Nullmátrix

Nullmátrix -vagy zérusmátrix- a matematikában, ezen belül a lineáris algebrában egy olyan mátrix, melynek minden eleme zéró (0). A nullmátrixot helyenként szokás (esetleg vastagon szedett) zéróval jelölni: $0_{m,n}$ (az indexben a sorok illetve oszlopok száma szerepel).

Néhány példa:

$0_{1,1}=\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right],0_{2,2}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],0_{2,3}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

A $0_{m,n}$ nullmátrix az $m\times n$-es mátrixok additív csoportjának neutrális eleme. Egy nullmátrix és bármely vele összeszorozható mátrix szorzata nullmátrix.

Tulajdonságok

Az R gyűrű feletti $m\times n$-es mátrixok a mátrixösszeadásra és -szorzásra nézve gyűrűt alkotnak; jelölje ezt $R_{m,n}$. Ebben a gyűrűben a $0_{R_{m,n}}$ nullmátrix is az a mátrix, amelynek minden eleme $0_R$, ahol $0_R$ az R zéruseleme.

$0_{R_{m,n}}={\left[\begin{array}{cccc}{0}_R& 0_R& \cdots & 0_R\\ 0_R& 0_R& \cdots & 0_R\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0_R& 0_R& \cdots & 0_R\end{array}\right]}_{m\times n}$

A nullmátrix az $R_{m,n}$ gyűrű zéruseleme. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy bármely $A\in R_{m,n}$ mátrixra

$0_{R_{m,n}}+A=A+0_{R_{m,n}}=A.$

A lineáris algebrában a nullmátrix azt a lineáris transzformációt reprezentálja, ami minden vektort a zéróvektorba (csupa nulla koordinátájú vektor) küld.

A mátrixszorzás definíciójából következően ha $A\in R_{n,k}$, akkor

$0_{R_{m,n}}A=0_{R_{m,k}}$

Speciálisan ha Sablon:Math, akkor a négyzetes $0_{R_{m,m}}$ mátrix idempotens mátrix, azaz a négyzete önmaga.

A nullmátrix az egyetlen olyan mátrix, aminek rangja nulla. (Ez a rang definíciójának egyenes következménye.)

Lásd még

• Egységmátrix
• Nilpotens mátrix

Források

• Sablon:Cite book