Hengerkoordináta-rendszer

Hengerkoordináta rendszer

A hengerkoordináta-rendszer vagy henger-koordinátarendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, mely egy „P” pont helyét (pozícióját) három adattal határozza meg:

• ρ a tengelytől mért (radiális) távolság, vagyis a „P” pont referenciasíkbeli vetületének távolsága az origótól,

  φ a „P” pont referenciasíkbeli vetületének (az origóból tekintett) szögtávolsága (azimut) a referenciairánytól és

  z a függőleges távolság a választott referenciasíktól.

Ez utóbbi távolság lehet pozitív vagy negatív, attól függően, hogy a referenciasík mely oldalán van a pont. A rendszer origója az a pont, ahol mindhárom koordináta értéke 0. Ez a referenciasík és a tengely metszőpontja.

A hengerkoordináták térbeli alakzatok leírására szolgálnak.

A tengelyt hengeresnek vagy longitudinálisnak nevezik, a polártengelytől történő megkülönböztetésként; a polártengely az az egyenes, mely a referenciasíkon fekszik, az origóban ered és a referencia irányába mutat. A tengelytől mért távolságot radiális távolságnak vagy rádiusznak hívják, míg a szöget bezáró koordinátát szögpozíciónak vagy azimutnak. A rádiusz és az azimut együtt a polárkoordináták, melyek megfelelnek a kétdimenziós polárkoordináta-rendszernek. A harmadik koordináta a magasság (ha a referenciasík vízszintes), és longitudinális pozíciónak vagy axiális pozíciónak is nevezik.

A hengeres koordináta-rendszer akkor használatos és hasznos, ha egy tárgynak vagy jelenségnek van forgási szimmetriája a longitudinális tengelyre nézve, mint például a vízfolyás egy egyenes csőben vagy a hőeloszlás egy fémhengerben.

Hengeres polárkoordinátának is hívják és poláros henger-koordinátának is. Használják csillagok pozícióinak meghatározására is egy galaxisban.

Meghatározás

Egy „P” pont három koordinátájának (ρ, φ, z) definíciója:

• A radiális távolság, ρ, „P” pont euklideszi távolsága a „z” tengelytől,
• Az azimut, φ az a szög, mely a választott sík referenciapontja és a „P” pont síkra vetített vonala közt záródik,
• A „z” magasság a „P” pont merőleges távolsága a választott síktól.

Ahogy a polárkoordináta-rendszerekben, úgy a hengerkoordináta-rendszerben a pontok koordinátázása nem egyértelmű; ugyanis a (ρ, φ, z) koordinátájú pontnak koordinátája még (ρ, φ ± n×360°, z), sőt (−ρ, φ ± (2n + 1)×180°, z) is. Továbbá, a z tengely pontjain a ρ sugár nulla, így itt az azimut tetszőleges.

Olyan helyzetekben, ahol megkövetelik az egyértelmű koordinátázást, a következő korlátozásokat vezetik be: ρ ≥ 0, és φ egy 360 fokot lefedő intervallumba esik, általában [−180°,+180°] vagy [0,360°].

Konvenciók

A hengerkoordináta jelölései nem egységesek. Az ISO31-11 szabvány a (ρ, φ, z) jelöléseket ajánlja, ahol ρ a radiális koordináta, φ az azimut és z a magasság. A rádiuszt gyakran „r”-rel jelölik, az azimutot „θ”-val és a magasságot „h”-val (ha henger tengelye vízszintes) vagy „x”-szel.

Hengerkoordináta-felületetek

Koordináta-konverziók

A hengerkoordináta-rendszer csak egy a sok koordináta-rendszer között. A fejezetben néhány ismertebb koordináta-rendszer és a hengerkoordináta-rendszer kapcsolatát mutatjuk be.

Descartes-féle koordináta-rendszer

A hengerkoordináta- és a Descartes-féle koordináta-rendszerek közötti konverzió esetén kézenfekvő, ha a hengerkoordináta-rendszer referenciasíkja a Descartes-féle koordináta-rendszer x-y síkja (z=0), és a henger tengelye a descartesi z tengelye. Így mind a két rendszer tengelye azonos, és a megfeleltetés a hengerkoordináták (ρ,φ) és a Descartes-féle koordinátákra (x,y) azonos a polárkoordinátákkal, azaz:

$x=\rho \cos \phi$

$y=\rho \sin \phi$

az egyik irányban, és

$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$

$\phi =\{\begin{array}{cc}0& \text{if }x=0\text{ and }y=0\\ \arcsin (\frac{y}{\rho })& \text{if }x\ge 0\\ -\arcsin (\frac{y}{\rho })+\pi & \text{if }x<0\end{array}$.

Hengerkoordináta-felületek; a komponensek: p (zöld), φ (piros), z (kék), a három színes felület kereszteződésénél van az a pont, melyet a hengerkoordináták meghatároznak

Az arcsin függvény a szinuszfüggvény inverze, az azimut φ tartománya [−90°,+270°]. Továbbiak a polárkoordináta-rendszer cikkben olvashatók.

A korszerű programozási nyelvekben van olyan lehetőség, ahol az azimut φ értéke pontosan kiszámolható, a fent bemutatott analízis nélkül. Például ezt a funkciót a C programozási nyelvben atan2(y,x)-nak hívják, a Lispben pedig atan(y,x).

Gömbkoordináta-rendszer

A gömbkoordináta-rendszer (rádiusz r, inklináció θ, azimut φ) átkonvertálható hengerkoordinátákba:

θ emelkedési szög:		θ is inklináció:
$\rho =r\cos \theta$		$\rho =r\sin \theta$
$\phi =\phi$		$\phi =\phi$
$z=r\sin \theta$		$z=r\cos \theta$

θ emelkedési szög:		θ is inklináció:
$r=\sqrt{{\rho }^2+z^2}$		$r=\sqrt{{\rho }^2+z^2}$
$\theta =\arcsin (z/r)$		$\theta =\arccos (z/r)$
$\phi =\phi$		$\phi =\phi$

Távolság

A hengerkoordináta-rendszerben az

$\begin{array}{cc}𝐫& =(\rho ,\phi ,z),\\ {𝐫}^{\prime }& =({\rho }^{\prime },{\phi }^{\prime },z^{\prime })\end{array}$

pontok távolsága:

$\begin{array}{cc}𝐃& =\sqrt{{\rho }^2+\rho {\text{'}}^2-2\rho {\rho }^{\prime }\cos (\phi -{\phi }^{\prime })+(z-z^{\prime }{)}^2}\end{array}$

Koordináta-vonalak és -felületek

Ha a koordinátatranszformációt, mint vektoregyenletet tekintjük az $\overrightarrow{r}$ helyvektorral, akkor a következő egyenletet kapjuk:

$\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\rho \cos \phi \\ \rho \sin \phi \\ z\end{array}\right)$

Két koordináta rögzítésével koordinátavonalakhoz, egy koordináta rögzítésével koordinátafelületekhez jutunk. Páronként a koordinátafelületek koordinátavonalakban metszik egymást. A koordinátafelületek és koordinátavonalak segítenek meghatározni a helyi bázist.

Egy $({\rho }_0,{\phi }_0,z_0)$ ponton át három koordinátavonal halad, ha $({\rho }_0\ne 0)$. Ezek:

• $\rho$ esetén egy $(0,0,z_0)$ pontban kezdődő, a $z$-tengelyre merőleges félegyenes
• $\phi$ esetén egy $(0,0,z_0)$ középpontú, ${\rho }_0$ sugarú kör egy $z$-tengelyre merőleges síkban
• $z$ esetén egy $z$-tengellyel párhuzamos egyenes

Az ugyanehhez a ponthoz tartozó koordinátafelületek:

• konstans ${\rho }_0$ esetén egy $z$-tengelyű hengerfelület
• konstans $\phi$ esetén egy $z$-tengely peremű félsík
• konstans $z_0$ esetén egy $z$-tengelyre merőleges sík

Lokális bázisvektorok és ortogonalitás

Egyenes vonalú koordinátarendszerekben a teljes tér számára egyetlen globális bázis van. Görbe vonalú koordinátarendszerekben minden ponthoz külön bázist kell definiálni. Egy pontban a helyi ${\overrightarrow{b}}_1$, ${\overrightarrow{b}}_2$ és ${\overrightarrow{b}}_3$ bázis vektorai a koordinátavonalak érintői, és a koordinátavonalakból deriválással megkaphatók. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a $\overrightarrow{r}$ helyvektor koordinátatranszformávciójának parciális deriváltjait tekintjük $\rho$, $\phi$ és $z$ szerint:

${\overrightarrow{b}}_1=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \rho }=\left(\begin{array}{c}\cos \phi \\ \sin \phi \\ 0\end{array}\right)$, ${\overrightarrow{b}}_2=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi }=\left(\begin{array}{c}-\rho \sin \phi \\ \rho \cos \phi \\ 0\end{array}\right)$ és ${\overrightarrow{b}}_3=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial z}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

Ez a bázis ortogonális, de nem normált. Az egyes vektorok hossza:

$|{\overrightarrow{b}}_1|=\sqrt{{\overrightarrow{b}}_1{\overrightarrow{b}}_1}=1$, $|{\overrightarrow{b}}_2|=\sqrt{{\overrightarrow{b}}_2{\overrightarrow{b}}_2}=\rho$, $|{\overrightarrow{b}}_3|=\sqrt{{\overrightarrow{b}}_3{\overrightarrow{b}}_3}=1$

Normálással ortonormált bázishoz jutunk:

${\overrightarrow{e}}_{\rho }=\frac{\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \rho }}{\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \rho }\right|}=\left(\begin{array}{c}\cos \phi \\ \sin \phi \\ 0\end{array}\right),{\overrightarrow{e}}_{\phi }=\frac{\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi }}{\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi }\right|}=\left(\begin{array}{c}-\sin \phi \\ \cos \phi \\ 0\end{array}\right),{\overrightarrow{e}}_z=\frac{\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial z}}{\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial z}\right|}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right).$

Metrikus tenzor

A metrikus tenzor kovariáns $g=(g_{ij})$ komponensei a kovariáns lokális bázisvektorok skaláris szorzatai:

$g_{ij}={\overrightarrow{b}}_i{\overrightarrow{b}}_j(i,j\in \{1,2,3\})$.

Kiszámítható, hogy:

$g=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& {\rho }^2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Funkcionáldetermináns

Feltéve, hogy a $z$ egyenesvonalú koordinátának nincs hatása a funkcionűldeterminánsra:

$\det \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,z)}=\left|\begin{array}{ccc}\cos \phi & -\rho \sin \phi & 0\\ \sin \phi & \rho \cos \phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=\rho$

Ebből adódik a $\mathrm{d}V$ térfogatelemre:

$\mathrm{d}V=\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}z$

Ez megfelel a metrikus tenzor determinánsának normájának négyzetgyökének, amivel a koordinátatranszformáció számítható (lásd még: Laplace-operátor):

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}y\\ \mathrm{d}z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos \phi & -\rho \sin \phi & 0\\ \sin \phi & \rho \cos \phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{d}\rho \\ \mathrm{d}\phi \\ \mathrm{d}z\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}\rho \\ \mathrm{d}\phi \\ \mathrm{d}z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}& \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}& 0\\ \frac{-y}{x^2+y^2}& \frac{x}{x^2+y^2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}y\\ \mathrm{d}z\end{array}\right)$

Vonal- és térfogatelemek

Több problémához célszerű a hengerkoordináta-rendszer használata. Ekkor hasznos a vonal- és a térfogatelemek ismerete, melyek integrálszámítás szempontjából fontosak. A vonalelem:

$\mathrm{d}𝐫=\mathrm{d}\rho \hat{\mathit{\rho }}+\rho \mathrm{d}\phi \hat{\mathit{\phi }}+\mathrm{d}z\widehat{𝐳}.$

A térfogatelem:

$\mathrm{d}V=\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}z.$

A ρ konstans sugarú felszínelem függőleges hengeren:

$\mathrm{d}{S}_{\rho }=\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}z.$

A φ konstans azimutú felszínelem függőleges félsíkon:

$\mathrm{d}{S}_{\phi }=\mathrm{d}\rho \mathrm{d}z.$

A z konstans magasságú felszínelem vízszintes síkon:

$\mathrm{d}{S}_z=\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi .$

Ebben a rendszerben a del operátor a következő kifejezéseket eredményezi a gradiensre, a divergenciára, a rotációra és a Laplace-operátorra:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }f& =\frac{\partial f}{\partial \rho }\hat{\mathit{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \phi }\hat{\mathit{\phi }}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝐳}\\ [8px]\mathrm{\nabla }\cdot 𝑨& =\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho A_{\rho }\right)+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial A_z}{\partial z}\\ [8px]\mathrm{\nabla }\times 𝑨& =(\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_z}{\partial \phi }-\frac{\partial A_{\phi }}{\partial z})\hat{\mathit{\rho }}+(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho })\hat{\mathit{\phi }}+\frac{1}{\rho }(\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho A_{\phi }\right)-\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \phi })\widehat{𝐳}\\ [8px]{\mathrm{\nabla }}^{2}f& =\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}\end{array}$

Hengerkoordináta-harmonikusok

A Laplace-egyenlet hengerszimmetrikus megoldásait hengerkoordináta-harmonikusoknak hívják.

Irodalom

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book

Fordítás

Sablon:Fordítás

Sablon:Fordítás

További információ

• http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html
• https://web.archive.org/web/20070129073636/http://astro.elte.hu/icsip/tajekozodas_az_egen/csill_krsz/index.html

Kapcsolódó szócikkek

• Koordináta-rendszer
• Csillagászati koordináta-rendszer