Normálvektor

A geometriában a normálvektor, röviden normális merőleges egy egyenesre, egy síkra, görbére, felületre vagy ezek általánosítására. Egy egységnormálvektor vagy egységnormális egy 1 hosszúságú normálvektor.

Cikkünkben először a síkbeli egyenes és térbeli sík normálisával foglalkozunk, a többi esetre később térünk rá.

Lineáris algebra és analitikus geometria

Ebben a szakaszban a vektorokat vektornyilakkal jelöljük.

Egyenes normálvektora

Egyenes normálvektorokkal és egységnormálvektorokkal

Egy $g$ egyenes normálvektora a síkban egy nullvektortól különböző vektor, ami merőleges a $g$ egyenesre. Ekkor a vektor az egyenes normálisa, illetve ortogonálisa.

Ha a $\overrightarrow{v}=(a,b)$ vektor irányvektora a $g$ egyenesnek, akkor a $(-b,a)$ és $(b,-a)$ a $g$ egyenes normálvektora. A $\overrightarrow{v}$ irányban az egyenes mentén futva, $(-b,a)$ balra, $(b,-a)$ jobbra mutat.

Ha az egyenes az

$y=mx+c$

egyenlettel van megadva, akkor $(1,m)$ az egyenes irányvektora, $(-m,1)$ és $(m,-1)$ normálvektorok. Ha $m\ne 0$, akkor a normálisok meredeksége $-\frac{1}{m}$. Ha $m=0$, akkor $g$ vízszintes, így normálisai függőlegesek, egyenletük tehát $x=a$ alakú.

Ha az egyenes az általános

$ax+by=d$

alakban van adva, akkor $(a,b)$ egy normálvektor.

Egy $\overrightarrow{n}$ normálvektorból kiszámítható ${\overrightarrow{n}}_0$ egységnormálvektor, amennyiben a $\overrightarrow{n}$ normálvektort osztjuk hosszával. Ezt a műveletet normálásnak nevezik:

${\overrightarrow{n}}_0=\frac{1}{|\overrightarrow{n}|}\overrightarrow{n}$

A másik egységnormálvektor megkapható, ha ezt -1-eggyel szorozzuk: $-{\overrightarrow{n}}_0$ az előző egységnormálvektorral ellentett irányú egységnormálvektor. Egy normálvektorból megkapható bármely másik normálvektor egy nullától különböző számmal való szorzással.

Sík normálvektora

Egy sík két normálvektora

Egy háromdimenziós térben egy $E$ sík normálvektora egy nullvektortól különböző, a síkra merőleges vektor; tehát a síkra merőleges egyenesek irányvektora.

Ha az egyenes egyenlete

$ax+by+cz=d$

alakú, akkor $(a,b,c)$ a sík normálvektora.

Ha az $E$ sík a feszítő $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ és $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)$ vektorokkal van adva, akkor, mivel az $\overrightarrow{n}=(n_1,n_2,n_3)$ vektor mindkét feszítő vektorra merőleges, egy lienáris egyenletrendszer adódik:

$\begin{array}{cc}{u}_1{n}_1+u_2{n}_2+u_3{n}_3& =0\\ v_1{n}_1+v_2{n}_2+v_3{n}_3& =0\end{array}$

Minden, a $(0,0,0)$ triviális megoldástól különböző megoldás normálvektort eredményez.

Egy másik lehetőség a vektoriális szorzás felhasználásával adódik a normális kiszámítására:

$\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{u}_2\cdot v_3-u_3\cdot v_2\\ u_3\cdot v_1-u_1\cdot v_3\\ u_1\cdot v_2-u_2\cdot v_1\end{array}\right)$

egy vektor, ami merőleges az $\overrightarrow{u}$ és $\overrightarrow{v}$ vektorokra, és $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$ ebben a sorrendben jobbfogású rendszert alkot.

Ha $E$ egyenlete

$z=ax+by+c$ alakú,

akkor $(-a,-b,1)$ egy felfelé és $(a,b,-1)$ egy lefelé mutató normálvektor.

Ahogy az egyenesnél, úgy a síknál is kapható egységnormálvektor, ha a normálvektort elosztjuk hosszával. A másik egységnormálvektor ebből $-1$-gyel való szorzással kapható. Tetszőleges normálvektor megkapható egy alkalmas nullától különböző számmal való szorzással.

Egy síkot egyértelműen meghatározza egy pontja és egy normálisa.

Görbék és felületek normálvektora

Síkgörbék normálvektora

Síkgörbe normálissal, érintővel és normálenvektorral

Az analízisben és a differenciálgeometriában egy síkgörbe adott pontbeli normálvektora egy vektor, ami merőleges a helyi érintőre. A normálvektor egyenese a normális, ami merőleges az érintőre.

Ha a görbe egy differenciálható függvény, $f$ grafikonjaként van adva, akkor az érintő meredeksége az $p=(x_0,f(x_0))$ pontban $m_t=f^{\prime }(x_0)$, tehát a normális meredeksége

$m_n=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}.$

Így az $p=(x_0,f(x_0))$ pontban a normális

$y=f(x_0)+m_n(x-x_0),$

azaz

$y=f(x_0)-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$

Ha a síkgörbe paraméteresen van adva, és egyenlete $c(t)=(x(t),y(t))$, akkor $\dot{c}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ érintővektor a $c(t)$ pontban, és $(\dot{y}(t),-\dot{x}(t))$ egy jobbra mutató normálvektor. Itt a differenciálgeometriában szokásos módon a pötty a görbe paramétere szerinti deriváltat jelenti.

Térgörbe két normálvektorral $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ és merőleges síkkal a $P$ pontban

Térgörbék esetén a normálvektorok egy kétdimenziós alvektorteret alkotnak, a hozzá tartozó affin altér a $P$ ponton átmenő, a görbére merőleges sík. Az elemi differenciálgeometriában a görbület irányába mutató egységvektort választjuk. Ez a főnormális egységvektor, lásd még: Frenet-formulák.

Felületek normálvektora

A normálvektor megjelenítése

Érintősík: $T$
Normális: $n$
Normálvektor: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{v_x}\times \overrightarrow{v_y}$
$\overrightarrow{v_x}=F_x(x,y)$
$\overrightarrow{v_y}=F_y(x,y)$

A görbékhez hasonlóan, egy felület normálvektora a háromdimenziós térben egy vektor, ami merőleges a helyi érintősíkra.

Ha a felület az

$F:U\subset {ℝ}^2\to {ℝ}^3,(u,v)\mapsto F(u,v)$

paraméteres alakban van adva, akkor az

$F_u(u,v):=\frac{\partial F}{\partial u}(u,v)$ és $F_v(u,v):=\frac{\partial F}{\partial v}(u,v)$

vektorok az érintősík feszítővektorai az $F(u,v)$ pontban, feltéve, hogy az $(u,v)$ felület reguláris, azaz $F_u(u,v)$ és $F_v(u,v)$ lineárisan független. Egy normálvektor az $F(u,v)$ pontban egy vektor, ami merőleges az $F_u(u,v)$ és $F_v(u,v)$ vektorokra, például az :$N(u,v):=\frac{F_u(u,v)\times F_v(u,v)}{|F_u(u,v)\times F_v(u,v)|}.$ vektoriális szorzattal számított és lenormált főnormális egységvektor. Itt a függőleges vonalak az euklideszi normát jelentik.

Ha a felület az

$g(x,y,z)=0$

implicit egyenlettel van adva, ahol $g:{ℝ}^3\to ℝ$ differenciálható függvény, akkor az

$\mathrm{grad}g(x,y,z)=(\frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z))$

gradiens az $(x,y,z)$ pontbeli normálvektora, feltéve, hogy nem tűnik el.

Ha a felület az $f:{ℝ}^2\to ℝ$ differenciálható függvény grafikonjaként van adva, akkor

$(-\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y),1)$

felfelé mutató normálvektor a $p=(x,y,f(x,y))$ pontban. Ez megkapható, ha $F(x,y)=(x,y,f(x,y))$ egy paraméterezés, vagy a felület az $F(x,y)=(x,y,f(x,y))$ egyenlettel van megadva.

Általánosítások

A normálvektor fogalma általánosítható:

• affin alterekre (általánosított síkok), magasabb dimenziós euklideszi terekben, különösen hipersíkokra
• felületekre, hiperfelületekre, részsokaságokra magasabb dimenziós euklideszi terekben
• Riemann-sokaságok felületei, hiperfelületei és részsokaságai
• Nem sima objektumok, mint konvex testek és rektifikálható halmazok.

Alkalmazások

Az analízisben és a differenciálgeometriában a normálvektorok központi szerepet játszanak a felszínek és a felületi integrálok számításában. A számítógépes grafikában többek között a normálvektort is használják arra, hogy egy felület a felhasználó felé fordul-e, ez alapján kizárhatók a nem látható felületek. A többi felülethez a fénybeesés és tükröződések számításához.

Források

• Sablon:MathWorld

Fordítás

• Sablon:Fordítás