Nullvektor

A nullvektor a matematikában a vektorterek egy speciális vektora, ami a vektorösszeadás neutrális eleme. Néhány példa nullvektorra: a nulla szám, a nullmátrix és a nullfüggvény. Skalárszorzatos vektorterekben a nullvektor minden vektorra ortogonális. Normált térben az egyetlen nulla normájú vektor. Egy lineáris tér minden altere tartalmazza a tér nullvektorát, ami önmagában is alteret alkot. A nullvektort használják a lineáris algebra több fontos fogalmának definiálásához, mint a lineáris függetlenség, bázis és magtér. Fontos szerepet játszik lineáris egyenletrendszerek megoldásában.

Definíció

Egy $V$ vektortér nullvektora az a $0_V\in V$ vektor, amire

$v+0_V=0_V+v=v$

minden $v\in V$ esetén. Tehát ez az elem a vektorok összeadásának neutrális eleme.

A nullvektor jelölése

A magyar szakirodalomban a nullvektor jelölése egy aláhúzott nulla. Általában meg kell különböztetni az alaptest nullelemétől; csak egydimenziós vektorterekben tekinthetők megegyezőknek. Kezdő- és végpontja egybeesik, irányt nem lehet neki tulajdonítani.

Példák

• A valós számok $ℝ$ fölötti vektorterében a nulla szám nullvektor.
• A komplex számok $ℂ$ vektorterében a $0+0i$ szám a nullvektor, ami szintén megfelel a nulla skalárnak.
• A $K^n$ koordinátatérben a nullvektor a $(0_K,\dots ,0_K)$ n-es, ahol az összes koordináta a test nulleleme.
• A $K^{m\times n}$ mátrixtérben a nullelem a nullmátrix, ami az alaptest nullelemével van kitöltve.
• A sorozatok ${𝕂}^{\mathbb{N}}$ vektorterében a $(0_{𝕂},0_{𝕂},\dots )$ sorozat a nullvektor. Nem tévesztendő össze az analízisben használt nullsorozattal.
• Adva legyen egy $A$ halmaz, és egy $W$ vektortér. Tekintjük azokat a függvényeket, melyek az $A$ halmazból a $W$ vektortérbe mennek. Ezek a függvények vektorteret alkotnak, melynek nullvektora az $f\equiv 0_W$ függvény, ahol $0_W$ a célvektortér nullvektora.

Tulajdonságok

Egyértelműség

Egy vektortér nullvektora egyértelmű. Ha egy vektortérben adva van két nullvektor, akkor vizsgálhatjuk az összegüket:

$0=0+\overline{0}=\overline{0}$

ebből azonnal adódik a vektorok egyenlősége.

Skalárral szorzás

Minden $\alpha \in K$ skalárra teljesül, hogy:

$\alpha \cdot 0_V=0_V$

és hasonlóan, a vektortér minden $v\in V$ vektorára:

$0_K\cdot v=0_V$,

ami közvetlenül adódik a két disztributivitásból az $\alpha =\beta =0_K$, illetve $u=v=0_V$ helyettesítésekből. Ezzel együtt teljesül, hogy:

$\alpha \cdot v=0_V\iff \alpha =0_K$ vagy $v=0_V$,

mivel abból, hogy $\alpha \cdot v=0_V$ következik, hogy $\alpha =0_K$ vagy $\alpha \ne 0_K$, továbbá $v={\alpha }^{-1}\cdot 0_V=0_V$.

Speciális terek

Normált vektorterekben a nullvektor normája nulla, és a nullvektor az egyetlen ilyen vektor. Ez következik a norma definitségéből és abszolút homogenitásából. Félnormával ellátott terekben több vektor is lehet nulla normával.

Skalárszorzatos vektorterekben a nullvektor ortogonális a tér összes vektorára, vagyis minden $v\in V$ esetén

$⟨0_V,v⟩=⟨v,0_V⟩=0_K$,

ami következik a skalárszorzat linearitásából, illetve szemilinearitásából. Speciálisan, a nullvektor ortogonális önmagára, és - a skalárszorzat definitsége miatt - az egyetlen ilyen vektor a vektortérben.

Egy további speciális eset a pszeudoskalárszorzatos vektortereké, melyekben a pszeudoskalárszorzat egy nem feltétlenül pozitív definit bilineáris, komplex terekben szeszkvilineáris forma. Ezt az elméleti fizikában metrikának nevezik. A nulla normájú vektorok alkotják a tér nullkúpját. Fizika szempontjából fontos a Minkowski-tér, ahol ezek a vektorok fényszerűek, és a nullkúp a fénykúp hiperfelülete.

Egy nem feltétlenül pozitív definit $\mathrm{\Psi }$ kvadratikus alakkal ellátott valós vektortérben izotrópnak nevezik azokat a $v$ vektorokat, ahol $\mathrm{\Psi }(v)=0$. Az izotróp vektorok halmaza izotróp kúp, vagy nullkúp. A $\mathrm{\Psi }(v):=v\cdot v$ mennyiséget szintén nevezik pszedudoskalárszorzatnak.

Vektoriális szorzás

A háromdimenziós $V={ℝ}^3$ euklideszi vektortérben tetszőleges vektor és a $0\in {ℝ}^3$ nullvektor vektoriális szorzata szintén nulla:

$v\times 0=0\times v=0$.

Speciálisan, a nullvektor vektoriális szorzata önmagával:

$v\times v=0$

A Jacobi-azonosság is teljesül, azaz három vektorból páronként ciklikusan képzett skalárszorzatok összege a nullvektor:

$u\times (v\times w)+v\times (w\times u)+w\times (u\times v)=0$.

Alkalmazások

Lineáris kombinációk

Egy $(v_i{)}_{i\in I}$ vektorcsalád, ahol $I$ indexhalmaz, a nullvektor kifejezhető lineáris kombinációként:

$0_V=\sum _{i\in I}{\alpha }_i\cdot v_i$

A vektorcsalád, illetve elemei lineárisan függetlenek, ha a nullvektor csak egyféleképpen fejezhető ki lineáris kombinációként, mégpedig úgy, hogy ${\alpha }_i=0_K$ minden $i\in I$ indexre. Mivel a nullvektor lineárisan függ önmagától, ezért nem lehet lineárisan független vektorcsalád eleme, így nem tartalmazhatja bázis sem.

Egy vektortér alterei mindig tartalmazzák a nullvektort; a legkisebb altér egyedül a nullvektorból áll, ez a nullvektortér. Ennek a bázisa az üres halmaz, mivel vektorok üres összege definíció szerint a nullvektor:

$\sum _{i\in \mathrm{\varnothing }}{v}_i=0_V$.

Lineáris leképezések

Legyenek $V$, $W$ vektorterek ugyanazon $K$ test fölött! Ekkor, ha $T:V\to W$ lineáris leképezés, akkor a nullvektort a nullvektorra képezi le:

$T(0_V)=T(0_K\cdot 0_V)=0_K\cdot T(0_V)=0_W$.

A $W$ vektortér nullvektorára a $V$ vektortér több vektora is leképeződhet. Ezek a vektorok alteret alkotnak, a lineáris leképezés magterét. Egy lineáris leképezés injektív, ha magtere csak a nullvektorból áll.

Lineáris egyenletrendszerek

Egy homogén lineáris egyenletrendszer:

$T(v)=0_W$

mindig megoldható, hiszen $v=0_V$ mindig megoldás. Ezt a megoldást triviálisnak nevezzük. Csak a triviális megoldás létezik, ha a $T$ lineáris leképezés magja csak a nullvektor.

Ezzel szemben egy inhomogén lineáris egyenletrendszernek:

$T(v)=w$, $w\ne 0_W$

sosem megoldása a nullvektor. Egyértelmű megoldása akkor van, ha a hozzá tartozó homogén lineáris egyenletrendszernek csak a triviális megoldása létezik. Ez következik a szuperpozíciós tulajdonságból.

Forrás

• Sablon:Cite book

Fordítás

• Sablon:Fordítás