Kronecker–Capelli-tétel

A Kronecker–Capelli-tétel a lineáris algebra tétele, amely arra ad választ, hogy egy adott lineáris egyenletrendszer megoldható-e. A tétel állítása szerint egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor megoldható, ha az együtthatóiból képzett mátrix rangja megegyezik a bővített mátrixának a rangjával.

Példa

Tekintsük a következő egyenletrendszert:

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 2.

Az együtthatók mátrixa

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right],$

és a bővített mátrix

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\end{array}\right].$

Mivel mindkét mátrix rangja 2, ezért létezik megoldás. Ugyanakkor a rang kisebb, mint az ismeretlenek száma, ami 3, ezért végtelen sok megoldás van.

Ellenpéldaként tekintsük a következő rendszert:

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 5.

ahol az együtthatók mátrixa

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right],$

és a bővített mátrix

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 5\end{array}\right].$

Ebben a példában az együtthatómátrix rangja 2, míg a bővített mátrix rangja 3, ezért ennek az egyenletrendszernek nincs megoldása. A lineárisan független sorok száma eggyel nő a bővített mátrixban, ami inkonzisztenssé teszi az egyenletrendszert.

Kapcsolódó szócikkek

• Gauss-elimináció

Hivatkozások

• A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975, 84. old.
• Sablon:Cite book