Euklideszi tér (lineáris algebra)

Euklideszi térnek nevezzük azon T számtest vagy integritási tartomány feletti vektortereket, melyekben a vektorterek axiómáin felül értelmezve van a skaláris szorzat (euklideszi norma).

Euklideszi tér axiómái

1. A skaláris szorzat a V-beli rendezett párokhoz egy, T-beli elemet rendelő függvény, vagyis

   $\mathrm{\forall }\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in V,(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}):V\times V\to T$

2. A skaláris szorzat részben kommutatív, vagyis

   $\mathrm{\forall }\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in V,(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\overline{(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a})}$,

   ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelöli. (Természetesen a valós esetben kommutatív).

3. A skalárszoros (skalár az alkotó testből, vagy int. tart.-ból) „elölről” kiemelhető, vagyis:

   $\mathrm{\forall }\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in V,\mathrm{\forall }\lambda \in T,(\lambda \overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\lambda (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

4. Összeg elölről „szétszedhető”, vagyis:

   $\mathrm{\forall }\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\in V,(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c})+(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})$

Tételek

Több kérdés is felmerülhet a definíciókkal kapcsolatban, először is az, hogy miért kellett a konjugálást bevezetni, elvetve így a kommutativitást, valamint, hogy miért pont hátulról kiemelhetők a tagok, és mi a helyzet az elöl lévő skalárszorzóval, és összeggel? Utóbbi két kérdést két egyszerű tétellel azonnal meg lehet válaszolni:

TÉTEL: $\mathrm{\forall }\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in V,\mathrm{\forall }\lambda \in T,(\overrightarrow{a},\lambda \overrightarrow{b})=\bar{\lambda }(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$
Bizonyítás: Egyszerűen az axiómákból, csak „hátulra kell varázsolni a skalárszorost” a részleges kommutativitást kihasználva, így jön be a képbe a konjugált, formálisan:
$(\overrightarrow{a},\lambda \overrightarrow{b})=$ (2. axióma) $\overline{(\lambda \overrightarrow{b},\overrightarrow{a})}=$ (3. axióma) $\overline{\lambda (\overrightarrow{b},\overrightarrow{a})}=$ (komplex konjugálás szorzattartó)

$=\bar{\lambda }\overline{(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a})}=$(2. axióma) $\bar{\lambda }(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ QED

TÉTEL: $\mathrm{\forall }\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\in V,(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c})$
Bizonyítás: Teljesen hasonlóan az előzőhöz, vegyük észre, hogy ha felcseréljük a tagokat (természetesen konjugálással együtt), akkor a 4. axiómát alkalmazva kapjuk a kívánt képletet. QED

Az euklideszi norma

Minden euklideszi térben bevezethető valamilyen, „hosszúságszerű” fogalom. Ezt fogjuk euklideszi normának hívni, definíciója a következő: Az euklideszi norma egy, V-ből T-be képező, nemnegatív értékeket felvevő függvény, amelyre (jelöléssel együtt):

$\left|\left|\overrightarrow{a}\right|\right|$:= $\sqrt{(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a})}$

Hajlásszög euklideszi terekben

A norma és skalárszorzat segítségével már definiálható két vektor hajlásszöge, melyen síkvektoroknál a nem nagyobb szöget értettük. A hajlásszög azon érték, melyet a cos függvény a $\frac{(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}{\left|\left|\overrightarrow{a}\right|\right|\cdot \left|\left|\overrightarrow{b}\right|\right|}$ helyen felvesz, vagyis ennek az arkusz koszinusza. A definíció jogosságához be kéne látni, hogy ez az érték mindig a [-1;1] intervallumba esik, de ez azonnal következik a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenségből. (Vagyis a számláló abszolút értéke mindig kisebb vagy egyenlő, mint a nevezőé.) A hajlásszög definíciójával már definiálni lehet az egymásra ortogonális, merőleges vektorokat is.

Ortogonális, ortonormált bázis

Két vektor egymásra merőleges, ortogonális, ha skaláris szorzatuk 0. Könnyen meggondolható, hogy a szokásos sík- és térvektorok esetén ez pont akkor teljesül, ha egymással bezárt szögük $\frac{\pi }{2}$, vagyis a „derékszög”, hiszen ennek a koszinusza 0, így a skaláris szorzat is 0 lesz.

A következő tételhez még egy definíció kell, a normált vektoré. Egy vektor normált, ha normája az alkotó számtest (szorzás szerinti) egységeleme.

Gram-Schmidt-féle ortogonalizáció: Minden euklideszi térben létezik ortonormált bázis, vagyis olyan bázis, melynek minden vektora páronként merőleges, normájuk pedig az egységelem.

Források

• Dr. Szalay Mihály, Lineáris algebra előadás, ELTE-TTK/IK, (az elméleti háttér)

Sablon:Portál