Prímhatvány

A matematikában, közelebbről a számelmélet és algebra területén a prímhatványok valamely prímszám pozitív egész hatványai. Például: Sablon:Nowrap, Sablon:Nowrap és Sablon:Nowrap prímhatványok, míg Sablon:Nowrap, Sablon:Nowrap és Sablon:Nowrap egyike sem prímhatvány. Az egyet nem tekintjük prímhatványnak. A prímhatványok sorozata így kezdődik:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, ... Sablon:OEIS.

Az 1-nél nagyobb kitevőjű prímhatványok (tehát a prímhatványok a prímszámok nélkül):

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, ... Sablon:OEIS.

A prím k-adik hatványok pedig:

k	Sorozat száma	Prím k-adik hatványok
1	A000040	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,…
2	A001248	4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, ...
3	A030078	8, 27, 125, 343, 1331, 2197, 4913, ...
4	A030514	16, 81, 625, 2401, 14641, 28561, 83521, ...
5	A050997	32, 243, 3125, 16807, 161051, 371293, ...
6		64, 485, 1253, 20857, 396958, 695867,

A prímhatványok olyan pozitív egész számok, melyek pontosan egy prímszámmal oszthatók; a prímhatványokat általánosabb algebrai értelemben, kommutatív gyűrűben prímideálnak tekinthetjük; lásd prímideál-felbontás.

Tulajdonságaik

Az algebra területén

A prímhatványok prímszámok teljes hatványai. Minden prímhatványnak (2 hatványai kivételével) létezik primitív gyöke modulo n; tehát a modulo pⁿ egészek multiplikatív csoportja (vagy ekvivalensen a Z/pⁿZ gyűrű egységelemeinek csoportja) ciklikus csoportot alkot.

Véges test elemeinek száma mindig prímhatvány, és megfordítva, minden prímhatvány előáll valamely véges test elemeinek számaként (a véges testre ez a szám izomorfizmusig jellemző).

A kombinatorika területén

Az analitikus számelméletben gyakran felhasználják a prímhatványok azon tulajdonságát, hogy a nem prímszám prímhatványok halmaza kis halmaz – abban az értelemben, hogy reciprokainak végtelen sora konvergens – pedig a prímek maguk nagy halmazt alkotnak.

Az oszthatóság területén

Az Euler-függvény (φ), valamint a σ₀ és σ₁ osztóösszeg-függvények prímhatványok esetében a következően számíthatók:

$\varphi (p^n)=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^n-p^{n-1}=p^n(1-\frac{1}{p}),$

${\sigma }_0(p^n)=\sum _{j=0}^n{p}^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,$

${\sigma }_1(p^n)=\sum _{j=0}^n{p}^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^n{p}^j=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}.$

Minden prímhatvány hiányos szám. A pⁿ prímhatvány egy n-majdnem prím. Nem ismert, hogy egy pⁿ prímhatvány lehet-e barátságos szám. Ha van ilyen közöttük, akkor pⁿ-nek nagyobbnak kell lennie 10¹⁵⁰⁰-nál, n-nek pedig 1400-nál.

Művészetben

Az 1997-es A kocka című filmben a prímhatványok fontos szerepet játszanak, halálos veszélyeket jelölnek a labirintusszerű kockában.

Kapcsolódó szócikkek

• Teljes hatvány
• Majdnem prím
• Félprím

Jegyzetek

• Elementary Number Theory. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.