Görbület

A görbület matematikai, azon belül geometriai fogalom. Szemléletesen egy sík- vagy térgörbe egyenestől való eltérését, illetve egy térbeli felületnek a síktól való eltérését jellemző számérték.

A görbék és a felületek görbületének definíciója eltérő, az utóbbi az előbbire támaszkodik.

Görbék görbülete

Görbület

Az ábrán s-sel jelölt görbén irányítást definiálunk, s ennek megfelelően értelmezzük a görbe egy-egy pontjában húzott érintő irányát: érintővektor. A görbe egy BC irányított ívéhez tartozó átlagos görbület (v.ö.: átlagsebesség) a két végponthoz tartozó érintővektorok szögének és az s = BC ívhossznak a hányadosa:

$g=\frac{\mathrm{\Delta }\alpha }{\mathrm{\Delta }s}$

A görbe egy pontjában értelmezett görbület e hányados határértéke, midőn az ívhossz 0-hoz tart (s → 0, azaz C → B).

$g=\lim \frac{\mathrm{\Delta }\alpha }{\mathrm{\Delta }s}=\frac{d\alpha }{ds}$

Másként fogalmazva: A pontbeli görbület az érintő irányváltozásának a pályamenti sebessége, az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja.

Görbületi sugár, simulókör

float

A görbe három (nem egy egyenesbe eső) pontja mindig meghatároz egy síkot (síkgörbe esetén a befoglaló síkot) és e síkban egy kört. Az ún. simulókört (görbületi kört) kapjuk, ha a három pont egyetlen pontba konvergál. E kör sugara a görbe adott pontjához tartozó görbületi sugár.

• A simulókör sugara a görbület reciproka:

$r=\frac{1}{g}$,

• A simulókörök középpontjának mértani helye a görbe evolutája.
• A görbén egyenletes v pályamenti sebességgel haladó m tömegű testre ható centripetális erő pontonként változó:

$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{g}{v}^2$.

• Az egyenes vonal görbülete 0, az r sugarú kör görbülete 1/r minden pontban. E két síkgörbe (és csak ezek) állandó görbületűek. A térben ilyen a körhenger felületére illeszkedő, állandó emelkedésű csavarvonal.

A görbület számítása

Ha a görbe egy analitikus függvény grafikonja és egyenlete

$y=f(x)$,

alakban adott, akkor a görbület:

$g=\frac{y^{″}}{(1+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}$.

Ha a síkgörbe egyenlete az alábbi parametrikus formában adott:

$\{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$

$g(t)=\frac{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}{({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2{)}^{3/2}}$.

Ha a görbe egyenlete $r(\theta )$ polárkoordinátákkal adott, görbülete:

$g(\theta )=\frac{r^2+2r{\text{'}}^2-r{r}^{″}}{{(r^2+r{\text{'}}^2)}^{3/2}}$,

ahol a vessző (') a $\theta$ szerinti deriváltat jelöli.

A görbe egyenlete megadható parametrikus polárkoordinátákkal is:

$\{\begin{array}{c}r=r(t)\\ \theta =\theta (t)\end{array}$

Ekkor a görbület

$g=\frac{\dot{\theta }(2{\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)+r(\dot{r}\ddot{\theta }-\dot{\theta }\ddot{r})}{({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2{)}^{3/2}}$.

Ha a görbe egyenlete implicit alakban adott:

$F(x,y)=0$, akkor a görbület:

$g=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{F}_{x^{″}x}& F_{x^{″}y}& {F_x}^{\prime }\\ F_{y^{″}x}& F_{y^{″}y}& {F_y}^{\prime }\\ {F_x}^{\prime }& {F_y}^{\prime }& 0\end{array}\right|}{(F_x{\text{'}}^2+F_y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}$

Térgörbék görbülete

Paraméteresen adott térgörbe görbülete:

$g=\frac{\sqrt{(z^{″}{y}^{\prime }-y^{″}{z}^{\prime }{)}^2+(x^{″}{z}^{\prime }-z^{″}{x}^{\prime }{)}^2+(y^{″}{x}^{\prime }-x^{″}{y}^{\prime }{)}^2}}{(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2{)}^{3/2}}$

Ha a görbe $r(t)$ helyvektorának függvényével adott, akkor a görbület:

$g=\frac{|\dot{r}\times \ddot{r}|}{|\dot{r}{|}^3}.$

Felületek görbülete

A felület egy P pontjában a görbültségét (síktól való eltérését) a ponton átmenő jellegzetes felületi görbék görbületének értékével jellemezhetjük. A felületi görbület definíciójánál a P pontra illeszkedő síkmetszetek, s ezek közül csak az ú.n. normálmetszetek görbületét vesszük figyelembe.

Normálmetszet

A felület P pontbeli C normálmetszetét (felületi görbét) a felület adott pontbeli normálvektorát tartalmazó sík metszi ki. Egy ilyen normálmetszet görbülete a metszősík helyzetétől függ:

$\overrightarrow{g}=\frac{1}{R}$.

A metszősíkot a normálvektor egyenese körül elforgatva az R₁ = R_max és R₂ = R_min értékekhez tartozó C₁ és C₂ metszetek az adott P ponthoz tartozó főnormálmetszetek.

Euler képlete

A C₁ főnormálmetszet síkjával α szöget bezáró C normálmetszet görbülete a főnormálmetszetek görbületével kifejezve:

$g=g_{1}co{s}^2\alpha +g_{2}si{n}^2\alpha$

..azaz..

$\frac{1}{R}=\frac{co{s}^2\alpha }{R_1}+\frac{si{n}^2\alpha }{R_2}$.

Gauss-féle görbület

A P ponthoz tartozó két főnormálmetszet görbületi sugarával kifejezve:

$G=g_1.g_2=\frac{1}{R_1{R}_2}$.

Középgörbület

A P ponthoz tartozó két főnormálmetszet görbületének számtani közepe:

$H=\frac{g_1+g_2}{2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})$.

Források

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• Bronstejn-Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.
• Pach Zs. Pálné - Frey Tamás: Vektor- és tenzoranalízis, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1964.