Levi-Civita-szimbólum

A Levi-Civita-szimbólumot a fizikai vektor- és tenzorszámításban használják. Jele ${\epsilon }_{i_1{i}_2\dots i_n}$; értéke nulla, ha van két egyező index, egy, ha az indexek adott sorrendje páros permutáció, és mínusz egy, ha páratlan. Vagyis azt mutatja, hogy páros vagy páratlan sok csere kell-e az indexek rendezéséhez. A matematikában inkább a permutációk előjeléről beszélnek. A szimbólumot Tullio Levi-Civita (1873−1941) olasz matematikusról nevezték el. Használatos megnevezése még a teljesen antiszimmetrikus egységtenzor.

Definíció

Az n dimenziós Levi-Civita-szimbólumnak n indexe van, amelyeket általában 1-től n-ig, de néhány alkalmazásban 0-tól n−1-ig számoznak. Így definiálják:

• ${\epsilon }_{12\dots n}=1$.
• Két index felcserélése az ellentettjére változtatja: ${\epsilon }_{ij\dots u\dots v\dots }=-{\epsilon }_{ij\dots v\dots u\dots }$.
• A második tulajdonságból következik, hogy ha két index egyenlő, akkor értéke nulla: ${\epsilon }_{ij\dots u\dots u\dots }=0$.

Jelben

${\epsilon }_{ijk\dots }=\{\begin{array}{cc}+1,& \text{ha }(i,j,k,\dots )\text{ az }(1,2,3,\dots )\text{ páros permutációja }\\ -1,& \text{ha }(i,j,k,\dots )\text{ az }(1,2,3,\dots )\text{ páratlan permutációja }\\ 0,& \text{ha két index megegyezik.}\end{array}$

Egy alternatív definíció ugyanazt a szorzatképletet alkalmazza, amivel a permutációk előjelét definiálják:

${\epsilon }_{i_1\dots i_n}=\prod _{1\le p<q\le n}\frac{i_p-i_q}{p-q}$.

Jelölje $N=\{1,\dots ,n\}$ az 1 és n közötti egész számok halmazát! Ekkor a Levi-Civita-szimbólum értelmezhető egy $\epsilon :\{\pi |\pi :N\to N\}\to \{-1,0,+1\}\subset ℝ$ függvényként, ahol $\epsilon (\pi )=0$, ha π nem bijektív, és $\epsilon (\pi )=\mathrm{sgn}(\pi )$, ha π permutáció.

Kapcsolat a determinánssal

Az $A=\left(A_{ij}\right)$ $n\times n$-es mátrix determinánsa a következőképpen írható a Levi-Civita-szimbólummal és az Einstein-féle összegkonvencióval:

$\det A={\epsilon }_{i_1{i}_2\dots i_n}{A}_{1i_1}{A}_{2i_2}\dots A_{n{i}_n}.$

Általánosabban is teljesül az összefüggés:

${\epsilon }_{j_1\dots j_n}{A}_{j_1{i}_1}\dots A_{j_n{i}_n}={\epsilon }_{i_1\dots i_n}\det A$.

A helyére az I identitásmátrixot téve $A_{ij}$ helyére a ${\delta }_{ij}$ Kronecker-delta kerül, így mivel $\det I=1$, kapjuk a Levi-Civita-szimbólum következő ábrázolását:

${\epsilon }_{i_1\dots i_n}={\epsilon }_{j_1\dots j_n}{\delta }_{j_1{i}_1}\dots {\delta }_{j_n{i}_n}=\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{1i_1}& \dots & {\delta }_{1i_n}\\ ⋮& & ⋮\\ {\delta }_{n{i}_1}& \dots & {\delta }_{n{i}_n}\end{array}\right|=\det (e_{i_1}\dots e_{i_n})$.

ahol $\{e_1,\dots ,e_n\}$ a szokásos ortonormált bázis ${ℝ}^n$-ben. Ez a mátrix annak a permutációmátrixnak a transzponáltja, ami a ${\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_n\end{array}\right)}^T$ vektort ${\left(\begin{array}{cccc}{x}_{i_1}& x_{i_2}& \dots & x_{i_n}\end{array}\right)}^T$-be viszi.

Innen a determinánsok szorzástételével

${\epsilon }_{i_1\dots i_n}{\epsilon }_{j_1\dots j_n}=\det ((e_{i_1}\dots e_{i_n}{)}^T\cdot (e_{j_1}\dots e_{j_n}))=\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{i_1{j}_1}& \dots & {\delta }_{i_1{j}_n}\\ ⋮& & ⋮\\ {\delta }_{i_n{j}_1}& \dots & {\delta }_{i_n{j}_n}\end{array}\right|$.

A Laplace-féle kifejtési tétellel kapható a következő összefüggés, amely a két tenzor első k indexét kontraktálja:

${\epsilon }_{i_1\dots i_k{i}_{k+1}\dots i_n}{\epsilon }_{i_1\dots i_k{j}_{k+1}\dots j_n}=k!\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{i_{k+1}{j}_{k+1}}& \dots & {\delta }_{i_{k+1}{j}_n}\\ ⋮& & ⋮\\ {\delta }_{i_n{j}_{k+1}}& \dots & {\delta }_{i_n{j}_n}\end{array}\right|$.

Három dimenzióban

A Levi-Civita-szimbólum ábrázolható a három ortogonális egységvektor vegyes szorzataként:

${\epsilon }_{ijk}={\hat{e}}_i\cdot ({\hat{e}}_j\times {\hat{e}}_k)=\det \left(\begin{array}{ccc}-& {\hat{e}}_i& -\\ -& {\hat{e}}_j& -\\ -& {\hat{e}}_k& -\end{array}\right)=:\det A$

${\epsilon }_{lmn}={\hat{e}}_l\cdot ({\hat{e}}_m\times {\hat{e}}_n)=\det \left(\begin{array}{ccc}-& {\hat{e}}_l& -\\ -& {\hat{e}}_m& -\\ -& {\hat{e}}_n& -\end{array}\right)=:\det B$

A két epszilon-tenzor szorzásában újra felhasználjuk a determinánsok szorzástételét, vagyis hogy a szorzat determinánsa megegyezik a tényezők determinánsának szorzatával. Emellett még azt is kihasználjuk, hogy a transzponálás művelete megőrzi a determinánst:

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{lmn}& =\det A\det B=\det A\det B^t=\det (A\cdot B^t)\\ & =|\left(\begin{array}{ccc}-& {\hat{e}}_i& -\\ -& {\hat{e}}_j& -\\ -& {\hat{e}}_k& -\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}\mid & \mid & \mid \\ {\hat{e}}_l& {\hat{e}}_m& {\hat{e}}_n\\ \mid & \mid & \mid \end{array}\right)|=\left|\begin{array}{ccc}{\hat{e}}_i\cdot {\hat{e}}_l& {\hat{e}}_i\cdot {\hat{e}}_m& {\hat{e}}_i\cdot {\hat{e}}_n\\ {\hat{e}}_j\cdot {\hat{e}}_l& {\hat{e}}_j\cdot {\hat{e}}_m& {\hat{e}}_j\cdot {\hat{e}}_n\\ {\hat{e}}_k\cdot {\hat{e}}_l& {\hat{e}}_k\cdot {\hat{e}}_m& {\hat{e}}_k\cdot {\hat{e}}_n\end{array}\right|\end{array}$

Így a két epszilon-tenzor szorzata felírható Kronecker-delták determinánsaként:

${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{lmn}=\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{il}& {\delta }_{im}& {\delta }_{in}\\ {\delta }_{jl}& {\delta }_{jm}& {\delta }_{jn}\\ {\delta }_{kl}& {\delta }_{km}& {\delta }_{kn}\end{array}\right|$

Alkalmazásai

Vektorszámítás

A háromdimenziós esetre adódik:

${\epsilon }_{ijk}=\frac{i-j}{1-2}\cdot \frac{i-k}{1-3}\cdot \frac{j-k}{2-3}=-\frac{1}{2}(j-i)(k-j)(i-k)\equiv (j-i)(k-j)(i-k)mod3$

ahol $i,j,k\in \{1,2,3\}$.

${\epsilon }_{ijk}$ 27 értéke közül csak 6 különbözik nullától:

${\epsilon }_{123}={\epsilon }_{312}={\epsilon }_{231}=1,$

${\epsilon }_{321}={\epsilon }_{213}={\epsilon }_{132}=-1.$

A háromdimenziós Levi-Civita-szimbólum értékei jobbsodrású koordináta-rendszerben

A Levi-Civita-szimbólumok mátrixa és ...

A Levi-Civita-szimbólum balsodrású koordináta-rendszerben

Ebből látszik a Levi-Civita-szimbólum invarianciája a ciklikus permutációra. Ez az invariancia azonban csak páratlan dimenzióban áll fenn, mivel páros dimenzióban a ciklikus permutáció megváltoztatja az előjelet.

A következő számpélda determinánsként ábrázolja, ami három dimenzióban vegyes szorzatként is kifejezhető:

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{123}& =\overrightarrow{e_1}\cdot (\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_3})\\ & =\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\cdot (\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=1\end{array}$

Három dimenzióban a vektoriális szorzat a Levi-Civita-szimbólum felhasználásával:

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}{)}_i=\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k.$

Ha $\overrightarrow{e_i}$ az ortonormált bázis i-edik egységvektora, akkor a fenti egyenlőség az

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}={\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k\overrightarrow{e_i}={\epsilon }_{ijk}{a}_i{b}_j\overrightarrow{e_k}$

alakot nyeri.

A vegyes szorzatra

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}={\epsilon }_{ijk}{a}_i{b}_j{c}_k$.

ahol a Levi-Civita-szimbólum egy térfogatképlet részévé válik, hiszen a vegyes szorzat nagysága a három vektor által kifeszített paralepidon térfogatával egyenlő.

A Levi-Civita-szimbólum a Kronecker-deltához is kapcsolódik:

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{lmn}& =\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{il}& {\delta }_{im}& {\delta }_{in}\\ {\delta }_{jl}& {\delta }_{jm}& {\delta }_{jn}\\ {\delta }_{kl}& {\delta }_{km}& {\delta }_{kn}\end{array}\right|\\ & ={\delta }_{il}{\delta }_{jm}{\delta }_{kn}+{\delta }_{im}{\delta }_{jn}{\delta }_{kl}+{\delta }_{in}{\delta }_{jl}{\delta }_{km}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}{\delta }_{kn}-{\delta }_{il}{\delta }_{jn}{\delta }_{km}-{\delta }_{in}{\delta }_{jm}{\delta }_{kl}\end{array}$.

Innen az Einstein-féle összegkonvencióval

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }^{imn}& =\left|\begin{array}{cc}{\delta }_{jm}& {\delta }_{jn}\\ {\delta }_{km}& {\delta }_{kn}\end{array}\right|={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}\\ {\epsilon }_{ijk}{\epsilon }^{ijn}& =2{\delta }_{kn}\\ {\epsilon }_{ijk}{\epsilon }^{ijk}& =3!=6\end{array}$.

Ezek a kapcsolatok segítenek a vektoriális szorzat azonosságainak levezetésében.

Az epszilon-tenzor egy $\overrightarrow{a}$ vektorhoz azt a ferdén szimmetrikus A mátrixot rendeli, amire $A_{ij}={\epsilon }_{ijk}{a}_k$. A vektoriális szorzat tehát kifejezhető mátrixszorzatként:

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=A\cdot \overrightarrow{b}$

Ez a Hodge-operátor. Fizikai példa a mágneses erővektorhoz rendelt komponensek az elektromágneses mezőtenzorban. Ugyanilyen hozzárendelést kapcsolnak a pszeudovektorokhoz is.

Relativitáselmélet

A relativitáselméletben különbséget kell tennünk az epszilon-tenzor ko- és kontravariáns komponensei között. Legyen a következőkben a metrikus tenzor szignatúrája ${\eta }_{ij}=(1,-1,-1,-1)$ a négydimenziós Minkowski-térben! Itt az indexeket nullától háromig vesszük fel. A négyszeresen kontravariáns komponens ${\epsilon }^{0123}=1$. A különböző szerzők különféle előjel-konvenciókat alkalmaznak a metrikában és az epszilon-tenzorra. Az indexek szokás szerint együtt mozognak a metrikus tenzorral. Így például a négyszeresen kontravariáns komponensre

${\epsilon }_{0123}={\eta }_{0\mu }{\eta }_{1\nu }{\eta }_{2\varrho }{\eta }_{3\sigma }{\epsilon }^{\mu \nu \varrho \sigma }=\det (\eta )=-1$.

Az epszilon-tenzor invariáns a $\mathrm{\Lambda }$ Lorentz-transzformációra:

${\epsilon }^{\prime \mu \nu \varrho \sigma }={\mathrm{\Lambda }}_{{\mu }^{\prime }}^{\mu }{\mathrm{\Lambda }}_{{\nu }^{\prime }}^{\nu }{\mathrm{\Lambda }}_{{\varrho }^{\prime }}^{\varrho }{\mathrm{\Lambda }}_{{\sigma }^{\prime }}^{\sigma }{\epsilon }^{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }{\varrho }^{\prime }{\sigma }^{\prime }}={\epsilon }^{\mu \nu \varrho \sigma }$

Ez abból következik, hogy $\mathrm{\Lambda }$ determinánsa 1. Az epszilon-tenzor felhasználásával a duális elektromágneses térerőtenzor is definiálható:

${\tilde{F}}^{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\epsilon }^{\mu \nu \varrho \sigma }{F}_{\varrho \sigma }$

Ezzel a homogén Maxwell-egyenletek is tömörebben írhatók:

${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0$

Ha a négydimenziós Minkowski-teret a $2\times 2$-es hermitikus mátrixok vektorterére képezzük le, akkor újra felbukkan az epszilon-tenzor:

$v_{\alpha \dot{\alpha }}={\sigma }_{\alpha \dot{\alpha }}^m{v}_m$. Itt ${\sigma }^m$ a Pauli-mátrixok $m=1,2,3$ és ${\sigma }_0=-E_2$ az egységmátrix negatívja. Ennek megfelelő a tenzorok hozzárendelése. A metrikus tenzor két epszilon-tenzor szorzatára képeződik le:

${\sigma }_{\alpha \dot{\alpha }}^m{\sigma }_{\beta \dot{\beta }}^n{\eta }_{mn}=-2{\epsilon }_{\alpha \beta }{\epsilon }_{\dot{\alpha }\dot{\beta }}$.

Ebben a formalizmusban (Van-der-Waerden-notáció) az egy indexes mennyiségek ${\psi }^{\alpha }$ spinorok, és az epszilon-tenzor ugyanazt a szerepet kapja a ko- és kontravariáns komponensek átszámításában, mint az ${\eta }_{mn}$ metrikus tenzor a közönséges Minkowski-térben:

${\psi }_{\alpha }={\epsilon }_{\alpha \beta }{\psi }^{\beta }$.

A metrika szignatúrájának rendszerint a (-1,1,1,1) vektort választják. Az epszilon-tenzorra az itt szokásos választás: ${\epsilon }^{12}={\epsilon }_{21}=1$.

Kvantummechanika

A kvantummechanikában a Levi-Civita-szimbólumot a forgatóimpulzus-algebra megformálására használják. Matematikai fogalmakkal a szimbólum megegyezik az $so(3,ℝ)\cong su(2,ℂ)$ Lie-algebrák struktúrakonstansaival. A következő példa illusztrálja a Levi-Civita-szimbólum használatát ebben az összefüggésben. Az $so(3,ℝ)$ Lie-algebra az ${ℝ}^{3\times 3}$-as ferdén szimmetrikus mátrixok részalgebrájának tekinthető, vagyis ábrázolható $3\times 3$-as valós mátrixokkal. Az $so(3,ℝ)$ Lie-algebrát generálják a $T_i\in {ℝ}^{3\times 3}$, $i=1,2,3$ mátrixok, amikben az értékek $(T_i{)}_{jk}=-{\epsilon }_{ijk}$. Ekkor $[T_i,T_j]={\epsilon }_{ijk}{T}_k$ a generátorok kommutátorai.