Egységmátrix

A lineáris algebrában az egységmátrix (vagy n-edrendű egységmátrix) olyan n×n-es négyzetes mátrix, melynek főátlójában csupa 1-esek, a többi helyen 0-k szerepelnek (az n pedig egy tetszőleges pozitív egész számot jelöl). Az egységmátrixot gyakran I_n-nel, E_n-nel vagy ha n adott, akkor I-vel vagy E-vel jelölik. (Néhány területen, például a kvantummechanikában megvastagított 1-gyel is jelölik 1).

$I_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\cdots ,I_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right],\cdots$

Definiáló tulajdonság

Ha T test és M_n(T) a T feletti n×n-es mátrixok algebrája, akkor egyetlen olyan $I_n$ ∈ M_n(T) mátrix van, melyre teljesül, hogy minden A ∈ M_n(T)-re:

$I_{n}A=A{I}_n=A$

és ahol az I főátlójában T egységeleme (1), a többi helyen pedig T zéruseleme (0) áll, és ez az n-edrendű egységmátrix.

Másként szólva ez azt jelenti, hogy $I_n$ az n×n-es mátrixok multiplikatív (a mátrixszorzás műveletével képzett) csoportjának, azaz a GL(n, T) általános lineáris csoportnak egységeleme, illetve hogy az M_n(T) algebra egységelemes.

Ugyanis világos, hogy a diagonális, a főátlójában csupa egyest tartalmazó mátrix rendelkezik a fenti tulajdonsággal, másrészt ha lenne két ilyen tulajdonságú mátrix, mondjuk $I$ és $I$*, akkor az $I$ = $I$ $\cdot$ $I$* = $I$* $\cdot$ $I$* = $I$* egyenlőség miatt ezek egyenlők lennének. Az egyetlen ilyen tulajdonságú mátrix tehát az egységmátrix.

Általában egy T test feletti bármilyen dimenziójú mátrixok halmazában (melyben az összeadás és a szorzás csak parciálisan értelmezett, hisz csak a megfelelő alakú mátrixokkal végezhetők el) igaz az egységmátrixokra, hogy

$I_{m}A=A{I}_n=A$

és

$B{I}_m=I_{n}B=B$

minden A-val jelölt m×n-es és B-vel jelölt n×m-es mátrixra.

További tulajdonságok

Minden n-re:

• $I_n=I_n^2=I_n^3=I_n^4=\dots$
• rangja n
• minden λ∈T-re $\lambda \cdot I_n=\left[\begin{array}{cccc}\lambda & 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \lambda \end{array}\right]$
• $I_n$ determinánsa egy, azaz $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I_n)=1$ (hiszen nem növel térfogatot)
• $I_n$ invertálható, inverze önmaga: $I_n^{-1}=I_n$
• az egyetlen olyan idempotens mátrix, melynek determinánsa nem 0
• egyetlen sajátértéke az 1 és minden vektor ezzel a számmal sajátvektora
• minden bázisban $[I]=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,1,...,1_{(n)})$ a diagonalizációja (azaz önmaga)
• ebből következik, hogy a nyoma n, azaz $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(I_n)=n$
• ${\mathrm{e}}^{I_n}=\mathrm{e}\cdot I_n$

Ez utóbbi azért van, mert tetszőleges kvadratikus A mátrixot formálisan behelyettesítve az exponenciális függvény Taylor-sorába:

${\mathrm{e}}^A=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{A}^k=I+A+\frac{1}{2!}{A}^2+\frac{1}{3!}{A}^3+\cdots ,$

így az $A=I_n$ esetben a sorfejés jobb oldalának főátlójában a $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$ sorösszeg van, ami e-vel egyenlő, míg a főátlón kívüli elemekre a jobb oldal 0-t ad.

Mint lineáris leképezés

Ha V a T test feletti n-dimenziós vektortér, akkor a V egy B bázisára vonatkozóan felírható tetszőleges lineáris leképezés mátrixa. Ebből a szempontból az I_n egységmátrix az x $\mapsto$ x identitásleképezés mátrixa akármelyik bázisban:

$[I{]}_B=[I{]}_C=I_n$

ha B és C a V tetszőleges bázisa.

Világos, hogy a lineáris leképezések terében az identitásleképezéssel való kompozíció és az egységmátrixszal való szorzás is azonosítható.

Kronecker-szimbólum

Az n×n-es mátrixok nem mások, mint az (i, j) alakú párokon értelmezett T-be képező függvények, ahol 1 ≤ i, j ≤ n. Ebben az értelemben az egységmátrix azonos a Kronecker-féle δ függvénnyel, melyre:

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ccc}1,& \mathrm{h}\mathrm{a}& i=j\\ 0,& \mathrm{h}\mathrm{a}& i\ne j\end{array}$

és így

$(I_n{)}_{ij}={\delta }_{ij}$

minden 1 ≤ i, j ≤ n-re.

Egységgyökök

Egy n×n-es A mátrixot k-adik egységgyöknek nevezünk, ha az A mátrix k-adik hatványa az n-edrendű egységmátrix. Például a 2 × 2-es egységnégyzetgyökök:

$\left(\begin{array}{cc}\pm d& \frac{1-d^2}{c}\\ c& \mp d\end{array}\right)$ ill. $\left(\begin{array}{cc}\pm d& c\\ \frac{1-d^2}{c}& \mp d\end{array}\right)$

Források

• Identity Matrix in MathWorld
• Identity Matrix in PlanetMath