Ívhossz

Az ívhossz egy differenciálható görbe szakaszának a hossza. Az ívhossz kiszámítása sok szempontból hasznos lehet, hiszen egy görbe sok mindent reprezentálhat (bejárt út, munka stb.). Jelölése: $S$.

Kiszámítása

Az ívhossz a görbe parametrikus egyenletéből relatíve egyszerűen megadható, mégpedig a meredekség vektorok hosszainak összegéből, azaz:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\overrightarrow{F}}^{\prime }(t)|\mathrm{d}t$,

ahol $t$ független paraméter. Descartes-koordináta-rendszerben a képlet így néz ki:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$

Ez a képlet a következő Riemann-összegből számítható (ezzel az összeggel reprezentálva az ívhosszt):

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\sqrt{1+f^{\prime }(x_i{)}^2}\mathrm{\Delta }x$

A fenti szummában a kifejezés a közelítő hossza egy húrnak a $\mathrm{\Delta }x$ távolságon. Ahogy $\mathrm{\Delta }x$ tart nullához, úgy közelíti az összeg az ívhosszt.

Az ívhossz polárkoordinátákban is meghatározható a fenti általános, vektoros képletből:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{r(\theta {)}^2+(r^{\prime }(\theta ){)}^2}d\theta$

Ívhossz szerinti paraméterezés

Egy görbe paraméterezései között kitüntetett szerep jut az úthossz szerinti paraméterezésnek. Sok képlet egyszerűbbé válik, ha ezt a paraméterezést használjuk.

Legyen a $\mathrm{\Gamma }$ görbe ezzel a paraméterezéssel megadva:

$\begin{array}{cccc}\gamma :& [a,b]& \to & {ℝ}^n\\ & r& \mapsto & \gamma (r)\end{array}$

és $\mathrm{\Gamma }(t)$ minden $t\in [a,b]$-re. Ekkor a $\gamma |[a,t]$ paraméterezésű részgörbére

$\begin{array}{cccc}s:& [a,b]& \to & ℝ\\ & t& \mapsto & L\left({\mathrm{\Gamma }}_t\right)\end{array}$

a $\mathrm{\Gamma }$ görbe úthosszfüggvénye. Ez az s(t) folytonos és monoton növő függvény, mivel a görbe nem szakadásos. Ha szigorúan monoton növő, akkor invertálható is, az inverz függvény $t(s)$. Ekkor $\mathrm{\Gamma }$ ívhossz szerinti paraméterezése:

$\begin{array}{cccc}\hat{\gamma }:& [0,L(\gamma )]& \to & {ℝ}^n\\ & s& \mapsto & \gamma (t(s))\end{array}$

Ha $\mathrm{\Gamma }$ folytonosan differenciálható, és $\dot{\gamma }(r)\ne 0$ minden $r\in [a,b]$-ra, akkor $\hat{\gamma }$ is folytonosan differenciálható, és minden $s\in [0,L(\mathrm{\Gamma })]$-re:

$\Vert \frac{\mathrm{d}\hat{\gamma }(s)}{\mathrm{d}s}\Vert =1$.

Források

• Planet Math: Arc length Sablon:Wayback
• Wolfgang Ebeling, Institut für Algebraische Geometrie, Universität Hannover: Vorlesungsskript Analysis II. [1] Sablon:Wayback