Pauli-mátrixok

Pauli-mátrixoknak nevezzük (Wolfgang Pauli után) az alábbi három mátrixot:

${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

A Pauli-mátrixok a 2x2-es, hermitikus, 0 nyomú mátrixok 3 dimenziós valós vektorterének egy bázisát alkotják.

Algebrai tulajdonságok

Pauli mátrixok szorzata

${\sigma }_x^2={\sigma }_y^2={\sigma }_z^2=I$

${\sigma }_x{\sigma }_y=i{\sigma }_z$

${\sigma }_y{\sigma }_z=i{\sigma }_x$

${\sigma }_z{\sigma }_x=i{\sigma }_y$

$Tr({\sigma }_i{\sigma }_j)=2{\delta }_{ij}(i,j\in \{x,y,z\})$

${\sigma }_x{\sigma }_y-{\sigma }_y{\sigma }_x=2i{\sigma }_z$

${\sigma }_y{\sigma }_z-{\sigma }_z{\sigma }_y=2i{\sigma }_x$

${\sigma }_z{\sigma }_x-{\sigma }_x{\sigma }_z=2i{\sigma }_y$

Determináns, nyom, sajátérték

A Pauli-mátrixok nyoma és determinánsa:

$\begin{array}{cccc}\det ({\sigma }_i)& =& -1& \\ \mathrm{Tr}({\sigma }_i)& =& 0& \text{ha}i=1,2,3.\end{array}$

Ebből következik, hogy +1 és -1 sajátértéke az összes Pauli-mátrixnak.

Így

${\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3=i\mathrm{𝟏}$

Forgáscsoport

A Pauli-mátrixok Lie-algebrát alkotnak a mátrixszorzásra.

Az

$\exp (-\mathrm{i}\frac{\alpha }{2}\mathit{\sigma }\cdot 𝐧)=\cos \frac{\alpha }{2}\mathrm{𝟏}-\mathrm{i}\sin \frac{\alpha }{2}\sigma \cdot 𝐧$

azonosság szerint a Pauli-mátrixok a komplex $\text{SU}(2)$ forgáscsoport generátorai, ahol n a forgástengely irányvektora ${ℝ}^3$-ben, és α a forgatás szöge, ami 0 és 4π között változhat. α = 2π-re $\exp (-\mathrm{i}\pi \mathit{\sigma }\cdot 𝐧)=-\mathrm{𝟏}$ adódik. Így egy 1/2 spin csak egy 4π szögű forgatással reprodukálható.