Vektoriális szorzat

A vektoriális szorzat (más néven külső szorzat vagy keresztszorzat) háromdimenziós vektorokkal végzett olyan művelet, amelynek eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük (7 dimenziós esetben is létezik vektoriális szorzat, ami azonban kevésbé használatos).

Jelölése: a×b vagy [ab] (szóban: a kereszt b), hogy megkülönböztessük a skaláris szorzattól. A kereszt jelölés a német és az angol szakirodalomban is használatos. Az olasz és a francia szakirodalom a $\vec{a} \land \vec{b}$ , az orosz az $[\vec{a} \vec{b}]$ vagy $[\vec{a}, \vec{b}]$ jelölést részesíti előnyben.

Az $\vec{a} \land \vec{b}$ jelölés és a külső szorzat elnevezés egy másik műveletre is vonatkozhat, ami bivektort rendel a két vektorhoz. Ez a bivektor pedig a vektoriális szorzat vektorának Hodge-duálisa a háromdimenziós térben. ^[1]Lásd még: Graßmann-algebra.

Értelmezése:

Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az a és b vektorok alkotják, akkor a×b nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével. Másként,

$| 𝐜 | = | 𝐚 \times 𝐛 | = | 𝐚 | | 𝐛 | \sin (θ)$

Az eredményvektor nagysága (abszolútértéke, hossza) a két vektor hosszának és a közbezárt szögük szinuszának szorzata (0° ≤ θ ≤ 180°).
Az eredményvektor állása merőleges mind a-ra, mind b-re (az a és b vektorok síkjára).
Az eredményvektor iránya olyan, hogy az a, b és c jobbsodrású vektorrendszert alkot.

(Egy a, b, c vektorrendszert akkor hívunk jobbsodrásúnak, ha a jobb kezünk beállítható úgy, hogy hüvelykujjunk a-val, mutatóujjunk b-vel, középső ujjunk pedig (az előbbi két ujjunkra merőlegesen) c-vel azonos irányba mutat.)

Derékszögű koordináta-rendszerben a c eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk a és b koordinátáiból:

c_{1} = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}

c_{2} = a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}

c_{3} = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}

Vagy rövidebben: $c_{i} = \sum_{j, k = 1}^{3} ε_{i j k} a_{j} b_{k}$ , ahol $ε_{i j k}$ a Levi-Civita-szimbólumot jelenti. Sablon:Clear

Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor nullvektor, ha párhuzamos állásúak, hiszen ekkor a bezárt 0° vagy 180°, amiknek szinusza 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90° szinusza 1).

A fizikában számos helyen megjelenik, például az elektromágnesességben a Lorentz-erő vagy a Poynting-vektor kiszámolására. A klasszikus mechanikában a forgatómomentum és a forgatóimpulzus, vagy virtuális erők esetén, például a Coriolis-erő esetén.

A vektoriális szorzás és a keresztszorzás elnevezéseket először Josiah Willard Gibbs fizikus használta először; a külső szorzás kifejezés Hermann Graßmanntól származik.^[2]

Tulajdonságok

$𝐚 \times (𝐛 + 𝐜) = 𝐚 \times 𝐛 + 𝐚 \times 𝐜$ , tehát az összeadásra disztributív
$(λ 𝐚) \times 𝐛 = 𝐚 \times (λ 𝐛) = λ (𝐚 \times 𝐛)$
$(𝐚 \times 𝐛) \times 𝐜 \neq 𝐚 \times (𝐛 \times 𝐜)$ , tehát a hármas vektorszorzat nem asszociatív. De teljesíti a Jacobi-azonosságot: $𝐚 \times (𝐛 \times 𝐜) + 𝐛 \times (𝐜 \times 𝐚) + 𝐜 \times (𝐚 \times 𝐛) = 0$ . Ez a linearitással és disztributivitással együtt azt eredményezi, hogy R³ a vektorok közti összeadással és vektoriális szorzással Lie-algebrát képez.

Bilinearitás

A vektoriális szorzat bilineáris,^[3] azaz minden $α$ , $β$ és $γ$ valós számra, illetve $\vec{a}$ , $\vec{b}$ és $\vec{c}$ vektorra teljesül, hogy

\begin{matrix} \vec{a} \times (β \vec{b} + γ \vec{c}) = β (\vec{a} \times \vec{b}) + γ (\vec{a} \times \vec{c}), \\ (α \vec{a} + β \vec{b}) \times \vec{c} = α (\vec{a} \times \vec{c}) + β (\vec{b} \times \vec{c}) . \end{matrix}

Következik a skalárral való szorzásra:

\vec{a} \times (β \vec{b}) = β (\vec{a} \times \vec{b}) = (β \vec{a}) \times \vec{b},

(α \vec{a}) \times (β \vec{b}) = α β (\vec{a} \times \vec{b}) = (β \vec{a}) \times (α \vec{b}) .

Alternáló tulajdonság

Egy vektor önmagával vagy bármely skalárszorosával vett szorzata a nullvektor:

\vec{a} \times r \vec{a} = \vec{0}

.

A bilineáris leképezések, melyekre ez a tulajdonság is teljesül, alternálók.^[3]

Antikommutativitás

\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}

, tehát antikommutatív,

ami következik a bilineáris és az alternáló tulajdonságból:

\vec{0} \overset{(1)}{=} (\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b}) \overset{(2)}{=} \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{b} \overset{(1)}{=} \vec{0} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{0} = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a}

minden $\vec{a}, \vec{b} \in ℝ^{3}$ vektorra.^[3]

Kapcsolat a determinánssal

Minden $\vec{v}$ vektor esetén teljesül, hogy:

\vec{v} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \det (\vec{v}, \vec{a}, \vec{b})

.

ahol a pont a skaláris szorzást jelöli. Ez a tulajdonság egyértelműen meghatározza a skaláris szorzást:^[3]

Minden $\vec{v}$ vektor esetén fennáll, hogy tetszőleges $\vec{a}$ , $\vec{b}$ vektorokhoz pontosan egy $\vec{c}$ vektor létezik úgy, hogy $\vec{v} \cdot \vec{c} = \det (\vec{v}, \vec{a}, \vec{b})$ minden $\vec{v}$ vektorra. Ez a $\vec{c}$ vektor egyenlő az $\vec{a} \times \vec{b}$ vektoriális szorzattal.

Graßmann-azonosság

Három vektor ismételt vektoriális szorzatára^[4] teljesül a Graßmann-azonosság, más néven Graßmann kifejtési tétele, azaz

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}

illetve

(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a},

A fizikában gyakran az

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \cdot \vec{b}),

írásmódot használják. Ez alapján a képletet nevezik BAC-CAB-képletnek is. Indexes írásmód esetén a Graßmann-azonosság:

\sum_{k = 1}^{3} ε_{i j k} ε_{k l m} = δ_{i l} δ_{j m} - δ_{i m} δ_{j l}

.

ahol $ε_{i j k}$ a Levi-Civita-szimbólum, és $δ_{i j}$ a Kronecker-delta.

Lagrange-azonosság

Két vektoriális szorzat skaláris szorzatára teljesül, hogy:^[3]

\begin{matrix} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) & = (\vec{a} \cdot \vec{c}) (\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{b} \cdot \vec{c}) (\vec{a} \cdot \vec{d}) \\ = \det (\begin{matrix} (\vec{a} \cdot \vec{c}) & (\vec{a} \cdot \vec{d}) \\ (\vec{b} \cdot \vec{c}) & (\vec{b} \cdot \vec{d}) \end{matrix}) . \end{matrix}

A norma négyzetére kapjuk, hogy:

\begin{matrix} | \vec{a} \times \vec{b} |^{2} & = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} - (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} \\ = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} (1 - \cos^{2} θ) \\ = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} \sin^{2} θ, \end{matrix}

tehát a vektoriális szorzat normája:

| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ .

Mivel $θ$ az $\vec{a}$ , $\vec{b}$ vektorok közrezárt szöge, így mindig 0° és 180° közötti, azért $0 \leq \sin θ \leq 1 .$ . Innen a becslés:

| \vec{a} \times \vec{b} | \leq | \vec{a} | | \vec{b} |

.

Vektoriális szorzatok vektoriális szorzata

\begin{matrix} (\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} \times \vec{d}) & = \vec{b} \cdot \det (\vec{a}, \vec{c}, \vec{d}) - \vec{a} \cdot \det (\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}) \\ = \vec{c} \cdot \det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}) - \vec{d} \cdot \det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) \end{matrix}

Speciális esetek:

(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot \det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})

(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c}) = \vec{a} \cdot \det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})

(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0}

Kifejtési tétel

𝐚 \times (𝐛 \times 𝐜) = 𝐛 (𝐚 \cdot 𝐜) - 𝐜 (𝐚 \cdot 𝐛)

Négyesszorzat:

(𝐚 \times 𝐛) \times (𝐜 \times 𝐝) = - 𝐝 (𝐚, 𝐛, 𝐜) + 𝐜 (𝐚, 𝐛, 𝐝)

, ahol

(𝐚, 𝐛, 𝐜)

módon a vegyes szorzat van jelölve.

Lagrange-azonosság:

(𝐚 \times 𝐛) \cdot (𝐜 \times 𝐝) = (𝐚 \cdot 𝐜) (𝐛 \cdot 𝐝) - (𝐛 \cdot 𝐜) (𝐚 \cdot 𝐝)

$𝐚^{(i)}$ (i=1,2,3) vektorok $𝐀^{(i)}$ (i=1,2,3) reciprok rendszerét is a vektoriális szorzat segítségével számítjuk ki:

𝐀^{(1)} = \frac{1}{v} (𝐚^{(2)} \times 𝐚^{(3)})

𝐀^{(2)} = \frac{1}{v} (𝐚^{(3)} \times 𝐚^{(1)})

𝐀^{(3)} = \frac{1}{v} (𝐚^{(1)} \times 𝐚^{(2)})

, ahol

v = (𝐚^{(1)}, 𝐚^{(2)}, 𝐚^{(3)})

Kiszámítása a derékszögű Descartes-féle koordináta-rendszerben

Jobbfogású Descartes-féle koordináta-rendszerben, illetve $ℝ^{3}$ valós térben, a szabványos skalárszorzással és a szabványos orientációval:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix}) .

Egy számpélda:

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 7 \\ 8 \\ 9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 \\ 3 \cdot (- 7) - 1 \cdot 9 \\ 1 \cdot 8 - 2 \cdot (- 7) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ - 30 \\ 22 \end{matrix}) .

Előállítása mátrixszorzásként

Három dimenzióban két vektor közötti vektoriális szorzást átírhatunk egy 3×3-as antiszimmetrikus mátrix és egy vektor szorzatára a következőképpen:

$𝐚 \times 𝐛 = 𝐀 \times 𝐛 = [\begin{matrix} 0 & - a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & - a_{1} \\ - a_{2} & a_{1} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}]$

Determinánsalak

$𝐚 \times 𝐛 = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} |$ , ahol i, j és k az egységvektorok.

A gyakorlatban ezek a módszerek könnyebben megjegyezhetőek és a számolást is egyszerűsítik.

Levezetés

Ha az euklideszi térben bevezetünk egy Descartes-féle koordináta-rendszert az ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}$ egységvektorokkal, akkor a geometriai definíció és az antikommuitativitás miatt:

\begin{matrix} {\vec{e}}_{1} \times {\vec{e}}_{1} = \vec{0}, & {\vec{e}}_{1} \times {\vec{e}}_{2} = {\vec{e}}_{3}, & {\vec{e}}_{1} \times {\vec{e}}_{3} = - {\vec{e}}_{2}, \\ {\vec{e}}_{2} \times {\vec{e}}_{1} = - {\vec{e}}_{3}, & {\vec{e}}_{2} \times {\vec{e}}_{2} = \vec{0}, & {\vec{e}}_{2} \times {\vec{e}}_{3} = {\vec{e}}_{1}, \\ {\vec{e}}_{3} \times {\vec{e}}_{1} = {\vec{e}}_{2}, & {\vec{e}}_{3} \times {\vec{e}}_{2} = - {\vec{e}}_{1}, & {\vec{e}}_{3} \times {\vec{e}}_{3} = \vec{0} . \end{matrix}

Kifejezve az $\vec{a}, \vec{b}$ tényezőket a bázisegységvektorokkal, a vektoriális szorzat így alakul:

\vec{a} \times \vec{b} = (a_{1} {\vec{e}}_{1} + a_{2} {\vec{e}}_{2} + a_{3} {\vec{e}}_{3}) \times (b_{1} {\vec{e}}_{1} + b_{2} {\vec{e}}_{2} + b_{3} {\vec{e}}_{3}) .

Bilinearitás miatt:

\vec{a} \times \vec{b} = a_{1} b_{1} ({\vec{e}}_{1} \times {\vec{e}}_{1}) + a_{1} b_{2} ({\vec{e}}_{1} \times {\vec{e}}_{2}) + a_{1} b_{3} ({\vec{e}}_{1} \times {\vec{e}}_{3}) + a_{2} b_{1} ({\vec{e}}_{2} \times {\vec{e}}_{1}) + a_{2} b_{2} ({\vec{e}}_{2} \times {\vec{e}}_{2}) + a_{2} b_{3} ({\vec{e}}_{2} \times {\vec{e}}_{3}) + a_{3} b_{1} ({\vec{e}}_{3} \times {\vec{e}}_{1}) + a_{3} b_{2} ({\vec{e}}_{3} \times {\vec{e}}_{2}) + a_{3} b_{3} ({\vec{e}}_{3} \times {\vec{e}}_{3}) .

Behelyettesítve a fenti vektoriális szorzatba:

\vec{a} \times \vec{b} = a_{1} b_{2} {\vec{e}}_{3} + a_{1} b_{3} (- {\vec{e}}_{2}) + a_{2} b_{1} (- {\vec{e}}_{3}) + a_{2} b_{3} {\vec{e}}_{1} + a_{3} b_{1} {\vec{e}}_{2} + a_{3} b_{2} (- {\vec{e}}_{1}) .

Összevonva a megfelelő tagokat:

\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) {\vec{e}}_{1} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) {\vec{e}}_{2} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) {\vec{e}}_{3} .

Vektoriálisszorzó-mátrix

Legyen $\vec{w}$ egy rögzített vektor! Ekkor a vektoriális szorzás egy lineáris leképezést definiál, ami egy tetszőleges $\vec{v}$ vektort a $\vec{w} \times \vec{v}$ vektorra képez. Ez azonosítható egy ferde másodfokú tenzorral. A ${{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}}$ standard bázis alkalmazása esetén megfelelő ferdén szimmetrikus mátrix

W = \sum_{i = 1}^{3} (\vec{w} \times {\vec{e}}_{i}) \otimes {\vec{e}}_{i} = (\begin{matrix} 0 & - w_{3} & w_{2} \\ w_{3} & 0 & - w_{1} \\ - w_{2} & w_{1} & 0 \end{matrix})

ahol

\vec{w} = \sum_{i = 1}^{3} w_{i} {\vec{e}}_{i} = (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix})

ugyanaz, mint a vektoriális szorzás $\vec{w}$ -vel, azaz $W \vec{v} = \vec{w} \times \vec{v}$ :

(\begin{matrix} 0 & - w_{3} & w_{2} \\ w_{3} & 0 & - w_{1} \\ - w_{2} & w_{1} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - w_{3} v_{2} + w_{2} v_{3} \\ w_{3} v_{1} - w_{1} v_{3} \\ - w_{2} v_{1} + w_{1} v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})

.

Ez a $W$ mátrix vektoriálisszorzó-mátrix. Úgy is jelölik, mint $[\vec{w}]_{\times}$ . Indexes jelöléssel:

W_{i j} = - \sum_{k = 1}^{3} ε_{i j k} w_{k}

ahol

\sum_{j = 1}^{3} W_{i j} v_{j} = (\vec{w} \times \vec{v})_{i}

.

Adott $W$ ferdén szimmetrikus mátrix esetén

W = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} W_{i j} {\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} = - W^{T}

,

ahol $W^{T}$ a $W$ mátrix transzponáltja. A hozzá tartozó vektor

\vec{w} = - \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} W_{i j} {\vec{e}}_{i} \times {\vec{e}}_{j}

.

Ha $\vec{w}$ alakja $\vec{w} = \vec{b} \times \vec{a}$ , akkor a hozzá tartozó vektoriálisszorzó-mátrix

W = [\vec{w}]_{\times} = \vec{a} \otimes \vec{b} - \vec{b} \otimes \vec{a}

és

W_{i j} = a_{i} b_{j} - b_{i} a_{j}

minden

i, j

indexre.

Ahol „ $\otimes$ “ diadikus szorzat.

Poláris és axiális vektorok

Vektoriális fizikai mennyiségekre alkalmazva a vektoriális szorzást különbséget tesznek poláris vagy eltolási vektorok (két helyvektor különbsége), és axiális, azaz forgatóvektorok között (ezek forgástengelyként működnek, például szögsebesség, forgatómomentum, forgatóimpulzus, mágneses folyamsűrűség).

A poláris vektorok szignatúrája +1, az axiális vektoroké −1. Vektoriális szorzáskor a szignatúrákat is összeszorozzák: ha a szignatúrák megegyeznek, akkor a szorzat axiális; különben a szorzat poláris. Azaz egy axiális vektor átviszi szignatúráját a szorzatra; ellenben a poláris vektor megfordítja az előjelet.

A vektoriális szorzásból származtatott műveletek

Vegyes szorzat

A vektorok vegyes szorzatának definíciója:

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}

Az eredmény egy szám, ami megegyezik a három vektor által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogatával. A vektoriális szorzat ábrázolható a három tényezőből alkotott mátrixszal:

V = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) .

Rotáció

A vektoranalízisben a $\nabla$ nabla operátorral együtt alkalmazzák a vektoriális szorzást, hogy bevezessék a rotációt. Ha $\vec{V}$ vektormező $ℝ^{3}$ -ben, akkor

rot \vec{V} = \nabla \times \vec{V} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial}{\partial x_{2}} \\ \frac{\partial}{\partial x_{3}} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \\ V_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x_{2}} V_{3} - \frac{\partial}{\partial x_{3}} V_{2} \\ \frac{\partial}{\partial x_{3}} V_{1} - \frac{\partial}{\partial x_{1}} V_{3} \\ \frac{\partial}{\partial x_{1}} V_{2} - \frac{\partial}{\partial x_{2}} V_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\partial V_{3}}{\partial x_{2}} - \frac{\partial V_{2}}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial V_{1}}{\partial x_{3}} - \frac{\partial V_{3}}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial V_{2}}{\partial x_{1}} - \frac{\partial V_{1}}{\partial x_{2}} \end{matrix})

ismét vektormező, $\vec{V}$ rotációja.

Formálisan a rotációt a nabla operátor és a vektormező vektoriális szorzataként fejezik ki. Az itt m,egjelenő $\frac{\partial}{\partial x_{i}} V_{j}$ kifejezések nem szorzatok, hanem az $\frac{\partial}{\partial x_{i}}$ operátorok alkalmazása a $V_{j}$ függvényekre; így a fenti tulajdonságok, például a Graßmann-azonosság nem teljesülnek. Ehelyett a nabla operátorral való számolás szabályai érvényesülnek.

Vektoriális szorzás más dimenziókban

A vektoriális szorzás általánosítható tetszőleges $n \geq 2$ dimenzióra az $ℝ^{n}$ térben. Ebben a tényezők száma nem 2, hanem $n - 1$ , azaz például 2 dimenzióban egy vektor elég, de négy dimenzióban három kell.

Az ${\vec{a}}_{1}, \dots, {\vec{a}}_{n - 1} \in ℝ^{n}$ vektorok vektoriális szorzatát az jellemzi, hogy minden $\vec{v} \in ℝ^{n}$ esetén

\vec{v} \cdot ({\vec{a}}_{1} \times {\vec{a}}_{2} \times \dots \times {\vec{a}}_{n - 1}) = \det (\vec{v}, {\vec{a}}_{1}, \dots, {\vec{a}}_{n - 1}) .

A vektoriális szorzat koordinátái $ℝ^{n}$ -ben a következőképpen számítjuk: Legyen ${\vec{e}}_{i}$ az $i$ -edik standard egységvektor! Az $n - 1$ vektorra:

{\vec{a}}_{1} = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \end{matrix}), {\vec{a}}_{2} = (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{n 2} \end{matrix}), \dots, {\vec{a}}_{n - 1} = (\begin{matrix} a_{1 (n - 1)} \\ a_{2 (n - 1)} \\ ⋮ \\ a_{n (n - 1)} \end{matrix}) \in ℝ^{n}

teljesül, hogy ${\vec{a}}_{1} \times {\vec{a}}_{2} \times \dots \times {\vec{a}}_{n - 1} = \det (\begin{matrix} {\vec{e}}_{1} & a_{11} & \dots & a_{1 (n - 1)} \\ {\vec{e}}_{2} & a_{21} & \dots & a_{2 (n - 1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ {\vec{e}}_{n} & a_{n 1} & \dots & a_{n (n - 1)} \end{matrix}),$ a fenti determinánsos számoláshoz hasonlóan.

Az ${\vec{a}}_{1} \times {\vec{a}}_{2} \times \dots \times {\vec{a}}_{n - 1}$ vektor ortogonális az ${\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, \dots, {\vec{a}}_{n - 1}$ vektorokra. Az irányítás olyan, hogy ${\vec{a}}_{1} \times {\vec{a}}_{2} \times \dots \times {\vec{a}}_{n - 1}, {\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, \dots, {\vec{a}}_{n - 1}$ ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. Az ${\vec{a}}_{1} \times {\vec{a}}_{2} \times \dots \times {\vec{a}}_{n - 1}$ szorzat hossza megegyezik az ${\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, \dots, {\vec{a}}_{n - 1}$ által kifeszített parallelotóp $(n - 1)$ dimenziós térfogatával.

Az $n = 2$ esetben egy lineáris leképezést kapunk:

ℝ^{2} \to ℝ^{2}; (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} a_{2} \\ - a_{1} \end{matrix})

ami egy 90 fokos forgatás az óramutató járása szerint.

Itt meg kell jegyeznünk, hogy a tényezőkhöz hozzávéve a szorzatvektort csak páratlan dimenzióban kapunk jobbrendszert; páros dimenziókban balrendszert kapunk. Ez azon múlik, hogy $({\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, \dots, {\vec{a}}_{n - 1}, {\vec{a}}_{1} \times {\vec{a}}_{2} \times \dots \times {\vec{a}}_{n - 1})$ páros dimenzióban nem ugyanaz a bázis, mint $({\vec{a}}_{1} \times {\vec{a}}_{2} \times \dots \times {\vec{a}}_{n - 1}, {\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, \dots, {\vec{a}}_{n - 1})$ , ami definíció szerint jobbrendszer. Habár egy kisebb változtatással a definícióban páros dimenziókban is jobbrendszerre lehetne áttérni (azaz a szimbolikus determinánsban az egységvektorokat utolsó sorként vagy oszlopként megadni), ez a definíció nem terjedt el.

Egy további általánosítással Graßmann-algebrákhoz jutunk, melyek a differenciálgeometriában találnak alkalmazásra. Itt különféle fizikai területek részletesen modellezhetők, mint a klasszikus mechanika (szimplektikus sokaságok), a kvantumgeometria, illetve az általános relativitáselmélet. A szakirodalom elrejti a magasabb dimenziós, illetve görbült terekben definiált vektoriális szorzást, és inkább indexenként írja ki Levi-Civita-szimbólumokkal.

Komplex vektoriális szorzás

Komplex vektorterekben, például $ℂ^{3}$ -ben a vektoriális szorzás definíciója a skaláris szorzástól függ. Ha az $x, y \in ℂ^{3}$ vektorok skaláris szorzását úgy választjuk, hogy az első tényező koordinátáit komplex konjugáljuk:

⟨ \vec{x}, \vec{y} ⟩ : = {\bar{x}}_{1} y_{1} + {\bar{x}}_{2} y_{2} + \dots + {\bar{x}}_{n} y_{n} = \sum_{i = 1}^{n} {\bar{x}}_{i} y_{i} = {\vec{x}}^{H} \vec{y}

akkor a vektoriális szorzat számítható úgy, mint $ℝ^{3}$ -ben, és a végén komplex konjugálva:

\vec{x} \times \vec{y} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \overline{x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2}} \\ \overline{x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3}} \\ \overline{x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}} \end{matrix}) .

Alkalmazások

Alkalmazzák a geometriában kitérő egyenesek távolságának számítására.

A fizika számos területén alkalmazzák, pl.:

B indukciójú mágneses térben v sebességgel mozgó töltésre ható erő:

𝐅 = q (𝐯 \times 𝐁)

r erőkarral rendelkező F erő forgatónyomatéka:

𝐌 = 𝐫 \times 𝐅

Külső hivatkozások

Interaktív Java szimuláció két vektor vektoriális szorzatáról gömbi koordináták megadásával. Szerző: Wolfgang Bauer
Magyarított Flash animáció két vektor vektoriális szorzatának irányáról, ill. ennek kapcsolatáról a jobbkézszabállyal. Szerző: David M. Harrison

Forrás

Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, Sablon:ISBN.

Jegyzetek

Sablon:Jegyzetek

Lásd még

Skaláris szorzat

Fordítás

Sablon:Fordítás Sablon:Portál

↑ Sablon:Cite web
↑ Sablon:Cite book
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. 2. Band 2. korrigierte Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel u. a. 2006, Sablon:ISBN (Grundstudium Mathematik), S. 312–313
↑ Doppeltes Vektorprodukt (Vorlesungsskript Klassische und relativistische Mechanik, Othmar Marti, abgerufen am 2. Oktober 2020)

[1] Sablon:Cite web

[2] Sablon:Cite book

[AmannII312313-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. 2. Band 2. korrigierte Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel u. a. 2006, Sablon:ISBN (Grundstudium Mathematik), S. 312–313

[4] Doppeltes Vektorprodukt (Vorlesungsskript Klassische und relativistische Mechanik, Othmar Marti, abgerufen am 2. Oktober 2020)

[1]

[2]

[3]

[4]

Vektoriális szorzat

Tartalomjegyzék

Tulajdonságok

Bilinearitás

Alternáló tulajdonság

Antikommutativitás

Kapcsolat a determinánssal

Graßmann-azonosság

Lagrange-azonosság

Vektoriális szorzatok vektoriális szorzata

Kifejtési tétel

Kiszámítása a derékszögű Descartes-féle koordináta-rendszerben

Előállítása mátrixszorzásként

Determinánsalak

Levezetés

Vektoriálisszorzó-mátrix

Poláris és axiális vektorok

A vektoriális szorzásból származtatott műveletek

Vegyes szorzat

Rotáció

Vektoriális szorzás más dimenziókban

Komplex vektoriális szorzás

Alkalmazások

Külső hivatkozások

Forrás

Jegyzetek

Lásd még

Fordítás

Navigációs menü

Vektoriális szorzat

Tulajdonságok

Bilinearitás

Alternáló tulajdonság

Antikommutativitás

Kapcsolat a determinánssal

Graßmann-azonosság

Lagrange-azonosság

Vektoriális szorzatok vektoriális szorzata

Kifejtési tétel

Kiszámítása a derékszögű Descartes-féle koordináta-rendszerben

Előállítása mátrixszorzásként

Determinánsalak

Levezetés

Vektoriálisszorzó-mátrix

Poláris és axiális vektorok

A vektoriális szorzásból származtatott műveletek

Vegyes szorzat

Rotáció

Vektoriális szorzás más dimenziókban

Komplex vektoriális szorzás

Alkalmazások

Külső hivatkozások

Forrás

Jegyzetek

Lásd még

Fordítás

Navigációs menü

Keresés