Térgörbe

A térgörbe olyan görbe, melynek pontjai a háromdimenziós térben helyezkednek el. Matematikailag leírható az

$𝐫=𝐫(t)=x(t)𝐢+y(t)𝐣+z(t)𝐤$

alakú vektor-skalár függvénnyel, ahol $𝐢$, $𝐣$, és $𝐤$ az x,y és z irányú egységvektor. Leírható még az

$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$

paraméteres egyenletrendszerrel vagy két felület metszésvonalaként, azaz egy

$F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0$

egyenletrendszerrel.

Érintő

S-simulósík, N-normálsík, R-rektifikáló sík, t-érintő, n-főnormális, b-binormális, g-simuló kör

A vektor-skalár függvény első deriváltja:

$\dot{𝐫}(t)=\dot{x}(t)𝐢+\dot{y}(t)𝐣+\dot{z}(t)𝐤$

A t paraméter felfogható úgy is, hogy az a görbén valamilyen menetrend szerint végigfutó pont mozgása közben mérhető időt jelenti. Ha ráadásul olyan a „menetrend” hogy a sebesség abszolút értéke állandó és egységnyi, akkor a t paraméter jelentése a görbe menti ívhossz (út). Ekkor az

$\dot{𝐫}(t)=𝐯(t)$ a sebességvektor, az

$\ddot{𝐫}(t)=𝐚(t)$ pedig a gyorsulásvektor.

Az érintő irányú egységvektor a fentiek alapján:

$𝐭=\frac{\dot{𝐫}(t)}{\mid \dot{𝐫}(t)\mid }$

A görbeszakasz ívhossza

A görbeszakasz ívhossza a $t$ idő alatt befutott távolság:

$s=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\mid \dot{𝐫}(t)\mid dt=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)+{\dot{z}}^2(t)}dt$

Simulósík

A $\ddot{r}(t)$ gyorsulásvektor általában általános helyzetű vektor, mely felbontható érintő irányú (pályamenti gyorsulás) és arra merőleges (centripetális gyorsulás) komponensre. Ha a sebesség (azaz a helyvektor idő szerinti első deriváltja) állandó, pályamenti gyorsulás nincs, ekkor a gyorsulás merőleges az érintőre. Ha a $t$ paraméter megegyezik az $s$ ívhosszal, akkor a deriválást pont helyett vesszővel jelöljük a továbbiakban. Ebben az esetben írható, hogy

$({𝐫}^{\prime }\mathbf{(}𝐬\mathbf{)}{)}^2=1$

és ha ennek az egyenletnek mindkét oldalát deriváljuk, akkor a

$2{𝐫}^{\prime }\mathbf{(}𝐬\mathbf{)}{𝐫}^{″}\mathbf{(}𝐬\mathbf{)}=0$

Látható, hogy a két vektor skaláris szorzata nulla, ez csak akkor lehetséges, ha merőlegesek egymásra. Az $r^{\prime }$ és $r^{″}$ által meghatározott síkot simulósíknak hívják.

Főnormális, binormális, kísérő triéder

A $𝐛$ binormális a simulósíkra az érintési pontban állított egységnyi hosszúságú merőleges vektor:

$𝐛=\frac{\dot{𝐫}\times \ddot{𝐫}}{\mid \dot{𝐫}\times \ddot{𝐫}\mid }=\frac{{𝐫}^{\prime }\times {𝐫}^{″}}{\mid {𝐫}^{\prime }\times {𝐫}^{″}\mid }$

A gyorsulás irányú egységvektor az $𝐧$ főnormális vektor, ez merőleges az érintő és binormális által meghatározott, úgynevezett rektifikáló síkra:

$𝐧=𝐛\times 𝐭=\frac{{𝐫}^{″}}{\mid {𝐫}^{″}\mid }$

A $𝐭$, $𝐧$ és $𝐛$ egységvektorok egymásra merőlegesek, szokásos elnevezésük: kísérő triéder vagy kísérő háromél.

A főnormális és binormális vektornak csak akkor van értelme, ha ${𝐫}^{″}\ne 0$, vagyis, ha a görbe nem egyenes.

Görbület, torzió

A görbület az érintő irányváltozásának sebessége. Kiszámítása:

$g=\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\alpha }{\mathrm{\Delta }s}=\mid {𝐫}^{″}(s)\mid =\frac{\mid \dot{𝐫}\times \ddot{𝐫}\mid }{\mid \dot{𝐫}{\mid }^3}$.

A görbületi sugár a görbület reciproka:

$\rho =\frac{1}{g}$.

A simulókör a simulósíkban helyezkedik el, amint az ábra mutatja.

A torzió vagy csavarodás a simulósík elfordulásának sebessége. Kiszámítása:

$c=\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\beta }{\mathrm{\Delta }s}=-𝐧{𝐛}^{\prime }(s)=\frac{{𝐫}^{\prime }{𝐫}^{″}{𝐫}^{‴}}{\mid {𝐫}^{\prime }\times {𝐫}^{″}{\mid }^2}$.

Források

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. Sablon:ISBN

Külső hivatkozások

• Dr. Gáspár Csaba:Térgörbék Sablon:Wayback
• Liegner Nándor: Vasúti görbület-átmeneti geometriák és alkalmazásuk