Nabla operátor

A nabla operátor a matematikában, azon belül pedig a vektoranalízisben alkalmazott differenciáloperátor. A ∇ (nabla) szimbólum jelöli, melynek HTML-kódja: ∇, Unicode-ban pedig az U+2207 kódhelyen található. A nabla operátor által egyszerűen leírhatóak olyan differenciáloperátorok, mint a gradiens, a divergencia és a rotáció. Egyben vektoroperátor is, melynek komponensei megfelelnek egy adott koordináta-rendszerben a parciális deriváltakat reprezentáló operátoroknak.

Nevét egy föníciai eredetű húros hangszerről kapta, legkorábbi használata az 1870-re tehető.

Definíció

Egy $n$-dimenziós Descartes-féle koordináta-rendszerben (${ℝ}^n$), melynek koordinátái $(x_1,\dots ,x_n)$ és bázisa $\{{𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n\}$, a nabla-operátor $\mathrm{\nabla }$ a következő:

$\mathrm{\nabla }=\sum _{i=1}^n{𝐞}_i\frac{\partial }{\partial x_i}=(\frac{\partial }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n})$.

A definíció háromdimenziós térben, melynek koordinátái ($x,y,z$), egységvektorainak halmaza pedig $\{{𝐞}_x,{𝐞}_y,{𝐞}_z\}$, a következőképp egyszerűsödik le:

$\mathrm{\nabla }={𝐞}_x\frac{\partial }{\partial x}+{𝐞}_y\frac{\partial }{\partial y}+{𝐞}_z\frac{\partial }{\partial z}=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$

A nabla operátor kiterjeszthető más koordinátarendszerekre is, mint például gömbi- vagy hengerkoordinátákra, viszont ezek konkrét megadásához érdemes ismerni a mezőt is, melyen az operátor hat.

Azonosságok

A következő egyenletekben $f$ és $g$ skalármezők, míg $𝐮$ és $𝐯$ vektormezők. A műveletek közül $\cdot$ a skaláris szorzatot, $\times$ pedig a vektoriális szorzatot jelöli.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }(fg)& =f\mathrm{\nabla }g+g\mathrm{\nabla }f\\ \mathrm{\nabla }(𝐮\cdot 𝐯)& =𝐮\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐯)+𝐯\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐮)+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐮\\ \mathrm{\nabla }\cdot (f𝐯)& =f(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)+𝐯\cdot (\mathrm{\nabla }f)\\ \mathrm{\nabla }\cdot (𝐮\times 𝐯)& =𝐯\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐮)-𝐮\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐯)\\ \mathrm{\nabla }\times (f𝐯)& =(\mathrm{\nabla }f)\times 𝐯+f(\mathrm{\nabla }\times 𝐯)\\ \mathrm{\nabla }\times (𝐮\times 𝐯)& =𝐮(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)-𝐯(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐮-(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐯\end{array}$

Mátrixanalízisben a következő azonosság is gyakran használt, ahol a $𝐮$ és $𝐯$ skaláris szorzata ${𝐮}^{\text{T}}𝐯$-ként is írható:

$\begin{array}{cc}{\left(𝐀\mathrm{\nabla }\right)}^{\text{T}}𝐮& ={\mathrm{\nabla }}^{\text{T}}\left({𝐀}^{\text{T}}𝐮\right)-\left({\mathrm{\nabla }}^{\text{T}}{𝐀}^{\text{T}}\right)𝐮\end{array}$

Nablával kifejezhető operátorok

A nabla vektoroperátor jellege lehetővé teszi, hogy skalármezőkre és vektormezőkre is tud hatni, így alkalmazhatósága sokszínű. Egy skalármezőre hatva megkapjuk a gradienst, vektormezőre skaláris szorzattal hatva a divergencia, míg vektoriális szorzattal hatva a rotáció definiálható. A nabla operátort többször alkalmazva olyan magasabb rendű parciális deriváltakat szerepeltető operátorokat fejezhetünk ki, mint a Laplace-operátor vagy a Hesse-mátrix.

Gradiens

Sablon:Bővebben Háromdimenziós euklideszi térben adott $f(x,y,z)$ skalármező gradiense kényelmesen kifejezhető a nabla operátorral:

$\mathrm{grad}f=\frac{\partial f}{\partial x}\widehat{𝐱}+\frac{\partial f}{\partial y}\widehat{𝐲}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝐳}=\mathrm{\nabla }f.$

Az $f$ mező gradiense adott pontban a legnagyobb meredekség irányába mutat és nagysága meghatározza a meredekség nagyságát. Például, ha egy dombot $x$ és $y$ koordináták szerinti $h(x,y)$ magasságfüggvénnyel írunk le, a magasságfüggvény gradiense adott pontban egy olyan vektor az $xy$ síkon, mely a legnagyobb meredekség irányába mutat, a vektor hossza pedig a meredekség konkrét nagyságát adja meg.

Adott $f$ és $g$ skalármezők szorzatának gradiense a szorzatszabály szerint kiszámolható:

$\mathrm{\nabla }(fg)=f\mathrm{\nabla }g+g\mathrm{\nabla }f.$

Mindazonáltal, $𝐮$ és $𝐯$ vektormezők skaláris szorzatának gradiensét bonyolultabb azonossággal lehet általánosan kifejezni:

$\mathrm{\nabla }(𝐮\cdot 𝐯)=(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐮+𝐮\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐯)+𝐯\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐮).$

Amennyiben $f(\rho ,\phi ,z)$ hengerkoordinátákkal van kifejezve, gradiense a következő:

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial \rho }\hat{\mathit{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \phi }\hat{\mathit{\phi }}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝐳}.$

Továbbá, egy gömbi koordináta-rendszerben definiált $f(r,\phi ,\theta )$ gradiense a következőképp írható le:

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial r}\widehat{𝐫}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \phi }\hat{\mathit{\phi }}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }\hat{\mathit{\theta }}.$

Divergencia

Sablon:Bővebben Adott $v(x,y,z)=v_x\widehat{𝐱}+v_y\widehat{𝐲}+v_z\widehat{𝐳}$ vektormező divergenciája egy skalármező, mely kifejezhető a nabla operátor vektormezővel vett skaláris szorzatával:

$\mathrm{div}𝐯=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯.$

Egy vektormező divergenciája azt fejezi ki, hogy adott pontban a vektormező mennyire "terjed ki" vagy "összpontosul". Egy intuitív példa lehet egy fűrészporral beszórt vízfelszín vizsgálata. A kétdimenziós vektormező itt a víz sebessége. Ha egy adott pontba szórt fűrészpor kiterjed a vízfelszínen, akkor a vízsebesség által meghatározott vektormező divergenciája abban a pontban pozitív. Ellenkezőleg, ha egy adott pontban azt észleljük, hogy a fűrészpor elkezd inkább összegyűlni, akkor abban a pontban a vektormező divergenciája negatív. Ebből következik, hogy a divergencia rendkívül hasznos operátor az áramlástan területén, legyen szó akár folyadékokról, akár elektromos áramról.

Egy adott $f$ skalármező és $𝐯$ vektormező szorzata szintén egy vektormező, divergenciája pedig

$\mathrm{\nabla }\cdot (f𝐯)=(\mathrm{\nabla }f)\cdot 𝐯+f(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯).$

Két vektormező vektoriális szorzatának divergenciája a következőképp fejezhető ki:

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐮\times 𝐯)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐮)\cdot 𝐯-𝐮\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐯).$

Amennyiben a $𝐯(\rho ,\phi ,z)=v_{\rho }\hat{\mathit{\rho }}+v_{\phi }\hat{\mathit{\phi }}+v_z\widehat{𝐳}$ vektormező hengerkoordinátákban van megadva, a divergenciája a következő:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯=\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho v_{\rho }\right)}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial v_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial v_z}{\partial z}.$

Továbbá ha $𝐯(r,\phi ,\theta )=v_r\widehat{𝐫}+v_{\phi }\hat{\mathit{\phi }}+v_{\theta }\hat{\mathit{\theta }}$ gömbi koordinátákon van definiálva, a divergenciája a következőképp fejezhető ki:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯=\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^2{v}_r\right)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial v_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(v_{\theta }\sin \theta ).$

Rotáció

Adott $𝐯$ vektormező rotációja a következőképp fejezhető ki a nabla operátorral egy derékszögű koordináta-rendszerben:

$\mathrm{rot}𝐯=(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z})\widehat{𝐱}+(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x})\widehat{𝐲}+(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y})\widehat{𝐳}=\mathrm{\nabla }\times 𝐯.$

A $\times$ a vektoriális szorzatot jelenti, ami vizualizálható egy determináns formájában is:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐯=\left|\begin{array}{ccc}\widehat{𝐱}& \widehat{𝐲}& \widehat{𝐳}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ v_x& v_y& v_z\end{array}\right|.$

A rotáció, nevéből adódóan, azt írja le, hogy egy vektormező mennyire "forog" egy adott pont körül.

Adott $f$ skalármező és $𝐯$ vektormező szorzatának rotációja a következőképp adható meg:

$\mathrm{\nabla }\times (f𝐯)=(\mathrm{\nabla }f)\times 𝐯+f(\mathrm{\nabla }\times 𝐯),$

két vektormező vektoriális szorzatának rotációja pedig

$\mathrm{\nabla }\times (𝐮\times 𝐯)=𝐮(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)-𝐯(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐮-(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐯.$

Hengerkoordinátákban a $𝐯(\rho ,\phi ,z)=v_{\rho }\hat{\mathit{\rho }}+v_{\phi }\hat{\mathit{\phi }}+v_z\widehat{𝐳}$ vektormező rotációja a következő:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐯=(\frac{1}{\rho }\frac{\partial v_z}{\partial \phi }-\frac{\partial v_{\phi }}{\partial z})\hat{\mathit{\rho }}+(\frac{\partial v_{\rho }}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial \rho })\hat{\mathit{\phi }}+\frac{1}{\rho }(\frac{\partial \left(\rho v_{\phi }\right)}{\partial \rho }-\frac{\partial v_{\rho }}{\partial \phi })\widehat{𝐳}.$

Gömbi koordinátákban megadott $𝐯(r,\phi ,\theta )=v_r\widehat{𝐫}+v_{\phi }\hat{\mathit{\phi }}+v_{\theta }\hat{\mathit{\theta }}$ vektormező rotációja pedig:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐯=\frac{1}{r\sin \theta }(\frac{\partial }{\partial \theta }(v_{\phi }\sin \theta )-\frac{\partial v_{\theta }}{\partial \phi })\widehat{𝐫}+\frac{1}{r}(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial v_r}{\partial \phi }-\frac{\partial }{\partial r}\left(r{v}_{\phi }\right))\hat{\mathit{\theta }}+\frac{1}{r}(\frac{\partial }{\partial r}\left(r{v}_{\theta }\right)-\frac{\partial v_r}{\partial \theta })\hat{\mathit{\phi }}.$

Laplace-operátor

Sablon:Bővebben A nabla operátor önmagával vett skaláris szorzatának eredménye a Laplace-operátor $\mathrm{\Delta }$:

$\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }={\mathrm{\nabla }}^2.$

Egy skalármezőre a Laplace-operátort alkalmazva ismét egy skalármezőt kapunk. Vektormezőkön is alkalmazható a Laplace-operátor, ott minden komponensére hat.

A Laplace-operátor $f$ skalármezőn kiértékelve hengerkoordinátákban

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2},$

gömbi koordinátákban pedig

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}.$

Hesse-operátor

Sablon:Bővebben A Hesse-mátrix egy adott skalármező (vagy többváltozós függvény) második deriváltjait tartalmazza, így leírható a nabla operátor segítségével:

${𝐇}^f(x)=(\mathrm{\nabla }\cdot {\mathrm{\nabla }}^T)f(x).$

Ebben az egyenletben a $\cdot$ a közönséges mátrixszorzatot jelöli, például egy $n$ dimenziós euklidészi térben a $\mathrm{\nabla }$ egy $(n\times 1)$-es mátrix, míg ${\mathrm{\nabla }}^T$ egy $(1\times n)$-es mátrix, így a szorzatuk egy $(n\times n)$-es mátrix, ami $f$ skalármezőn kiértékelve a mező (vagy függvény) Hesse-mátrixával egyenlő.

Nablával kifejezhető operátorok azonosságai

Amennyiben $f$ és $𝐯$ tetszőlegesen sokszor differenciálható, a következő azonosságok teljesülnek:

$\begin{array}{cc}\mathrm{rot}(\mathrm{grad}f)& =\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }f)=0\\ \mathrm{div}(\mathrm{rot}𝐯)& =\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐯)=0\end{array}$

$\mathrm{div}(\mathrm{grad}f)=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }f)={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\Delta }f$

$\mathrm{rot}(\mathrm{rot}𝐯)=\mathrm{grad}(\mathrm{div}𝐯)-\mathrm{\Delta }𝐯.$

Források

• Sablon:Cite book

Lásd még

• Maxwell-egyenletek
• Navier–Stokes-egyenletek