Vektormező

Vektormező ábrázolása. Az egyes pontokhoz hozzárendelt értékeket nyilak szemléltetik

A (-y,z,x) háromdimenziós vektormező

A vektoranalízisben és a differenciálgeometriában a vektormező egy olyan függvény, ami egy tér vagy egy térrész pontjaihoz vektort rendel. A fizikában a mezőelméletben fontosak, például egy áramló folyadék részecskéinek sebességét, vagy egy erőtér pontjaiban az adott pontban fellépő erő nagyságát és irányát adja meg, például a mágneses vagy a gravitációs mezőben. Euklideszi téren és sokaságokon is értelmezhető.

Az euklideszi téren

Az $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ halmazon értelmezett $v$ vektormező egy olyan leképezés, ami minden $x\in \mathrm{\Omega }$ ponthoz egy $v(x)\in {ℝ}^n$ vektort rendel, vagyis $v:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$. Ha $v$ k-szor differenciálható, akkor a vektormező $C^k$-vektormező. A vektormezőket szemléltető ábrákon néhány $x\in \mathrm{\Omega }$ pontban nyíllal jelölik a vektormező értékét, amely nyíl nagysága és iránya megegyezik a vektormező által az adott pontban felvett vektorral.

Példák

• Középpontos vektormezők: Legyen $I$ intervallum, ami tartalmazza a nullát, és $K(I)=\{x\in {ℝ}^n:\Vert x\Vert \in I\}\subset {ℝ}^n$ gömbhéj. A középpontos vektormező így definiálható a gömbhéjon:

$v(x)=a(\Vert x\Vert )\cdot x$ ha $a:I\to ℝ$.

• Az ${ℝ}^3\mathrm{\setminus }\{0\}$ téren a $v(x)=-\frac{x}{\Vert x{\Vert }^3}$ gravitációs mező középpontos vektormező.
• További példákat képez a rotáció, mint differenciáloperátor. Ezek az úgynevezett örvénymezők. Ezeknek a mezőknek van egy $𝐀$ vektorpotenciáljuk, ahol is $𝐯(𝐫)=𝐫𝐨𝐭𝐀$. Erre példák a fürdőkádban a lefolyónál kialakuló örvények, vagy az áramjárta vezető környezetében kialakuló mágneses tér.
• Gradiensmező, egy skalármező gradiense. Ha $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ a skalármező, akkor gradiense

$x\mapsto \mathrm{grad}f(x)=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x))$.

a nabla operátorral:

$\mathrm{grad}f=\mathrm{\nabla }f.$

Ha a vektormező gradiensmező, akkor van skalárpotenciálja. A $\mathrm{grad}f:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ vektormező skalárpotenciálja $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ . Ekkor a vektormező potenciálos. Gradiensmező a pontforrásból kifelé folyó áramlás, és a ponttöltés körüli elektromos mező.

Felbontási tétel

Egy kétszer folytonosan differenciálható $𝐯(𝐫)$ ${ℝ}^3$ vektormező forrásmentes, illetve örvénymentes, ha divergenciája illetve rotációja azonosan nulla. Ha még azt is kikötjük, hogy a $𝐯$ vektormező elég gyorsan tart a nullához a végtelenben, akkor teljesül a felbontási tétel: Minden $𝐯(𝐫)$ vektormezőt egyértelműen meghatároznak a forrásai és az örvényei, és felbontható forrás- és örvénymentes vektormezők összegére:

$𝐯(𝐫)\equiv \mathbf{-}𝐠𝐫𝐚{𝐝}_{𝐫}\underset{{ℝ}^3}{\int }{d}^3{𝐫}^{\prime }\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{v}}^{\prime }𝐯({𝐫}^{\prime })}{4\pi |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}+𝐫𝐨{𝐭}_{𝐫}\underset{{ℝ}^3}{\int }{d}^3{𝐫}^{\prime }\frac{𝐫𝐨{𝐭}^{\prime }𝐯({𝐫}^{\prime })}{4\pi |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}.$

Ez megfelel a statikus elektromágneses mező elektromos, illetve mágneses mezőre való felbontásának, ahol is a forrásmentes rész a mágneses, és az örvénymentes rész az elektromos mező. Az is teljesül még, hogy éppen a gradiensmezők örvénymentesek, és éppen az örvénymezők forrásmentesek. Itt $𝐠𝐫𝐚𝐝\varphi (𝐫):=\mathrm{\nabla }\varphi ,$   $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐯:=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯$ és $𝐫𝐨𝐭𝐯:=\mathrm{\nabla }\times 𝐯$ az ismert, nabla operátorral kifejezhető differenciáloperátorok.

Sokaságokon

Jelöljön $M$ differenciálható sokaságot. Ekkor a rajta értelmezett vektormezők a $TM$ érintőnyaláb sima szelései.

Pontosabban, ha a $v$ vektormező $C^k$-leképezés, akkor $v:M\to TM$ ahol $\pi \circ v={\mathrm{id}}_M$. Minden $x\in M$ -hez egy $v(x)\in T_{x}M$ vektort rendel. A $\pi$ leképezés a $\pi :TM\to M$ természetes vetülete, ahol $(p,v)\mapsto p$.

Ez a definíció az euklideszi vektortérbeli vektormezőt általánosítja. Ugyanis ${ℝ}^n\cong T_p{ℝ}^n$ és $T{ℝ}^n\cong {ℝ}^n\times {ℝ}^n$.

A vektormezőktől eltérően a skalármezők a sokaság minden pontjához egy skalárt rendelnek.

Alkalmazások

A vektor- és az erőtereket a fizikán és a kémián kívül még a technika különböző területein is alkalmazzák: a geodéziában, az elektrotechnikában, a mechanikában, az atomfizikában és az alkalmazott geofizikában.

Források

• Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. javított kiadás. Springer, Berlin u. a. 2004, Sablon:ISBN.
• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, Sablon:ISBN.
• John M. Lee: Introduction to smooth manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer, New York u. a. 2003, Sablon:ISBN.