Skalárpotenciál (matematika)

Homogén gömb gravitációs potenciálja

Sablon:Egyért2 A skalárpotenciál a vektoranalízis integrálfajtáinak egyike. Azt a skalármezőt határozza meg, aminek az adott vektormező a gradiense:

$\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$

itt $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})$ a vektormező, és $\mathrm{\Phi }$ a potenciál. Ha $\overrightarrow{F}$ konzervatív erőtér, ahol $\overrightarrow{F}$ a legkisebb kényszer elve szerint mindig a $\mathrm{\Phi }$ potenciál legnagyobb meredeksége felé mutat, akkor

$\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=-\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r}).$

A fizikában a skalárpotenciálokat a konzervatív erőterek vizsgálatához használják. Ilyen terek például az elektromos és a gravitációs mezők, továbbá az örvénymentes áramlások is.

Fogalma

A potenciál fogalmának használata történeti okok miatt nem egységes.

Matematikai és fizikai potenciál

Habár belőle származik, nem keverendő össze a matematikai potenciál fogalma a fizikaival. Minden fizikai potenciál leírható matematikai eszközökkel, de nem minden matematikailag megadható potenciálnak van fizikai jelentése.

A fizikában a potenciál első közelítésben egy konzervatív erő munkavégző képességét jelenti. Ez már egybevág a matematikai potenciálfüggvénnyel, ami ezt a képességeit függvényértékekben jeleníti meg. Jelentheti a potenciál a függvény egyes értékeit is, mint a gravitációs és az elektromos potenciál, voltban vagy J/kg-ban mérve.

Szokás még a helyzeti energiát is potenciális energiának nevezni. Ez sem véletlenül emlékeztet a matematikai fogalomra, mivelhogy konzervatív erőtérben egy test helyzeti energiája is leírható skalárpotenciállal, nem beszélve a hidrodinamikai sebességpotenciálról, ami szintén skalárpotenciállal ábrázolható.

Potenciálvektorok és potenciálmezők

További zavart okoz az, hogy a potenciál szó sok szóösszetételben szerepel. Nem világos, hogy melyik összetétel kapcsolódik a skalárpotenciálhoz, és melyik a vektorpotenciálhoz. Egy ilyen zavarba ejtő szó a potenciálmező. Aki nem ismeri közelebbről a témát, az azt hiheti, hogy ez a potenciál skalármezője, de a legtöbb szerző ezt nem így használja, hanem a potenciál gradienseként kapott vektormezőt érti rajta.

Egyes szerzők a deriváltként kapott vektormezőt gradiensmezőnek nevezik, mivel a gradiensoperátor alkalmazásával kapták, míg mások potenciálvektornak, arra emlékeztetve, hogy ennek a mezőnek van potenciálja.

Definíció és tulajdonságok

Egy $\mathrm{\Phi }:\overrightarrow{r}\mapsto \mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$ skalármező akkor és csak akkor áll elő skalárpotenciálként, ha egy egyszeresen összefüggő tartományon

1. kétszer folytonosan differenciálható
2. létezik egy $\overrightarrow{F}:\overrightarrow{r}\mapsto \overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})$ vektormező, amire:
   $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$

$\overrightarrow{F}$-nek, mint a potenciál gradiensének a következő ekvivalens tulajdonságai vannak:

1. A görbe menti integrál útfüggetlensége, vagyis az integrál csak a végpontoktól függ, a köztük bejárt úttól nem:

$\underset{A,(g)}{\overset{B}{\int }}\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})d\overrightarrow{r}=E_A-E_B$

1. A zárt görbék menti integrálok eltűnnek, azaz a körintegrálja zérus:

${\oint }_S\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\mathrm{d}\overrightarrow{r}=0$

1. Ahogy definiáltuk, azaz létezik potenciál, aminek gradiense:

$\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$

1. A mező örvénymentes, vagyis rotációja azonosan nulla:

$\mathrm{rot}\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{0}$

Kapcsolat a harmonikus függvényekkel

Egy kétszer folytonosan differenciálható skalármező harmonikus, ha tiszta második parciális deriváltjainak összege azonosan nulla. A $\mathrm{\Delta }$Laplace-operátorral

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=\mathrm{div}(\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r}))=\mathrm{div}\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})}{\partial y^2},$

• A Poisson-egyenlet:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=f(\overrightarrow{r})$

megoldásait potenciálfüggvénynek vagy potenciálnak nevezik.

• A Laplace-egyenlet a Poisson-egyenlet speciális esete:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=0$

megoldásai a harmonikus függvények. Egyes szerzők azonban csak a harmonikus függvényeket hívják potenciálnak. A potenciálelméletet is ezekre a függvényekre szűkítik le.

Példák

A Newton-potenciál az egyik legismertebb skalárpotenciál:

$\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=\frac{1}{|\overrightarrow{r}|},$

ami csak három dimenzióban harmonikus függvény, azaz ha $r^2=x^2+y^2+z^2$.

Két dimenzióban logaritmikus potenciál:

$\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=\ln (|\overrightarrow{r}|)$

Az ln(1/r) = -ln(r) csak két dimenzióban harmonikus, azaz ha $r^2=x^2+y^2$.

Három dimenzióban közönséges potenciál:

ΔΦ = 1/r² és ΔΦ = −1/r².

Ugyanígy, csak két dimenzióban harmonikusak a $\mathrm{\Phi }(x,y)=e^x\cdot \sin (y)$ és a $\mathrm{\Phi }(x,y)=e^x\cdot \cos (y)$ függvények.

Poisson- és Laplace-mezők

Egy skalármező gradienseként adódó vektormező örvénymentes, ezért forrásmezőnek is nevezik őket. (Ez nem jelenti azt, hogy nem lehetnek forrásmentesek is.)

A Poisson- és a Laplace-egyenletek megoldásaiból kapott gradiensmezők így osztályozhatók:

• A Poisson-egyenletből kapott függvények, amelyekre még $f(\overrightarrow{r})\ne 0$ is teljesül, Ezek a Poisson- vagy Newton-mezők. Azaz, ha egy $\rho (\overrightarrow{r})$ skalárpotenciálja a megfelelő inhomogén $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=\rho (\overrightarrow{r})$ parciális differenciálegyenlet partikuláris megoldása, akkor a derivált vektormezőket Poisson- vagy Newton-mezőknek nevezik. Nevezetes példák a gravitációs mező, vagy egy töltés körül kialakult elektromos mező, ha nincs a közelben egy másik töltés. Ekkor az erővonalak a végtelenbe tartanak.
• A Laplace-egyenletből kapott függvények forrásmentes Laplace-mezők, amelyekre a Poisson-egyenlet mellett még $f(\overrightarrow{r})=0$ is teljesül. Azaz, ha egy $\sigma (\overrightarrow{r})$ mező skalárpotenciálja a megfelelő peremfeltételekkel a $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=0$ homogén Laplace-egyenlet megoldása, akkor a potenciál deriváltjaként adódó gradiensmező Laplace-mező. Példa erre két ellentétes előjelű töltés elektromos tere. Ekkor az erővonalak végesen a másik töltésbe futnak be.

A két mező szuperpozíciójaként adódó mezőkre totális potenciálfüggvény adható meg, ami a fenti partikuláris és homogén megoldások összegeként írható fel.

Kapcsolat a vektorpotenciállal

A más vektormezők rotációjaként adódó örvénymezők forrásmentesek, és megfordítva, a forrásmentes vektormezőknek van vektorpotenciáljuk, aminek rotációi.

A vektoranalízis alaptétele, más néven Helmholtz-tétel szerint majdnem minden $\overrightarrow{H}(\overrightarrow{r})$ vektortér előáll $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})$ és $\overrightarrow{G}(\overrightarrow{r})$ szuperpozíciójaként, ahol az első komponens egy $\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$ skalárpotenciál gradiense, a második azonban egy $\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{r})$ vektorpotenciál rotációja:

$\overrightarrow{H}(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})+\overrightarrow{G}(\overrightarrow{r})=\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})+\mathrm{rot}\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{r})$

Hogyha $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})$ konzervatív erőtér, amiben az $\overrightarrow{F}$ erő a legkisebb kényszer elve szerint a $\mathrm{\Phi }$ potenciál legnagyobb meredeksége felé irányul, akkor az előbbi egyenlet így is írható:

$\overrightarrow{H}(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})+\overrightarrow{G}(\overrightarrow{r})=-\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})+\mathrm{rot}\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{r})=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{r}).$

Története

A matematikai potenciálfogalmat a francia Joseph-Louis Lagrange vezette be, aki a gravitációs erő

$F=-G\frac{m_0\cdot m_1}{r^2}$

Newton-féle képlete alapján megállapította, hogy az F erő három F_x, F_y és F_z erő összegére bontható, amelyek értelmezhetők egy közös, skalár értékű „primitív függvény”, U(x₀;y₀;z₀) parciális deriváltjaiként.:

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{F}({\overrightarrow{r}}_0|{\overrightarrow{r}}_1)& =-G{m}_0\frac{m_1}{r^2}{\hat{\overrightarrow{r}}}_{10}\\ & =-G{m}_0\frac{m_1}{r^3}\left(\begin{array}{c}{x}_0-x_1\\ y_0-y_1\\ z_0-z_1\end{array}\right)={\overrightarrow{F}}_x({\overrightarrow{r}}_0|{\overrightarrow{r}}_1)+{\overrightarrow{F}}_y({\overrightarrow{r}}_0|{\overrightarrow{r}}_1)+{\overrightarrow{F}}_z({\overrightarrow{r}}_0|{\overrightarrow{r}}_1)\\ & =-G{m}_0{m}_1\frac{x_0-x_1}{r^3}\hat{\overrightarrow{x}}-G{m}_0{m}_1\frac{y_0-y_1}{r^3}\hat{\overrightarrow{y}}-G{m}_0{m}_1\frac{z_0-z_1}{r^3}\hat{\overrightarrow{z}}\\ & =\frac{\partial }{\partial x}\left(G{m}_0\frac{m_1}{r}\right)\hat{\overrightarrow{x}}+\frac{\partial }{\partial y}\left(G{m}_0\frac{m_1}{r}\right)\hat{\overrightarrow{y}}+\frac{\partial }{\partial z}\left(G{m}_0\frac{m_1}{r}\right)\hat{\overrightarrow{z}}\\ & \text{mit}r=((x_0-x_1{)}^2+(y_0-y_1{)}^2+(z_0-z_1{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$

Amint látható, az U(x₀;y₀;z₀) primitív függvény a tér minden (x₁|y₁|z₁)-on kívüli pontjában értelmezve van, és m₀ (negatív előjelű) helyzeti energiája m₁ előterében:

$W_{pot}({\overrightarrow{r}}_0|{\overrightarrow{r}}_1)=-G{m}_0\frac{m_1}{r}$

Megfigyeléseit nem sokkal később potenciál néven foglalták össze. Kutatását az angol George Green matematikus és fizikus folytatta, akinek 1828-ban megjelent Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism című művében foglalkozott a potenciálfüggvénnyel. Végül Carl Friedrich Gauss 1840-ben (más források szerint 1836-ban) tovább mélyítette és népszerűsítette a potenciál fogalmát.