Vektor

Sablon:Egyért2

A vektor a matematikában használatos fogalom, a lineáris algebra egyik alapvető jelentőségű mennyisége. Általában az ember a vektorokkal mint irányított szakaszokkal szokott találkozni, de a matematikában a jelentése ennél lényegesen bőségesebb. A fogalom különböző irányú általánosításai egyes tudományágakban is megjelennek. Így például a biológiában vektornak nevezik a fertőzéseket terjesztő élőlényeket, hatásokat. Az analógia teljesen világos, a hordozótól a fertőzöttig vezető utat pont a köztesgazda jelenti, azaz két pontot egy meghatározott irányban köt össze.

A matematikában azonban sokkal elvontabb vektorokat is ismerünk. Ezek haszna sokszor a laikusok számára végképp nem nyilvánvaló, és ritkán ismertek, közismertek. Alkalmazásaik azonban széles körűek, különösen a modern tudományokban.

Általános leírás

A vektor a matematikában egy felettébb fontos fogalom. Alkalmazásai rendkívül sokrétűek, a geometriától az absztrakt analízisig mindenhol lehet velük találkozni. Ennek megfelelően az értelmezése is többféleképpen történhet.

Maguk a vektorok a számok egyfajta általánosításainak is tekinthetőek. Ezzel a megközelítéssel főleg az algebrai definíciók dolgoznak, és ekkor legjellemzőbb alkalmazásaik az egyenletrendszerek kezelése.

Mivel a fogalom eredete a fizika, ezért fizikai és geometriai meggondolások is szolgálhatnak alapjául, ekkor főleg a viselkedésük lesz a definíció alapja. A legközkeletűbb értelmezése a fogalomnak is geometriai: olyan szakasz, amit a nagyságán túl az iránya is jellemez. Ez szinte tipizálja a fogalmat, hiszen így olyan mennyiségeket, mint a sebesség vagy az erő, kényelmesen szemléletessé tudunk tenni.^[1]

A vektorok legáltalánosabb, és így legmélyebb definícióját az analízisben találjuk, ahol a vektorok egy bizonyos típusú halmazhoz rendelhető másik halmaz elemei. Ez felettes értelmezése a fenti két definíciónak, hiszen mindkettőt magába foglalja.

Definíció

Lineáris algebra

Legyen $ℰ$ euklideszi geometriai tér. Ekkor a $ℰ \times ℰ$ halmaz elemeit, mint rendezett párokat irányított szakasznak nevezzük. Tekintsük most a térben a párhuzamos eltolásokat. Ezek segítségével $ℰ \times ℰ$ felett egy ekvivalenciarelációt határozhatunk meg.

Két pontpárt, $(A, B)$ -t és $(C, D)$ -t ekvivalensnek tekintünk, ha van olyan $p$ párhuzamos eltolás, hogy $p (A) = C$ és $p (B) = D$ .

Az ekvivalenciarelációk a halmazt faktorhalmazokra bontják. Az $ℰ \times ℰ$ felett az előbbiekben bevezetett ekvivalenciareláció faktorhalmazait szabadvektoroknak, a faktorhalmazok elemeit a szabadvektor reprezentánsainak nevezzük.

Geometria

A geometriában a vektorok az eltolások, mint transzformációk meghatározásában játszanak szerepet. Legyen ugyanis $α$ és $β$ két párhuzamos sík. Ha a távolságuk $d \neq 0$ , akkor a tér bármely $X$ pontjához olyan módon rendel hozzá egy $X^{'}$ pontot, hogy $| X X^{'} | = 2 d$ . Ezen túl az $X$ és $Y$ pontok képe olyan, hogy $X X^{'} | | Y Y^{'}$ és egyező irányításúak. Ezt a leképezést eltolásnak nevezzük.

Világos, hogy az eltoláshoz elegendő az $(X, X^{'})$ pontpárt megadni, mivel ez bármely pontnak a képét megadja a fentebbiek szerint.^[2] Az $(X, X^{'})$ párt ekkor vektornak nevezzük. Eszerint egyébként a konkrét síkokra nincs is szükség, kizárólag a távolságuk és fekvésük lényeges.

A fentebbiek során a lineáris algebrai definíció szerinti osztályozást is megvalósítottuk, tehát itt is lehet beszélni az adott irányítású és hosszúságú vektorok ekvivalenciaosztályáról, amit ez alapján szabadvektornak nevezünk. Ha rögzítünk egy $O$ pontot, akkor a szabadvektorok azon reprezentánsait, amik kezdőpontja $O$ , kötött vektoroknak nevezzük. Ezek például egy koordináta-rendszer pontjait határozhatják meg.

Analízis

Legyen $T$ test,^[3] $H$ pedig halmaz. Ha értelmezünk két függvényt:

+ : H \times H \to H

, amit általában összeadásnak nevezünk, és

. : T \times H \to H

, amit leggyakrabban skalárral való szorzás néven emlegetünk,

úgy, hogy a + asszociatív, kommutatív, invertálható és van neutrális eleme, valamint $\forall α, β \in T$ és $\forall x, y \in H$ esetén

$α . (β . x) = (α \cdot β) . x$
$(α + β) . x = α . x + β . x$
$α . (x + y) = α . x + α . y$
$1 . x = x$

teljesül, akkor $H$ -t a $T$ test feletti vektortérnek nevezzük, $H$ elemeit pedig vektoroknak.

Mint látható, az analitikus definíció olyan mértékben absztrakt, hogy egészen furcsa halmazokat is tudunk vektortérként kezelni. Ilyen lehet például a $T$ -ben haladó konvergens sorozatok halmaza, vagy a $H \to T$ függvények halmaza.

Vektorműveletek

A vektorműveletek értelmezése céljából érdemes a szemléletes és áttekinthető geometriai képből kiindulni. Ekkor a vektorokat irányított szakaszként, nyíllal ábrázoljuk, és így a jelentésük is a köznapi fogalmakkal megragadhatóvá válik. Ezeken keresztül néhány egyéb fogalom is világossá válik.

Összeadás

Miután a szabadvektorokat a reprezentánsaikkal is jellemezhetjük, két szabadvektor összegét is így tudjuk értelmezni. Az $\vec{a}$ és $\vec{b}$ vektorok összegzését egy köztes pont felvételével tudjuk meghatározni. Vegyünk fel egy $B$ pontot, és tekintsük az $\vec{a}$ vektor azon reprezentánsát, aminek végpontja $B$ , és a $\vec{b}$ vektor azon reprezentánsát, aminek kezdőpontja $B$ . Ekkor a $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ vektor egy reprezentánsát az $\vec{a}$ vektor kezdőpontja és a $\vec{b}$ végpontja jelöli ki. Ezt paralelogramma-szabálynak nevezzük. Az elnevezés a mellékelt ábra alapján válik érthetővé.

Szemléletesen, ha a vektorokat elmozdulásnak tekintjük, az $\vec{A B}$ vektor az $A$ pontból $B$ pontba jutást jelenti. Hasonlóan a $\vec{B C}$ vektor is értelmezhető, ekkor pedig az összegvektoruk az $A$ -ból $C$ -be jutást jelenti, azaz $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

E definíció alapján ellenőrizhető, hogy a definícióban megkövetelt feltételek az összeadásra hogyan teljesülnek.

Szorzatok

A vektorokból a szorzásra emlékeztető művelet többféle is definiálható. Ebből egy külső, három pedig belső művelet.^[4]

Skalárral szorzás

A skalárral való szorzás^[5] ötlete a szorzat, mint ismételt összeadás hasonlóságából ered:

λ . \vec{a} = \underset{λ darab}{\underset{⏟}{\vec{a} + \vec{a} + \dots + \vec{a}}}

, ha

λ \in ℕ

.

Mivel ebben az esetben a vektor hossza nőtt meg, adja magát, hogy a $λ . \vec{a}$ vektor $\vec{a}$ -val párhuzamos, és annál $λ$ -szor hosszabb bármilyen $T$ -beli elem esetén.

Mivel $T$ elemeit nevezzük skalárnak, adja magát az elnevezés is. A skalár szó ugyan számot jelent, de ez nem jelent problémát, mivel $T$ általában számhalmaz, rendszerint a valós vagy komplex számok teste.

Lineáris kombináció

A skalárral való szorzás eredménye vektor, így a vektortér eleme, és az összeadásban tag lehet. Ha adott $\vec{a}$ , $\vec{b}$ és $\vec{c}$ , valamint $α$ , $β$ és $γ$ skalárok, akkor lineáris kombinációnak nevezzük az alábbi vektort:

\vec{r} = α . \vec{a} + β . \vec{b} + γ . \vec{c}

Általános alakban írva a lineáris kombináció:

\sum_{i = 1}^{n} α_{i} . \vec{a_{i}}

Ennek segítségével lehet értelmezni a vektortér dimenzióját is. A nullvektort ugyanis elő lehet állítani

\vec{0} = 0 . \vec{a_{1}} + 0 . \vec{a_{2}} + \dots

alakban. Ezt triviális előállításnak nevezzük. Előfordulhat azonban, hogy a zérusvektort nem nulla skalárokkal is megkaphatjuk, ekkor az $(\vec{a_{i}})$ rendszert lineárisan függőnek mondjuk. A legbővebb olyan rendszert, ami lineárisan független a vektortérben, a tér bázisának nevezzük. A bázis elemszáma lesz a vektortér dimenziója.

Ha pedig van egy bázisunk egy vektortérben, akkor bármely vektor megadható egyértelműen a bázis lineáris kombinációjaként. Az együtthatókat ekkor a vektor koordinátáinak nevezzük. Könnyen belátható, hogy két vektor összegének koordinátái a két vektor koordinátáinak összege.

Skaláris szorzat

Egyes fizikai összefüggések vektormennyiségekből skaláris értékek létrehozását igénylik. Ilyen például a munka kiszámításának a problémája. A definíció is őrzi a fizikai eredetet: a két vektor szorzata legyen maximális, ha párhuzamosak, és nulla, ha merőlegesek, továbbá a szorzat legyen lineáris függvénye a két vektor hosszának.

Az első feltétel szerint a szorzat a két vektor által bezárt szögtől függ. A legegyszerűbb függvény, ami ezt a feltételt kielégíti, a koszinusz függvény. A második feltétellel együtt a szorzat kiszámítására a

\vec{a} \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos ϕ

képlet szolgál, ahol $a$ az $\vec{a}$ vektor hossza.

Könnyen belátható, hogy a skaláris szorzat kommutatív és a vektorok összeadására nézve disztributív, de nem asszociatív művelet.

A skaláris szorzat adott bázis esetén könnyebben is kiszámítható. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a bázis vektorai egymásra merőlegesek, ez mindig elérhető a Gram–Schmidt-eljárás segítségével például. Ekkor az $\vec{a}$ és $\vec{b}$ vektorok a bázis lineáris kombinációjaként felírva:

\vec{a} = \sum a_{i} {\vec{e}}_{i}

\vec{b} = \sum b_{i} {\vec{e}}_{i}

lesznek. A szorzáskor figyelembe véve a skaláris szorzat disztributivitását és az egységvektorok merőlegességét kapjuk:

\vec{a} \vec{b} = \sum a_{i} b_{i}

.

Például számoljuk ki a $\vec{a} = (2, 1, 3)$ és $\vec{b} = (4, - 2, - 3)$ vektorok skaláris szorzatát:

\vec{a} \vec{b} = 2 \cdot 4 + 1 \cdot (- 2) + 3 \cdot (- 3) = 8 - 2 - 9 = - 3

.

Nem merőleges bázisvektorok esetén a skaláris szorzat vegyes tagokat is fog tartalmazni, valamint egy, a bázist jellemző operátort.

Ha egy vektort önmagával szorzunk, akkor a definíció értelmében a hosszának a négyzetét kapjuk. Ezt a koszinusztétel bizonyítása során is kihasználjuk.

A matematikában a vektor fogalmának általánosítása okán a skaláris szorzatot belső szorzat néven szokás emlegetni.

Vektoriális szorzat

A vektoriális szorzat egy kizárólag három és hét^[6] dimenzióban értelmezhető belső szorzat. Eredete a skaláris szorzathoz hasonlóan fizikai: elsősorban a forgatónyomaték kezelésében bukkan fel, de később több más területen is kényelmesnek bizonyult a használata. A definíciója is ennek megfelelően elsősorban technikai jellegű. Legyen $\vec{a}$ és $\vec{b}$ két vektor. Ekkor hozzájuk rendelhető egy harmadik $\vec{c}$ vektor a következő szabályok szerint:

$\vec{c} = 0$ , ha $\vec{a} | | \vec{b}$ ;
$\vec{c}$ maximális, ha a vektorok merőlegesek egymásra;
a szorzat egyenesen arányos a $\vec{a}$ és $\vec{b}$ hosszával.
a három vektor úgy helyezkedik el egymáshoz képest, mint a koordináta-rendszer x, y és z tengelyei.

Az első két feltételt a vektorok által bezárt szög szinusza is kielégíti, így a harmadik feltétellel együtt a skaláris szorzathoz hasonlóan a

\vec{a} \times \vec{b} = a \cdot b \cdot \sin ϕ

képletet írhatjuk fel. Ebben nincsen benne a szorzatvektor iránya, úgyhogy azt továbbra is külön fel kell írnunk.

A vektoriális szorzat nem asszociatív, de ez nem meglepő. Még kevésbé meglepő, hogy nem kommutatív, viszont antikommutatív, azaz $\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$ . A vektorok összeadására nézve disztributív.

A tér merőleges bázisvektorai esetén érvényes összefüggések:

${\vec{e}}_{1} \times {\vec{e}}_{2} = {\vec{e}}_{3}$
${\vec{e}}_{2} \times {\vec{e}}_{3} = {\vec{e}}_{1}$
${\vec{e}}_{3} \times {\vec{e}}_{1} = {\vec{e}}_{2}$ ,

ezeket a koordinátás alak kiszámításakor használjuk ki.

A fenti tulajdonságok alapján levezethető a vektorok szorzatára vonatkozó számítási módszer: Ha $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ , akkor

{\vec{c}}_{1} = {\vec{a}}_{2} {\vec{b}}_{3} - {\vec{a}}_{3} {\vec{b}}_{2}

{\vec{c}}_{2} = {\vec{a}}_{3} {\vec{b}}_{1} - {\vec{a}}_{1} {\vec{b}}_{3}

{\vec{c}}_{3} = {\vec{a}}_{1} {\vec{b}}_{2} - {\vec{a}}_{2} {\vec{b}}_{1}

.

Például az $\vec{a} = (2, 5, - 2)$ és $\vec{b} = (3, - 4, - 1)$ vektorok vektoriális szorzata:

{\vec{c}}_{1} = 5 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot (- 4) = - 5 - 8 = - 13

{\vec{c}}_{2} = (- 2) \cdot 3 - 2 \cdot (- 1) = - 6 + 2 = - 4

{\vec{c}}_{3} = 2 \cdot (- 4) - 5 \cdot 3 = - 8 - 15 = - 23

.

Skaláris szorzással ellenőrizhet, hogy e vektor mindkettő tényezőre merőleges.

Tenzori (diadikus) szorzat

Az n-dimenziós valós vektortér $\vec{a}$ és $\vec{b}$ vektorainak diadikus szorzatán értjük és $\vec{a} \circ \vec{b}$ -vel jelöljük azt a tenzort, mely a vektortérbe tartozó minden egyes $\vec{x}$ vektorhoz az $\vec{a} (\vec{b} \vec{x})$ vektort rendeli: $l : \vec{x} \mapsto \vec{a} (\vec{b} \vec{x})$ . Belátható, hogy $l (\vec{x})$ egy lineáris leképezés, ezért valamely bázis esetén reprezentálható egy $L$ mátrixszal.

A definíciót valamely koordináta-rendszerben kifejtve a tenzorszorzat egy reprezentációját kapjuk:

L_{i j} = {\vec{a}}_{i} {\vec{b}}_{j}

.^[7]

Példaként szorozzuk össze az $\vec{a} = (3, - 2, 5)$ és a $\vec{b} = (4, 2, - 3)$ vektorokat!

$3 \cdot 4 = 12$	$3 \cdot 2 = 6$	$3 \cdot (- 3) = - 9$
$(- 2) \cdot 4 = - 8$	$(- 2) \cdot 2 = - 4$	$(- 2) \cdot (- 3) = 6$
$5 \cdot 4 = 20$	$5 \cdot 2 = 10$	$5 \cdot (- 3) = - 15$

A szorzat tehát:

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} 12 & 6 & - 9 \\ - 8 & - 4 & 6 \\ 20 & 10 & - 15 \end{matrix})

.

Tulajdonságai:

nem kommutatív: ha $L = \vec{a} \circ \vec{b}$ , akkor $\vec{b} \circ \vec{a} = L^{T}$ ( $L$ transzponáltja).
nem asszociatív: $(\vec{a} \circ \vec{b}) \circ \vec{c}$ nem értelmezhető.
$(\vec{a} \circ \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$ a definíció miatt.

A vektorok tenzorszorzatával a tenzoralgebra foglalkozik alaposabban.

Alkalmazások

A vektoroknak számtalan alkalmazása van. Ezek főleg a matematikához, fizikához és informatikához kötődnek. Legtöbbször egyfajta általánosítása a hagyományos vektorfogalomnak az egyes tudományágak saját fogalomalkotása, de az analógia legtöbbször nyilvánvaló.

A matematikában

Jellemzően a lineáris algebrában fordulnak elő vektorok, illetve ehhez kapcsolódóan az analitikus geometriában.

A lineáris algebra az egyenletrendszereket lineáris egyenletekhez hasonló módon kezelő eszközöket kap, ha az ismeretleneket és az egyenletek jobb oldalát egy-egy vektorként kezeljük, ekkor az együtthatók ugyanis egy leképezés mátrixának alakját fogja ölteni. Például

Egyenletrendszer	Egyenlet
$\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} & = b_{n} \end{matrix}$	$a x = b$
$\hat{A} \vec{x} = \vec{b}$	$a x = b$
$\vec{x} = {\hat{A}}^{- 1} \vec{b}$	$x = a^{- 1} b = \frac{b}{a}$

A koordinátageometriában a vektorok tulajdonképpen a pontokat jelölik ki, így helyvektorként funkcionálnak, a vektorokból pedig a fentebb említett műveletek segítségével a geometria legalapvetőbb ponthalmazai építhetőek fel. Ez egyben az összekötő kapocs is az algebra és a geometria között, aminek segítségével igazolható e két nagy terület egyenértékűsége.

Ezen túl a vektor fogalom általánosabb, elvontabb formája segítségével az analízis sok fogalma is kényelmesebben kezelhetővé válik. Ilyen például az intervallum felett korlátos függvények halmaza, vagy egy test felett értelmezett operátorok tere.

A vektorok segítségével lehet a Hilbert-tereket, mint speciális, skalárszorzatos tereket definiálni, amik a fizikai alkalmazások során nyernek jelentőséget, mivel a fizikai mennyiségeket a Hilbert-tereken ható operátorokkal jellemezzük.

A fizikában

A fizikában a vektorokat más szemlélettel definiáljuk, mint a matematikában. Mivel a fizika a világot koordináta-rendszerekben írja le, a legfontosabb mennyiségeket a koordináta-rendszerek közötti átmenet szempontjából, azaz a transzformációk során mutatott viselkedésük szerint írjuk le. Az alaptípus a koordináta-rendszert kifeszítő, egységvektorokból álló generátorhalmaz. Ekkor vektornak nevezünk minden olyan fizikai mennyiséget, amelyek úgy transzformálódnak, mint a koordináta-rendszert kifeszítő egységvektorok.

A vektorok azonban nem feltétlenül viselkednek azonosan a fentebbi meghatározással. A vektori szorzat esetén például a tükrözés során a két tényező előjelet vált, a szorzatvektor viszont nem:

(- \vec{x}) \times (- \vec{y}) = {(- 1)}^{2} (\vec{x} \times \vec{y})

Az ilyen vektort, mivel tulajdonképpen egy tengelyt jelöl ki, axiálvektornak nevezünk.

A köznapi szemlélet szempontjából a fizikai vektorok legfontosabb tulajdonsága, hogy a nagyságuk mellett irányításuk is van. Ez alapján definiálhatóak a vektormennyiségek: olyan fizikai mennyiség, amit két mennyiség, irány és nagyság jellemez. Ez egyben három paramétert igényel, azonban speciális esetekben a koordináta-rendszer megfelelő megválasztásával egy vagy kettő zérussá tehető. Ez az oka, hogy a bevezető fizikai tanulmányok során az egyenes vonalú mozgások, állandó irányú hatások játszanak elsődleges szerepet.

A klasszikus fizika háromdimenziós vektorokkal foglalkozik, a relativisztikus fizika azonban a téridő leírására már négy paramétert alkalmaz, így itt a vektorok viselkedése teljesen váratlanná válhat a laikus szemlélő számára. A vektorokat három nagy csoportba sorolhatjuk: időszerű, fényszerű és térszerű vektorok.

Az időszerű vektorok hosszának négyzete pozitív, ezen vektorokhoz mindig találunk olyan koordináta-rendszert, hogy a vektor az időtengellyel párhuzamos lesz. Ha két esemény időszerű kapcsolatban van egymással, akkor mindig van olyan megfigyelő, aki számára a két esemény ugyanott, de egymás után történik. A legegyszerűbb időszerű kapcsolat a kauzalitás, azaz az egyik pont, mint esemény, oka a másiknak. Ha egy vektor időszerű, akkor minden megfigyelő számára időszerű a kapcsolat, ez fejezi ki a relativitáselmélet determinisztikusságát.

A térszerű vektorok hossznégyzete negatív,^[8] azaz ezekhez mindig találunk olyan koordináta-rendszert, aminek egy térbeli koordinátatengelyével párhuzamosak. A gyakorlatban a térszerű kapcsolat két esemény között azt jelenti, hogy van olyan megfigyelő, aki számára a két esemény egyszerre történik, de eltérő helyeken.

A fényszerű vektorok hossznégyzete nulla, ezek tehát a koordináta-rendszerek transzformációja során nem változnak. Az elnevezés tükrözi szerepüket: a fényszerű vektorokat a fénysugarak jelölik ki, azaz a fény sebessége minden megfigyelő számára egyenlő.

A számítástechnikában

A számítástechnikában általában az egydimenziós tömböket nevezik vektornak, ez megfelel ugyanis a vektorkoordináták mátrixreprezentációjának. Ugyanakkor azonban egy tömb elemei nem csak számok lehetnek, ennyiben a matematikai vektorfogalomtól el is tér. A konkrét értelmezés általában a programozási nyelv része. Például a C++-ban a Vector egy konténer osztály, aminek elemei tetszőleges, akár több különböző típusba tartozó adatok lehetnek.

Jegyzetek

Sablon:Jegyzetek

Források

Jánossy Lajos, Tasnádi Péter – Vektorszámítás I (Vektor és tenzoralgebra), Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest 2002 Sablon:ISBN
Király Bertalan – Lineáris algebra, EKTF Líceum kiadó, Eger 2004, Sablon:ISBN
Fényes Imre – Modern fizikai kisenciklopédia, Gondolat könyvkiadó, Budapest, 1971
Sablon:Mathworld
Sulinetes anyag a vektorokról
Magyarított, letölthető interaktív Flash szimuláció síkvektorok összeadásáról a PhET-től. Grafikus megjelenítés mellett a polár- és derékszögű koordinátákat is megadja.
Magyarított Flash szimuláció a derékszögű koordináták és a megfelelő egységvektorok kapcsolatáról. Szerző: David M. Harrison

Sablon:Nemzetközi katalógusok Sablon:Portál

↑ Ez ugyanakkor a fogalom elmélyítését már jelentősen megnehezítheti!
↑ Konkrétan megadható a pár alapján bármely pont képének a szerkesztése.
↑ Fontos feltétel, hogy test legyen, ellenkező esetben a feltételeink "elromlanak".
↑ Belső művelet alatt azt értjük, hogy a szorzat tényezői mind a vektortérből erednek.
↑ Vigyázzunk, ne keverjük a később értelmezett skaláris szorzással!
↑ https://betterexplained.com/articles/cross-product/
↑ Ha jól megnézzük, feltűnő lesz, hogy a tenzor nyoma a két vektor skaláris szorzata. Három dimenzióban a főátló feletti és alatti elemek pedig a vektoriális szorzat tagjai lesznek.
↑ Ezért beszélünk a vektorok hosszának négyzetéről - ennek ugyanis van fizikai értelme.

[1] Ez ugyanakkor a fogalom elmélyítését már jelentősen megnehezítheti!

[2] Konkrétan megadható a pár alapján bármely pont képének a szerkesztése.

[3] Fontos feltétel, hogy test legyen, ellenkező esetben a feltételeink "elromlanak".

[4] Belső művelet alatt azt értjük, hogy a szorzat tényezői mind a vektortérből erednek.

[5] Vigyázzunk, ne keverjük a később értelmezett skaláris szorzással!

[6] ttps://betterexplained.com/articles/cross-product/

[7] Ha jól megnézzük, feltűnő lesz, hogy a tenzor nyoma a két vektor skaláris szorzata. Három dimenzióban a főátló feletti és alatti elemek pedig a vektoriális szorzat tagjai lesznek.

[8] Ezért beszélünk a vektorok hosszának négyzetéről - ennek ugyanis van fizikai értelme.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Vektor

Tartalomjegyzék

Általános leírás

Definíció

Lineáris algebra

Geometria

Analízis

Vektorműveletek

Összeadás

Szorzatok

Skalárral szorzás

Lineáris kombináció

Skaláris szorzat

Vektoriális szorzat

Tenzori (diadikus) szorzat

Alkalmazások

A matematikában

A fizikában

A számítástechnikában

Jegyzetek

Források

Navigációs menü

Vektor

Általános leírás

Definíció

Lineáris algebra

Geometria

Analízis

Vektorműveletek

Összeadás

Szorzatok

Skalárral szorzás

Lineáris kombináció

Skaláris szorzat

Vektoriális szorzat

Tenzori (diadikus) szorzat

Alkalmazások

A matematikában

A fizikában

A számítástechnikában

Jegyzetek

Források

Navigációs menü

Keresés