Rotáció

A rotáció (ahogy a gradiens és a divergencia) a vektoranalízis egyik differenciáloperátora. Mind differenciálgeometriai, mind fizikán belüli alkalmazásaik jelentősek. A rotáció jelentése legszemléletesebb az áramlástanban, ahol azt mutatja meg, hogy örvénylik a folyadék egy kis térfogatban.

Ha egy vektormező rotációja mindenütt nulla, akkor ez a vektormező örvénymentes.

Néhány gyakorlati példa

• A forgószelek egy úgynevezett szem körül örvénylenek. A forgószelet leíró vektormező rotációja nem nullvektor a szemben, és lehet, hogy máshol sem.
• Egy forgó tárcsa pontjainak sebességét leíró vektormező rotációja minden pontban ugyanaz a nullvektortól különböző vektor.
• Egy autópályán, ahol az egyes sávokon különböző sebességgel haladnak az autók, a sávokat elválasztó vonalakon a rotáció szintén nem nullvektor.

Definíció

Az $F=(F_x,F_y,F_z)$ háromdimenziós vektormező rotációja szintén háromdimenziós vektormező. Jelölése: $\mathrm{rot}\overrightarrow{F}=\mathrm{curl}\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}$ , ahol $\mathrm{\nabla }$ a nabla operátor, és rot a rotáció függvényszimbóluma. A kereszt egy formális vektoriális szorzatot jelent, így a rotáció a derékszögű koordináta-rendszerben:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{rot}:& C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^3,{ℝ}^3)& \to & C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^3,{ℝ}^3)\\ & \overrightarrow{F}=(F_x,F_y,F_z)& \mapsto & \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}\end{array}$

A keresztszorzat definíciója alapján a rotáció formális determinánsként írható fel:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}\\ \frac{\partial }{\partial y}\\ \frac{\partial }{\partial z}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\\ F_z\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{e}}_x& {\overrightarrow{e}}_y& {\overrightarrow{e}}_z\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\\ \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\\ \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\end{array}\right)$

Gömbi koordinátákkal:

$\mathrm{rot}\overrightarrow{F}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{r\sin \theta }[\frac{\partial }{\partial \theta }(F_{\varphi }\sin \theta )-\frac{\partial F_{\theta }}{\partial \varphi }]\\ \frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial F_r}{\partial \varphi }-\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{F}_{\varphi }\right)\\ \frac{1}{r}[\frac{\partial }{\partial r}\left(r{F}_{\theta }\right)-\frac{\partial F_r}{\partial \theta }]\end{array}\right)$

Hengerkoordinátákkal:

$\mathrm{rot}\overrightarrow{F}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \phi }-\frac{\partial F_{\phi }}{\partial z}\\ \frac{\partial F_r}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial r}\\ \frac{1}{r}[\frac{\partial }{\partial r}(r\cdot F_{\phi })-\frac{\partial F_r}{\partial \phi }]\end{array}\right)$

Görbe vonalú derékszögű koordináta-rendszerben:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F}=\frac{{\overrightarrow{e}}_{q_1}}{h_2{h}_3}[\frac{\partial (h_3{F}_3)}{\partial q_2}-\frac{\partial (h_2{F}_2)}{\partial q_3}]+\frac{{\overrightarrow{e}}_{q_2}}{h_1{h}_3}[\frac{\partial (h_1{F}_1)}{\partial q_3}-\frac{\partial (h_3{F}_3)}{\partial q_1}]+\frac{{\overrightarrow{e}}_{q_3}}{h_1{h}_2}[\frac{\partial (h_2{F}_2)}{\partial q_1}-\frac{\partial (h_1{F}_1)}{\partial q_2}]$,

ahol $h_a=\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_a}\right|$

A rotáció előjelet vált, ha balos koordináta-rendszerről jobbos koordináta-rendszerre térünk át.

Két dimenzióban

A $\overrightarrow{V}=(V_x,V_y)$ vektortérben a következő módon számítható a rotáció:

$\mathrm{rot}\overrightarrow{V}=\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}$

Ez éppen egy háromdimenziós vektormező rotációjának a harmadik koordinátája.

A rotáció mint örvénysűrűség

Az örvénysűrűségként való értelmezés a Stokes-tétel következő infinitezimális alakján nyugszik:

$(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐅)\cdot 𝐧:=\underset{\mathrm{\Delta }{\mathrm{S}}^{\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}}\mathrm{\to }\mathrm{0}}{\lim }\{\frac{1}{|\mathrm{\Delta }{S}^{(2)}|}{\oint }_{\mathrm{\Gamma }}𝐅\cdot \mathrm{d}𝐫\}$

Itt $\mathrm{\Delta }{S}^{(2)}$ egy tetszőlegesen irányított $𝐧$ normálisú kis felületdarab; felszíne $|\mathrm{\Delta }{S}^{(2)}|$, és irányított határgörbéje $\mathrm{\Gamma }=\partial (\mathrm{\Delta }{S}^{(2)})$.

A divergenciával analóg módon a legtöbb itt megadott állítás levezethető ebből a formulából.

Felbontási tétel

A $𝐯(𝐫)$ kétszer folytonosan differenciálható háromdimenziós vektormező, amely a végtelenben elég gyorsan tart nullához, felbontható egy $𝐄$ örvénymentes rész és egy forrásmentes $𝐁$ rész összegére:

$𝐯=𝐄+𝐁$.

Az örvénymentes részt meghatározza a forrássűrűsége:

$𝐄(𝐫)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(𝐫)$, ahol

$\mathrm{\Phi }(𝐫)=\underset{{ℝ}^3}{\int }{\mathrm{d}}^{(3)}{r}^{\prime }\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐄({𝐫}^{\prime })}{4\pi |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}$.

A forrásmentes részre hasonlók teljesülnek, ha $\mathrm{\Phi }$ skalárpotenciálja helyett az $𝐀$ vektorpotenciált vesszük, és a $-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$ meg a $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐄$ kifejezéseket a $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐀$ meg a $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐁$ kifejezések helyettesítik

Stokes integráltétele

A rotáció szerepet játszik a vektoranalízisben fontos Stokes-tételben, aminek segítségével a felszíni integrál görbe menti integrállá alakítható:

$\underset{M}{\iint }(\mathrm{rot}\overrightarrow{F})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{A}={\oint }_{\partial M}\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}$

Számolási szabályok

Minden $c\in ℝ$ konstansra, minden $u$ skalármezőre és minden $\overrightarrow{F}$, $\overrightarrow{G}$ vektormezőre fennáll:

• linearitás:

$\mathrm{rot}(c\cdot \overrightarrow{F})=c\cdot \mathrm{rot}\overrightarrow{F}$

$\mathrm{rot}(\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G})=\mathrm{rot}\overrightarrow{F}+\mathrm{rot}\overrightarrow{G}$

• differenciálformák:

$\mathrm{rot}\mathrm{grad}u=\overrightarrow{0}$

$\mathrm{rot}(u\cdot \overrightarrow{F})=u\cdot \mathrm{rot}\overrightarrow{F}+(\mathrm{grad}u)\times \overrightarrow{F}$

• további szorzási szabályok

$\mathrm{rot}(\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{G})=(\overrightarrow{G}\cdot \mathrm{grad})\overrightarrow{F}-(\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{grad})\overrightarrow{G}+\overrightarrow{F}(\mathrm{div}\overrightarrow{G})-\overrightarrow{G}(\mathrm{div}\overrightarrow{F})$

$\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\overrightarrow{F})=\mathrm{grad}(\mathrm{div}\overrightarrow{F})-\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}$

Általánosítás tetszőleges fokú tenzormezőkre

Egy vektormező értelmezhető elsőrendű tenzormezőként. Az Einstein-féle összegkonvenció és a Levi-Civita-szimbólum alapján egy vektormező rotációja így írható:

$(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}{)}_i={ϵ}_{ijk}{\partial }_j{F}_k$

A tetszőleges rendű $F_{j_1,j_2,\dots ,j_N}$ tenzorokra ez alapján az általánosítás nyilvánvaló:

$(\mathrm{\nabla }\times F{)}_i={ϵ}_{ijk}{\partial }_j{F}_{j_1,j_2,\dots ,j_{N-1},k}$

Források

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Springer Verlag, Sablon:ISBN

Külső hivatkozások

A rotációról érthetően (magyar)