Általános lineáris csoport

Általános lineáris csoportnak (vagy egyszerűen lineáris csoportnak) nevezzük és $GL(V)$-vel jelöljük a $V$ (véges vagy végtelen dimenziós) vektortér invertálható lineáris transzformációinak csoportját. (A szokásos jelölésben a GL az angol 'általános lineáris' jelentésű general linear szavak rövidítése.) Ha $V$ véges dimenziós vektortér a $K$ test felett, akkor szokás a $GL(n,K)$ vagy a $G{L}_n(K)$ jelölést használni $GL(V)$ helyett (ahol $n$ a vektortér dimenziója), ami értelmes, hiszen a $K$ feletti $n$-dimenziós vektorterek izomorfak egymással, és izomorf vektorterek transzformációcsoportjai is nyilván izomorfak. Ha $K$ véges test, amelynek elemszáma $q$, akkor a $GL(n,K)$ helyett szokásos a $GL(n,q)$ jelölés is. (Itt $q$ nyilván prímhatvány.)

Általános lineáris csoport mint mátrixok szorzáscsoportja

A véges dimenziós esetben $GL(n,K)$ elemei megfeleltethetők $K$ feletti $n\times n$-es invertálható mátrixoknak, és így $GL(n,K)$ megegyezik (izomorf) az ezek alkotta csoporttal. Ez a reprezentáció gyakran megkönnyíti a $GL(n,K)$ elemeivel való számolást.

Példák

• $GL(2,ℝ)$ a sík lineáris transzformációinak csoportja.
• $GL(3,8)$ a nyolcelemű test feletti $3\times 3$-as, nemnulla determinánsú mátrixok szorzáscsoportja.

Elemszám

Ha $K$ végtelen test, vagy $V$ végtelen dimenziós, $K$ felett, akkor $GL(V)$ végtelen rendű csoport. Azonban véges n és q esetén $GL(n,q)$ is véges, mégpedig

$|GL(n,q)|=\prod _{j=1}^n\left(q^n-q^{j-1}\right)$

Ezt úgy láthatjuk be, hogy megszámoljuk, hány $n\times n$-es invertálható mátrixot állíthatunk össze a q elemű test elemeiből. Egy ilyen mátrix első sorában bármilyen n-es állhat, kivéve a csupa nullából állót; az ilyenek száma $q^n-1$. A második sorban bármilyen n-es állhat, ami az elsőnek nem skalárszorosa; ilyenekből $q^n-q$ darab van. A harmadikban ismét csak bármilyen n-es állhat, ami az első kettőnek nem skalárszorosa; ilyenekből $q^n-q^2$ darab van. Ugyanezt a gondolatmenetet folytatva a j-edik sorba $q^n-q^{j-1}$ n-est választhatunk. Mivel az egyes sorokat a fenti feltételek mellett egymástól függetlenül tölthetjük meg, az összes lehetséges mátrix száma a fenti variációk szorzata, ami éppen az igazolni kívánt összefüggést adja.

Néhány konkrét véges általános lineáris csoport

Alaptest rendje	Mátrixok rendje	Csoport szokásos elnevezése	Csoport rendje
2	1	Triviális csoport	$1$
3	1	${\mathbb{Z}}_2$, ötelemű ciklikus csoport	$2$
4	1	${\mathbb{Z}}_3$, ötelemű ciklikus csoport	$3$
5	1	${\mathbb{Z}}_4$, ötelemű ciklikus csoport	$4=2^2$
2	2	$S_3$, harmadfokú szimmetrikus csoport	$6=2\cdot 3$
3	2	$GL(2,3)$ általános lineáris csoport	$48=2^4\cdot 3$
4	2	$A_5$ alternáló csoport	$60=2^2\cdot 3\cdot 5$
5	2	$GL(2,5)$ általános lineáris csoport	$240=2^4\cdot 3\cdot 5$
2	3	$GL(3,2)$ általános lineáris csoport	$168=2^3\cdot 3\cdot 7$

Források

• Sablon:Cite web