Laplace-operátor

A Laplace-operátor (jele: Δ) a több dimenziós analízis fontos differenciáloperátora, ami megadja egy több dimenziós függvény tiszta második deriváltjainak összegét.

Hasonló operátor a nabla operátor (jele: ∇).

Általában

Skalármező Laplace-operátora:

$\mathrm{\Delta }f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}f)$

Vektormezőre:

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{A}=\mathrm{grad}(\mathrm{div}\overrightarrow{A})-\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\overrightarrow{A})$

A divergencia (div), a rotáció (rot) és a gradiens (grad) invarianciája miatt ez a definíció független a koordináta-rendszertől. Ha a Laplace-operátort skalármezőre alkalmazzák, akkor skalármezőt ad. Vektormezőre alkalmazva vektormezőt eredményez. n koordinátavektorra a Laplace-operátor így néz ki:

$\mathrm{\Delta }={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2=\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_k^2}.$

a definíció alapján, ahol $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$ a nabla operátor.

Más koordináta-rendszerekben más alakja van; kiszámításához transzformálni kell a derékszögű koordináta-rendszert.

Egy dimenzióban

Egy dimenzióban a Laplace-operátor a második deriváltra redukálódik. Az egyváltozós $f(x)$ függvényre tehát formálisan felírható a következő egyenlet:

$\mathrm{\Delta }f(x)=\frac{d^{2}f(x)}{d{x}^2}$.

Két dimenzióban

Az $f(x,y)$ kétváltozós függvényre alkalmazva a Laplace-operátort:

derékszögű koordinátákban:

$\mathrm{\Delta }f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial y^2}$

polárkoordinátákban:

$\mathrm{\Delta }f(r,\varphi )=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}$

vagy

$\mathrm{\Delta }f(r,\varphi )=\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial }{\partial r}(r\cdot \frac{\partial f}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}$

Három dimenzióban

A $f(x,y,z)$ háromváltozós függvényre adódik

derékszögű koordináta-rendszerben

$\mathrm{\Delta }f(x,y,z)=\frac{{\partial }^{2}f(x,y,z)}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f(x,y,z)}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f(x,y,z)}{\partial z^2}$

hengerkoordinátákban

$\mathrm{\Delta }f(\rho ,\varphi ,z)=\frac{1}{\rho }\cdot \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \cdot \frac{\partial f}{\partial \rho })+\frac{1}{{\rho }^2}\cdot \frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$

az $f(r,\vartheta ,\varphi )$ gömbi koordinátákkal

$\mathrm{\Delta }f(r,\vartheta ,\varphi )=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2\cdot \frac{\partial f}{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin \vartheta }\cdot \frac{\partial }{\partial \vartheta }(\sin \vartheta \cdot \frac{\partial f}{\partial \vartheta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\vartheta }\cdot \frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}$

Az egyenlőségjel utáni első tag helyett a következő is írható: $\frac{1}{r}\cdot \frac{{\partial }^2}{\partial r^2}(r\cdot f)$ vagy akár $\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\cdot \frac{\partial f}{\partial r}$ .

A Laplace-operátor Green-függvénye $G_{\mathrm{\Delta }}(x,x^{\prime })=-\frac{1}{4\pi \Vert x-x^{\prime }\Vert }+F(x,x^{\prime })$ mit $\mathrm{\Delta }F(x,x^{\prime })=0$.

Ekkor teljesül: $\mathrm{\Delta }{G}_{\mathrm{\Delta }}(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })$, ahol $\delta$ a delta-disztribúció. Az elektrodinamikában a Green-függvényt a peremérték-probléma megoldásához használják.

Megjegyzések

A Laplace-operátor megjelenik például a Laplace-egyenletben:

$\mathrm{\Delta }\phi =0$

Ennek kétszer folytonosan differenciálható megoldásai a harmonikus függvények.

Mivel a Hesse-mátrix az összes második deriváltból képzett mátrix, azért a Laplace-operátor éppen a Hesse-mátrix nyoma.

Az angol nyelvű szakirodalomban a Laplace-operátor jele ${\mathrm{\nabla }}^2$.

A Laplace-operátor az idő szerinti deriválttal együtt a d'Alembert-operátort adja:

$◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\mathrm{\Delta }$

Ez az operátor a Laplace-operátor általánosításának tekinthető a Minkowski-tereken.

Tulajdonságok

A Laplace-operátor forgásszimmetrikus, azaz ha $f$ kétszer differenciálható és $R$ forgatómátrix, akkor

$\left(\mathrm{\Delta }f\right)\circ R=\mathrm{\Delta }(f\circ R)$,

ahol „$\circ$“ a függvénykompozíciót jelöli.

Lásd még: rotáció, divergencia, gradiens

Diszkrét Laplace-operátor és képfeldolgozás

A képfeldogozásban a Laplace-operátort az élek felderítésére, megjelenítésére használják. Az él a jel második deriváltjának nullátmeneteként jelentkezik. Ag_n és g_nm diszkrét jeleken a Laplace-operátort hajtogatásként alkalmazzák. Itt alkalmazzák a következő maszkokat:

1D-szűrő: ${\overrightarrow{D}}_x^2=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 1\end{array}\right]$

2D-szűrő: ${𝐃}_{xy}^2=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& -4& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

A kétdimenziós szűrőnek van egy másik változata:

2D-Filter: ${𝐃}_{xy}^2=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -8& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$

Ezek a differenciálhányadosok diszkretizálásával kaphatók.

Laplace–Beltrami-operátor

Értelmezése

A Laplace-operátor eredetileg az euklideszi térben van értelmezve. A riemanni geometria formalizmusa segítségével adódik a lehetőség arra, hogy általánosítsák a görbült felületekre, és a Riemann-sokaságokra. Ez az általánosított operátor a Laplace–Beltrami-operátor.

Definíció: a Laplace-Beltrami-operátor az (általánosított) gradiens (általánosított) divergenciája.

Az $f:M\to ℝ$ sokaságon értelmezett skalárfüggvény gradiense vektormező $M$-en.

Az $M$ sokaság minden $x$ pontjában fennáll a $v\in T_{x}M$ érintővektorra:

$⟨\text{grad}f(x),v⟩=\mathrm{d}f(x)(v)$

Itt df(x) az f(x) függvény deriváltja x-ben, és ezt az érintőtér lineáris formájának fogják fel.

A gradiens kontravariáns komponensei így számíthatók:

${\left(\text{grad}f\right)}^i={\partial }^{i}f=g^{ij}{\partial }_{j}f$

az Einstein-féle összegkonvencióval. Ez azt jelenti, hogy j az összegben 1-től n-ig megy. A $g^{ij}$-k a $g_{ij}$ metrikus tenzor inverz mátrixának elemei. Tehát $g^{ij}{g}_{jk}={\delta }_k^i$, ahol ${\delta }_k^i$ a Kronecker-delta.

Az X vektormező divergenciája az $M$ sokaságon az X vektormező szerinti térfogatelemek $L_X$ Lie-deriváltjával

$(\text{div}X){\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n:={ℒ}_X{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n$

Ha $g$ a sokaság metrikus tenzora, akkor a térfogatelem a helyi koordináták szerint

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n:=\sqrt{|g|}\mathrm{d}{x}^1\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{x}^n$

Itt $|g|:=|\det g_{ij}|$ a metrikus tenzor determinánsának abszolútértéke.

A $\mathrm{d}{x}^i$-k a

${\partial }_i:=\frac{\partial }{\partial x^i}$

bázisvektorok kovektorai, és bázist alkotnak a helyi koordináta-rendszer duális terében.

Helyi koordinátákban

$\text{div}X=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_i\left(\sqrt{|g|}{X}^i\right).$

Összesítve a Laplace-Beltrami-operátor:

$\mathrm{\Delta }f=\text{div grad}f=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_i\left(\sqrt{|g|}{\partial }^{i}f\right)$.

Alakjai

A szorzás- és láncszabállyal erre az alakra hozható:

$\mathrm{\Delta }f={\partial }_i{\partial }^{i}f+({\partial }^{i}f){\partial }_i\ln \sqrt{|g|}$

Mivel a háromdimenziós euklideszi térben a derékszögű koordináta-rendszerre $|g|=1$, azért $\mathrm{\Delta }f={\partial }_i{\partial }^{i}f$ adódik, ami éppen megfelel a Laplace-operátornak. A (+,-,-,-) vagy (-,+,+,+) Minkowski-metrikával a D'Alembert-operátor áll elő.

A Laplace-Beltrami-operátorba az euklideszi polár-, henger- vagy gömbi metrikus tenzorokat helyettesítve is a Laplace-operátort kapjuk ezekben a koordináta-rendszerekben felírva, mert a polár- és hengerkoordinátákra $|g|=r$ és $|g|=\rho$, a gömbi koordinátákra pedig $|g|=r\sin \theta$.

A Laplace-Beltrami-operátor felírható a Christoffel-szimbólumokkal is:

$\mathrm{\Delta }f=g^{ij}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k\frac{\partial f}{\partial x^k})$.

A d külső deriválttal és az általánosított divergenciával bizonyítható a sokaságokra a következő azonosság:

$\underset{M}{\int }\mathrm{d}f(X){\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n=-\underset{M}{\int }f\text{div}X{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n$.

Alkalmas f és h függvényekre:

$\underset{M}{\int }f\mathrm{\Delta }h{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n=-\underset{M}{\int }⟨\text{grad}f,\text{grad}h⟩{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n=\underset{M}{\int }h\mathrm{\Delta }f{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n$.

Források

• Otto Forster: Analysis 3. - 3. Auflage. - Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 1984
• Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. - Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 1995