Euler-összefüggés

Sablon:Nincs forrás A matematikában Euler-összefüggésnek nevezik a következő egyenlőséget:

$e^{i\pi }+1=0$

ahol

Sablon:Mvar az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapja,

Sablon:Mvar az imaginárius egység, amelyre igaz az Sablon:Math egyenlőség,

a pí szám, a kör kerületének és átmérőjének aránya.

A fenti összefüggést Leonhard Euler svájci matematikusról nevezték el.

Levezetése

Az $\left(e^t\right)=e^t$ formula segítségével könnyen Taylor-sorba fejthetjük $e^{it}$-t!

$e^{it}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(it{)}^n}{n!}$

A $\sin (t)$ és a $\cos (t)$ függvények Taylor-sora pedig

$\sin (t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{t}^{2k+1}$

illetve

$\cos (t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{t}^{2k}$

Vegyük észre, hogy $e^{it}$ felbontható az alábbi módon:

$e^{it}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(it{)}^n}{n!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(it{)}^{2k}}{(2k)!}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(it{)}^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{t}^{2k}+i\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{t}^{2k+1}$

Azaz

$e^{it}=\cos (t)+i\cdot \sin (t),$

speciálisan $t=\pi$-re kapjuk a nevezetes

$e^{i\pi }+1=0$

egyenlőséget.