Rang (lineáris algebra)

A lineáris algebrában a rang egy rendszer maximálisan független részrendszerének elemszáma. Speciálisan mátrix esetében a rang a mátrix sorai vagy mátrix oszlopai által meghatározott vektorok maximálisan független részrendszerének az elemszáma. Bebizonyítható, hogy a mátrix sorainak, illetve a mátrix oszlopainak segítségével definiált rang mindig megegyezik, ezért beszélhetünk általában véve a mátrix rangjáról, továbbá a mátrixok rangszámtétele értelmében a mátrix rangja megegyezik a mátrix nullától különböző aldeterminánsai rendjének a maximumával.

Kiszámítása

A mátrix rangjának a kiszámításakor Gauss-elimináció segítségével alakítjuk át a mátrixot ekvivalens alakba. Az átalakítás után a nemnulla együtthatókkal rendelkező sorvektorok száma megfelel a mátrix rangjának.

Példa

• $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 5& 4\\ 0& 10& 2\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 5& 4\\ 0& 0& -6\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(A)=3$

• $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 6& 4\\ 0& 3& 2\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 6& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(B)=2$

• $C=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1\\ 4& -1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(C)=2$

Természetesen a fenti számítást a sorok helyett az oszlopokon is elvégezhettük volna.

Négyzetes mátrixok

Nemelfajuló négyzetes mátrixról beszélünk, ha a négyzetes mátrix rangja megegyezik a sorainak, illetve oszlopainak a számával. Ezt a tulajdonságot a mátrix determinánsával kifejezve azt mondhatjuk, hogy egy négyzetes mátrix pontosan akkor nemelfajuló, ha a determinánsa nem nulla.

Kapcsolódó szócikkek

• Gauss-elimináció
• Kronecker–Capelli-tétel

Hivatkozások

• A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 13. Auflage. Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden 2002, Sablon:ISBN.