Helyvektor

A matematikában a sík vagy a tér egy adott pontjának helyvektora az a vektor, amely a koordináta-rendszer origójából (kezdőpontjából) a pontba mutat. A helyvektor tehát függ attól, hogy a pontot milyen koordináta-rendszerben helyezzük el.

A koordináta-rendszer vagy vonatkoztatási rendszer origója az a pont, amelynek minden koordinátája 0. Egy derékszögű koordináta-rendszerben ez a koordináta-tengelyek metszéspontja. Egy $P$ pont helyvektora az $\overrightarrow{OP}$ vektor, ahol $O$ az origó.

A helyvektor előállítása

A geometriában szokásos még az adott pont nevének kisbetűvel írása és felülvonással ellátva jelölni az adott pont helyvektorát, például:

$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP},\overrightarrow{q}=\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB},\dots ,\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OX}$

Szokás még az adott pont betűjelét nyíllal ellátva jelölni a helyvektort:

$\overrightarrow{P}=\overrightarrow{OP},\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{A}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{B}=\overrightarrow{OB},\dots ,\overrightarrow{X}=\overrightarrow{OX}$

A kinematikában egy anyagi pontot az r(t) helyvektor jelöli, amely megmutatja a t időpontbeli helyét, elmozdulását. Az r helyvektor a Descartes-féle koordináta-rendszerben:

$𝐫=𝐫(t)=x(t)𝐢+y(t)𝐣+z(t)𝐤,$

ahol x(t), y(t), z(t) az r helyvektor koordinátái, i, j, k pedig - az origóban egymásra merőlegesen álló - így a koordináta-rendszert "kifeszítő" egységvektorok. (Egységvektor: 1 egységnyi hosszúságú vektor).

Ennek ismeretében bármikor meghatározható a tömegpont pályája.
(A kinematika a mechanika mozgásokkal foglalkozó része, nem vizsgálja az erőt, amely a mozgásokat befolyásolja, azt a kinetika, a mechanika egy másik részterülete tárgyalja.)

Példák és geometriai alkalmazások

Összekötő vektor

Legyenek $P$ és $Q$ az euklideszi tér pontjai! Ekkor a $\overrightarrow{PQ}$ összekötő vektor megkapható a $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP}$ és $\overrightarrow{q}=\overrightarrow{OQ}$ helyvektorok segítségével:

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}$

Descartes-koordináták

Legyenek a $P$ pont koordinátái $(p_1,p_2,p_3)$! Ekkor az $\overrightarrow{OP}$ helyvektor koordinátái:

$\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)$

Hasonlók teljesülnek más dimenziókban is.

Eltolás

Jelölje $\overrightarrow{v}$ egy párhuzamos eltolás vektorát, és jelölje az eltolásban az $X$ pont képét $X^{\prime }$! Ekkor

$\overrightarrow{O{X}^{\prime }}=\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{v}$

${\overrightarrow{x}}^{\prime }=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{v}$

Origó körüli forgatás

Egy $O$ origó körüli $\phi$ szögű forgatás a Descartes-koordinátákban leírható mátrixszal: Ha $\overrightarrow{x}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_1}{x_2})=\overrightarrow{OX}$ egy $X$ pont helyvektora, és ${\overrightarrow{x}}^{\prime }=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{x_1}^{\prime }}{{x_2}^{\prime }})=\overrightarrow{O{X}^{\prime }}$ az $X^{\prime }$ képpont helyvektora, akkor:

$\left(\begin{array}{c}{x_1}^{\prime }\\ {x_2}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Affin leképezés

Egy általános affin leképezés, ami az $X$ pontot az $X^{\prime }$ pontra képezi le, helyvektorokkal a következőképpen ábrázolható:

${\overrightarrow{x}}^{\prime }=L(\overrightarrow{x})+\overrightarrow{v}$

ahol $\overrightarrow{x}$ az $X$ helyvektora, ${\overrightarrow{x}}^{\prime }$ az $X^{\prime }$ helyvektora, $L$ egy lineáris leképezés, és $\overrightarrow{v}$ egy eltolás vektora. Descartes-koordinátákban az $L$ lineáris leképezés ábrázolható egy $A$ mátrixszal, és teljesül, hogy:

$\overrightarrow{x}=A\cdot \overrightarrow{x}+\overrightarrow{v}$

Három dimenzióban:

$\left(\begin{array}{c}{x_1}^{\prime }\\ {x_2}^{\prime }\\ {x_3}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$

Más dimenziókban az ábrázolás hasonló.

Egyenes paraméteres ábrázolása

A $P$ és $Q$ pontokon áthaladó egyenes pontosan azokat az $X$ pontokat tartalmazza, melyek $\overrightarrow{x}$ helyvektora előáll, mint

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{PQ}$ ahol $t\in ℝ$

Ez az egyenes egyenletének paraméteres alakja.

Az egyenes egyenletének normálformája

Egy $P$ támaszponton átmenő, $\overrightarrow{n}$ normálvektorú sík pontosan azokat az $X$ pontokat tartalmazza, amelyek $\overrightarrow{x}$ helyvektora eleget tesz az

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{n}=\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{n}$

normálegyenletnek. Itt $\overrightarrow{p}$ a $P$ támasztópont helyvektora, és a szorzópont skalárszorzást jelöli.

Helyvektorok különböző koordináta-rendszerekben

Egy helyvektorral leírt pont kifejezhető különböző koordináta-rendszerekben, ahol a helyvektor vonatkoztatási pontja rendszerint az origó.

Descartes-koordináták

Descsartes-féle koordináta-rendszerben a helyvektor koordinátái

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$

Így a Descartes-koordináták egyben a helyvektor koordinátái is.

Hengerkoordináták

A hengerkoordináták alapján a helyvektor koordinátái a megfelelő Descartes-koordináták:

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(\rho ,\phi ,z)=\left(\begin{array}{c}\rho \cos \phi \\ \rho \sin \phi \\ z\end{array}\right).$

ahol $\rho$ a pont távolsága a $z$-tengelytől, a $\varphi$ szöget az x tengely felől az y tengely felé mérjük. Tehát a $\rho$ és $\phi$ koordináták az $x$-$y$ síkra vetített pontok polárkoordinátái.

Itt egy leképezésről van szó, ami a $(\rho ,\phi ,z)$ koordinátákhoz hozzárendeli a helyvektor $(x,y,z)$ koordinátáit.

Gömbkoordináták

Gömbkoordinátákban adott pont esetén is át kell számolni a koordinátákat a megfelelő Descartes-koordinátákba:

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(r,\theta ,\phi )=\left(\begin{array}{c}r\sin \theta \cos \phi \\ r\sin \theta \sin \phi \\ r\cos \theta \end{array}\right).$

ahol $r$ az origótól mért távolság, a $\phi$ szög az $x$-$y$ síkban az $x$-tengelytől az $y$-tengely irányába mért szög, a $\theta$ szög pedig a $z$-tengely és a helyvektor által bezárt szög.

Kísérő triéder

Egy felületen vagy görbén történő mozgást pályához kötött koordináta-rendszerben, a kísérő triéderben (más néven természetes koordináta-rendszer-ben) ábrázolnak, amit három, egymásra kölcsönösen merőleges egységvektor alkot. Az egységvektorai: t az érintő (tangenciális), n a főnormális és b, a binormális egységvektor.

A kísérő triéder előállítása a következő:

A térgörbe az $𝐫(s)=x(s)𝐢+y(s)𝐣+z(s)𝐤$ helyvektor, ahol s paraméter a görbe előjeles ívhossza.

A kísérő triéder egységvektorai:

$𝐭=\frac{d𝐫}{ds}$ az érintő (tangenciális, e -vel is jelölhetik),

$𝐧=\frac{d^2𝐫}{d{s}^2}$ a főnormális és

$𝐛=𝐭\times 𝐧$ a binormális egységvektor (azaz a másik két egységvektor vektoriális szorzata).

A kísérő triéder fogalmának a kinematikában van jelentősége. Pl. a Frenet-formulák, azaz a térgörbe kísérő triédere három egységvektorának az ívhossz (s) szerinti deriváltjait megadó összefüggések:

t′(s) = g(s)n(s),

n′(s) = –g(s)t(s) + c(s)b(s),

b′(s) = –c(s)n(s),

ahol g(s) a görbe görbülete és c(s) a torziója.

A helyvektor deriváltjai (sebességvektor, gyorsulásvektor)

Sebességvektor

A helyvektor idő szerinti első deriváltja (differenciálhányadosa) a sebesség (velocitas), jele: v, mértékegysége: méter per szekundum vagy méter per másodperc (m/s).

Egy m anyagi pont kinematikája.
r a helyvektora, v a sebességvektora, a a gyorsulásvektora.

$𝐯=\dot{𝐫}.$

A sebességvektor a pálya érintőjének az irányába mutat.

A Descartes-féle koordináta-rendszerben:

$𝐯=\dot{𝐫}=\dot{x}(t)𝐢+\dot{y}(t)𝐣+\dot{z}(t)𝐤.$

Gyorsulásvektor

A gyorsulás a helyvektornak az idő szerinti második, a sebességnek pedig az idő szerinti első deriváltja, jele: a (acceleratio), mértékegysége: méter per szekundumnégyzet (másként: méter per másodperc a négyzeten): m/s² vagy m*s⁻²:

$𝐚=\ddot{𝐫}=\dot{𝐯}.$

Az átlagos gyorsulásvektor iránya megegyezik a Δv sebességváltozás-vektor irányával. Az átlagos gyorsulás független attól, hogyan változik az anyagi pont sebessége a kezdő és végpont között, kizárólag a sebesség vektornak a két pontban felvett értékétől (azok különbségétől) és az időintervallum hosszától függ. Az anyagi pont pillanatnyi gyorsulását az átlaggyorsulás határértéke adja, ha Δt tart a nullához.

További deriváltak

További deriváltakat már nem szoktak keresni. Az ok: az anyagi pontnak a környezetével való kölcsönhatását - az erőt - Nevton II. törvénye a helyvektor második deriváltjával, a gyorsulással kapcsolja össze:

$𝐅=m𝐚,$

ahol F az erő, m a tömeg és a a gyorsulás.

A h vektor, a helyvektor idő szerinti harmadik deriváltja például a nagy sebességű íves vasúti pályák geometriai pályáját határozza meg, valamint előidézi a élettani hatásokat, egyben e hatások mértéke is:

$𝐡=\frac{d𝐚}{dt}=\stackrel{...}{𝐫}=\stackrel{...}{x}(t)𝐢+\stackrel{...}{y}(t)𝐣+\stackrel{...}{z}(t)𝐤.$

Az m vektort, a helyvektor idő szerinti negyedik deriváltját pedig - a vasútnál maradva - a nagy sebességű vasúti pályák geometriai összehasonlító értékelésénél alkalmazzák a mérnökök:

$𝐦=\frac{d𝐡}{dt}=\stackrel{....}{𝐫}=\stackrel{....}{x}(t)𝐢+\stackrel{....}{y}(t)𝐣+\stackrel{....}{z}(t)𝐤.$

Források

• Helyvektor
• Az anyagi pont kinematikája
• FIZIKA I. Mechanika, Hőtan - Kinematika
• Mechanika III.
• II. MechanikaSablon:Halott link
• Sablon:Cite book
• Sablon:TermTudLex
• Sablon:Cite book
• Klaus Desch: Mathematische Ergaenzungen zur Physik II, Kapitel 11: Vektoranalysis. (PDF, 210 kB). Institut für Experimentalphysik, Hamburg.