Parciális derivált

A matematikai analízisben parciális deriváltnak nevezzük a többváltozós függvények olyan deriváltját, amikor a függvényt egy rögzített változójának függvényeként fogjuk fel, eszerint deriválunk, miközben a többi változójelet konstans értéknek tekintjük. A többváltozós függvények parciális deriváltja az egyváltozós differenciálás hasznos általánosítása, a Fréchet-deriválttal együtt. Ha nem csak a szokásos módon, az Rⁿ térben és annak n kitüntetett iránya mentén kívánjuk értelmezni a parciális derivált fogalmát, akkor két módon általánosíthatjuk. Az egyik az iránymenti derivált, a másik a lokálisan kompakt terekben alkalmazható Gateaux-derivált.

Definíció

Adott, nyílt halmazon értelmezett

$f:{ℝ}^n\mapsto ℝ,(x_1,x_2,...,x_n)\mapsto f(x_1,x_2,...,x_n)$

n változós valós értékű függvény x₁ változó szerint parciálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy rögzített

$(u_1,u_2,...,u_n)$

pontjában, ha az egyváltozós

$f(.,u_2,u_3,...,u_n):{𝗑}_{\mathrm{𝟣}}\mapsto f({𝗑}_{\mathrm{𝟣}},u_2,u_3,...,u_n)$

(ún. parciális-) függvény differenciálható az u₁ helyen. Ekkor az előbbi parciális függvény u₁-beli deriváltját az f függvény x₁ szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Hasonlóképpen értelmezhető az x₂, x₃, … , x_n szerinti parciális derivált, mely rendre az f(u₁ , $\cdot$ ,u₃,…,u_n), f(u₁,u₂, $\cdot$ ,u₄, …, u_n), … , f(u₁, u₂,…, $\cdot$ ) parciális függvények deriváltjai.

Jelölés

Ha az f függvény értelmezési tartományának minden alkalmas pontjához hozzárendeljük az ottani parciális deriváltat, akkor szintén egy többváltozós függvényhez jutunk. A parciális derivált függvényeknek elég sok jelölésük van, melyek mindegyike adott esetben lényegesen megkönnyítheti az írásmódot. Az x₁, x₂, … , x_n vagy x, y, z, …, w változóktól függő f függvény parciális derivált függvényei:

${\partial }_{1}f$, ${\partial }_{2}f$, … , ${\partial }_{n}f$,

${\partial }_{x}f$, ${\partial }_{y}f$, … , ${\partial }_{w}f$,

$\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$, $\frac{\partial f}{\partial z}$, … , $\frac{\partial f}{\partial w}$,

$f{\text{'}}_x$, $f{\text{'}}_y$, $f{\text{'}}_z$, … , $f{\text{'}}_w$

Egy z = f(x,y) kétváltozós függvény parciális deriváltjai egy adott (x₀, y₀) pontban a változókhoz tartozó parciális függvények deriváltjaiként értelmezhetők. A függvénygrafikonból ez geometriailag úgy származtatható, hogy az x = x₀ illetve az y = y₀ egyenletű síkokkal elmetsszük a függvény által meghatározott felületet és a keletkezett görbéknek, mint egyváltozós függvényeknek meghatározzuk a deriváltjait a keresett pontban. (Az ábrán az f(x,y)= sin(x²+y²)/(x²+y²), f(0,0)=1 függvény grafikonja látható, és az (1,-1) ponthoz tartozó f( . ,-1) és f(1, . ) parciális függvények.)

Deriválási szabályok

Linearitás: ${\partial }_i(\lambda f+\mu g)(x)=\lambda {\partial }_{i}f(x)+\mu {\partial }_{i}g(x)$

Szorzat: ${\partial }_i(f\cdot g)(x)={\partial }_{i}f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot {\partial }_{i}g(x)$

Projekciófüggvények: ${\partial }_i{x}_k={\delta }_{ik}$ /Kronecker-delta/

Függvénykompozíció: ${\partial }_i(\phi \circ f)(x)={\phi }^{\prime }(f(x))\cdot {\partial }_{i}f(x)$, ${\partial }_i(f\circ F)(x)=\sum _{k=1}^m({\partial }_{k}f)(F(x))\cdot {\partial }_i{F}_k(x)$

ahol φ:R$\to$R differenciálható, F: R^m$\to$Rⁿ komponensfüggvényenként parciálisan differenciálható függvény.

Példa

Az adott térfogatú téglatestek közül melyiknek a legkisebb a felszíne, tehát milyen legyen a téglatest a, b és c éle, hogy eleget tegyen a

$V=a\cdot b\cdot c=const.$

$A=2ab+2ac+2bc=min.$

feltételnek?

Az első egyenletből a=V/(bc). Ezt a felszín képletébe írva a következő kétváltozós függvényt kapjuk:

$A(b,c)=2\frac{V}{b}+2bc+2\frac{V}{c}$

Ennek kell megkeresni a minimumát, mely ha elképzeljük a kétváltozós függvényt, akkor olyan pont, ahol a felülethez rajzolt érintősík „vízszintes”. Ez viszont pont akkor van, amikor a parciális függvények érintői szintén mindketten „vízszintesek”, azaz ahol teljesül: ∂_bA = 0 és ∂_cA = 0, tehát:

$\frac{\partial A}{\partial b}=\frac{-2V}{b^2}+2c=0$ és

$\frac{\partial A}{\partial c}=\frac{-2V}{c^2}+2b=0$

ahonnan V = b²c = bc², vagyis c = b és V = b³, ez viszont azt jelenti, hogy a = b = c, azaz a keresett test a V térfogatú kocka.

Kapcsolat a teljes differenciállal

Ha egy f:Rⁿ$\mapsto$R függvény totálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy u pontjában, akkor abban a pontban minden parciális deriváltja létezik. Ez ugyan megfordítva nem teljesül, de a teljes differenciálhatóságnak egyfajta elégséges feltételét megfogalmazhatjuk. Ha az u pontban az összes parciális derivált létezik és legfeljebb egy kivételével a parciális derivált függvények folytonosak u-ban, akkor f totálisan differenciálható.

A parciális deriváltak arra is jók, hogy felírhassuk segítségükkel a differenciál leképezés mátrixát. A differenciál mátrixa a J^f(u)_ik=∂_kf_i(u) Jacobi-mátrix lesz, ahol f_i függvény az f:R^m$\mapsto$Rⁿ függvény i-edik komponensfüggvénye.

Források

• A parciális derivált
• A parciális derivált a MathWorld-ön
• A parciális derivált a fizikában Sablon:Wayback