\varphi$ többértékű.

Végül a másik exponenciális összefüggés:

$(e^a{)}^k=e^{ak},$

melyről be lehet látni, hogy minden k egész számra igaz és az Euler-képlet néhány trigonometriai azonosságot eredményez, mint például a De Moivre-képlet.

Kapcsolata a trigonometriával

Az Euler-képlet szoros kapcsolatot teremt a matematikai analízis és a trigonometria között és lehetővé teszi a szinusz- és koszinuszfüggvényeknek az exponenciális függvény súlyozott összegeként való értelmezését:

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$

Ezt a két egyenletet az alábbi Euler-képletek összeadásával és kivonásával

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos x-i\sin x$

majd egyiket koszinuszra és szinuszra megoldva lehet levezetni.

Ezek a kifejezések akár a szögfüggvények definíciós képletei is lehetnek komplex x argumentumokra. Például, ha x = iy, ezt kapjuk:

$\cos (iy)=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\cosh (y)$

$\sin (iy)=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\sinh (y).$

Más alkalmazások

Differenciálegyenleteknél az e^ix függvényt gyakran a deriválások egyszerűbb alakra hozásához használják, különösen, ha a végső megoldás szögfüggvényeket tartalmazó valós függvény. Az Euler-összefüggés az Euler-képletből könnyen levezethető.

Az elektrotechnikában és más területeken az időben periodikusan változó jeleket gyakran a szinusz- és koszinuszfüggvények kombinációjaként írják le (lásd Fourier-analízis), és ezeket kényelmesebb képzetes kitevőjű exponenciális függvények valós részeként kifejezni az Euler-képlet segítségével. Áramkörök fázis analízisénél is az Euler képlet segítségével könnyű tárgyalni a kapacitások és impedanciák figyelembevételét.

Bizonyítások

Taylor-sor felhasználásával

A következő bizonyítás a Taylor-sorokat és az i hatványainak egyszerű összefüggéseit használja fel:

$\begin{array}{cccccccc}{i}^0& =1,& i^1& =i,& i^2& =-1,& i^3& =-i,\\ i^4& =1,& i^5& =i,& i^6& =-1,& i^7& =-i,\\ \end{array}$

és így tovább. Az e^x, cos(x) és sin(x) függvényt (feltéve, hogy x valós szám) az origón kifejtett Taylor-sorával lehet felírni:

$\begin{array}{cc}{e}^x& =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \\ \cos x& =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \\ \sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \end{array}$

Komplex z-re ezeket a függvényeket a fenti sorokkal definiáljuk azzal, hogy x helyébe z-t írunk. Ez azért lehetséges, mert mindkét sor konvergenciatartománya végtelen. Ebből következik:

$\begin{array}{cc}{e}^{iz}& =1+iz+\frac{(iz{)}^2}{2!}+\frac{(iz{)}^3}{3!}+\frac{(iz{)}^4}{4!}+\frac{(iz{)}^5}{5!}+\frac{(iz{)}^6}{6!}+\frac{(iz{)}^7}{7!}+\frac{(iz{)}^8}{8!}+\cdots \\ & =1+iz-\frac{z^2}{2!}-\frac{i{z}^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{i{z}^5}{5!}-\frac{z^6}{6!}-\frac{i{z}^7}{7!}+\frac{z^8}{8!}+\cdots \\ & =(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-\cdots )+i(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots )\\ & =\cos (z)+i\sin (z)\end{array}$

A kifejezések átrendezése igazolható, mivel mindegyik sor abszolút konvergens. z = x felvételével az eredeti azonosságot kapjuk abban a formában, ahogy Euler felfedezte.

Deriválás felhasználásával

Definiáljuk a $f$ függvényt a következőképpen:

$f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}.$

Ez lehetséges, mivel az

$e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1$

egyenlet magában foglalja, hogy $e^{ix}$ sohasem zéró.

Az $f$ deriváltja a törtfüggvények deriválási szabálya szerint:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix}{)}^2}=\\ & =\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix}{)}^2}=\\ & =\frac{(-1-i^2)\cdot \sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix}{)}^2}=\\ & =\frac{(-1-(-1))\cdot \sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix}{)}^2}=\\ & =0.\end{array}$

Ennélfogva az $f$-nek konstans függvénynek kell lennie. Így

$\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}=f(x)=f(0)=\frac{\cos 0+i\sin 0}{e^0}=1.$

Átrendezve:

$\cos x+i\sin x=e^{ix}.$

Q.E.D.

Közönséges differenciálegyenletek felhasználásával

Definiáljuk a g(x) függvényt az alábbiak szerint:

$g(x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{e}^{ix}.$

Figyelembe véve, hogy i állandó, g(x) első és második deriváltja

$g^{\prime }(x)=i{e}^{ix}$

$g^{″}(x)=i^2{e}^{ix}=-e^{ix}$

mivel definíció szerint i ² = ‒1. Ebből az alábbi lineáris másodrendű közönséges differenciálegyenlet szerkeszthető:

$g^{″}(x)=-g(x)$

vagy

$g^{″}(x)+g(x)=0.$

Ezt a differenciálegyenletet két lineárisan független megoldás elégíti ki:

$g_1(x)=\cos (x)$

$g_2(x)=\sin (x).$

Mind a cos(x), mind a sin(x) valós függvény, melynek második deriváltja egyenlő az eredeti függvény -1-szeresével. A megoldások bármely lineáris kombinációja is megoldás, így a differenciálegyenlet általános megoldása:

$g(x)$	$=A{g}_1(x)+B{g}_2(x)$
	$=A\cos (x)+B\sin (x)$

tetszőleges A és B esetén. Azonban ennek a két állandónak nem minden értéke elégíti ki a g(x) függvény alábbi kezdeti feltételeit:

$g(0)=e^{i0}=1$

$g^{\prime }(0)=i{e}^{i0}=i$.

Behelyettesítve az általános megoldást a kezdeti feltételekbe:

$g(0)=A\cos (0)+B\sin (0)=A$

$g^{\prime }(0)=-A\sin (0)+B\cos (0)=B$

kifejezhető az állandók értéke:

$g(0)=A=1$

$g^{\prime }(0)=B=i$

és végül:

$g(x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{e}^{ix}=\cos (x)+i\sin (x).$

Q.E.D.

További információk

• Proof of Euler's Formula by Julius O. Smith III
• Euler's Formula and Fermat's Last Theorem
• Complex Exponential Function Module by John H. Mathews