Definitség

A definitség a lineáris algebrában azt írja le, hogy a valós kvadratikus formák milyen előjelet vehetnek fel. A definitség vonatkoztatható a valós kvadratikus formákhoz tartozó bilineáris formákra is. A definitség fogalma mátrixokra is kiterjeszthető: egy mátrix definitsége megegyezik az általa ábrázolt kvadratikus forma definitségével.

Bilineáris formák és szeszkvilineáris formák

Legyen $V$ valós vagy komplex vektortér. Egy $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to ℝ$ szimmetrikus bilineáris forma, vagy egy $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to ℂ$) hermitikus szeszkvilineáris forma definitsége:

pozitív definit,	ha $⟨v,v⟩>0$
pozitív szemidefinit,	ha $⟨v,v⟩\ge 0$
negatív definit,	ha $⟨v,v⟩<0$
negatív szemidefinit,	ha $⟨v,v⟩\le 0$

minden $v\in V$, $v=0$ vektorra. Vegyük észre, hogy a kvadratikus alak komplex esetben is valós a hermitikus tulajdonság miatt. Ha a fentiek közül egyik feltétel sem teljesül, akkor $⟨v,v⟩$ indefinit. Ez azt jelenti, hogy $⟨v,v⟩$ pozitív és negatív értékeket is felvesz.

A fenti feltételek azt is jelentik, hogy a $Q(v):=⟨v,v⟩$ kvadratikus alak pozitív, negatív definit, szemidefinit vagy indefinit.

Valós esetben a bilineáris formának nem kell szimmetrikusnak lennie, míg komplex esetben a definitség meghatározásához szükséges, hogy minden $v\in V$ vektorra a $⟨v,v⟩$ érték valós legyen. Ez ekvivalens azzal, hogy a szeszkvilineáris alak hermitikus.

A pozitív definit szimmetrikus bilineáris formákat, illetve a pozitív definit hermitikus formákat skalárszorzatnak is nevezik. Erre példa a standard skalárszorzat.

Mátrixok

Definíciók

Minden mátrix bilineáris formát ír le $V={ℝ}^n$-en, illetve bilineáris formát $V={ℂ}^n$-en. A mátrixok definitségét úgy értelmezik, mint a mátrix által ábrázolt bilineáris vagy hermitikus szeszkvilineáris forma definitségét. Azaz legyen $A$ valós $(n\times n)$-es mátrix. Ekkor

pozitív definit,	ha $x^{T}Ax>0$
pozitív szemidefinit,	ha $x^{T}Ax\ge 0$
negatív definit,	ha $x^{T}Ax<0$
negatív szemidefinit,	ha $x^{T}Ax\le 0$

ahol $x\in V$, $x\ne 0$ $n$-dimenziós oszlopvektor, $x^T$ pedig az $x$ vektorból transzponálással kapott sorvektor. Minden más esetben a mátrix indefinit. Ekkor $x^{T}Ax$ pozitív és negatív értékeket is felvesz.

Komplex esetben a definíció a hermitikus mátrixokra korlátozódik, mivel a szóban forgó értéknek valósnak kell lennie:

pozitív definit,	ha $x^{H}Ax>0$
pozitív szemidefinit,	ha $x^{H}Ax\ge 0$
negatív definit,	ha $x^{H}Ax<0$
negatív szemidefinit,	ha $x^{H}Ax\le 0$

ahol $x\in V$, $x\ne 0$ $n$-dimenziós oszlopvektor, $x^H$ pedig az $x$ vektorból transzponálással és komplex konjugálással kapott sorvektor. Minden más esetben a mátrix indefinit. Ekkor $x^{H}Ax$ pozitív és negatív értékeket is felvesz.

Egyes szerzők a mátrixok definitségére az $A>0$, $A\ge 0$, $\dots$ jelöléseket használják.

Kritériumok

A definitség kapcsolata a sajátértékekkel:

A szimmetrikus, illetve hermitikus mátrix

pozitív definit,	ha minden sajátértéke pozitív
pozitív szemidefinit,	ha minden sajátértéke nemnegatív
negatív definit,	ha minden sajátértéke negatív
negatív szemidefinit,	ha minden sajátértéke nempozitív

Emiatt minden eljárás, ami alkalmas a sajátértékek becslésére, alkalmas lehet a mátrix definitségének meghatározására. Erre egy példa a Gerschgorin-körök. Ezek a komplex számsíkon határoznak meg halmazokat. Szimmetrikus, illetve hermitikus mátrixok esetén a sajátértékek valósak, így a megadott halmazok intervallumokká szűkíthetők.

Egy szimmetrikus, illetve hermitikus mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha minden vezető főminora pozitív. Mivel $A$ pontosan akkor negatív definit, ha $-A$ pozitív definit, következik, hogy egy szimmetrikus, illetve hermitikus mátrix pontosan akkor negatív definit, ha a vezető főminorok előjele alternál; vagyis a páratlan vezető főminorok negatív, a páros vezető főminorok pozitív előjelűek.

Megjegyzések:

• A szemidefinitség eldöntéséhez nincs a főminorokra alapuló kritérium. Ezt belátható diagonális mátrixokkal, melynek átlóján -1 és 0 értékek szerepelnek. Ha szemidefinitség esetén teljesülne egy hasonló kritérium, akkor pozitív szemidefinitség esetén az összes főminornak nemnegatív kellene lennie, negatív szemidefinitség esetén pedig a páratlan főminoroknak nempozitívnak, a páros főminoroknak nemnegatívnak kellene lenniük.
• Nem szimmetrikus, illetve nem hermitikus esetben a kritérium nem teljesül. Erre egy példa az $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\right)$ indefinit mátrix, melynek mindkét vezető főminora pozitív.
• A kritériumot említik Sylvester-kritérium néven, de nevezik Hurwitz-kritériumnak is, ami eredetileg Hurwitz-mátrixokra vonatkozott.

Egy $A=(a_{i,k}{)}_{i,k=1}^n$ valós szimmetrikus mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha a Gauß-elimináció elvégezhető átlós stratégiával és $n$ pozitív pivotelemmel elvégezhető.

Egy $A$ szimmetrikus mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha van egy $A=G{G}^T$ Cholesky-felbontás úgy, hogy $G$ reguláris alsó háromszögmátrix.

Ha egy $A$ szimmetrikus, szigorúan diagonális domináns, és $A$ átlóján minden elem pozitív, akkor $A$ pozitív definit.

A megfordítás nem teljesül, amire példa ez a mátrix:

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 100\end{array}\right)$

ami pozitív definit, de nem szigorúan diagonális domináns.

Általános valós négyzetes mátrixok esetén az $A$ mátrix előállítható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus mátrix összegeként. Ennek a szimmetrikus tagját szimmetrikus résznek nevezik, ez az $A_S=\frac{1}{2}(A+A^T)$ mátrix. Az $A$ mátrix pontosan akkor pozitív definit, negatív definit, pozitív szemidefinit, negatív szemidefinit, ha szimmetrikus része is pozitív definit, negatív definit, pozitív szemidefinit, negatív szemidefinit.

Komplex mátrixok esetén a szimmetrikus rész szerepét a hermitikus rész veszi át. Azaz egy négyzetes komplex $A$ mátrix előállítható egy hermitikus és egy ferdén hermitikus mátrix összegeként, amiből a hermitikus tagot a mátrix hermitikus részének nevezzük. A hermitikus rész előáll, mint $A_H=\frac{1}{2}(A+A^{*})$, és a ferdén hermitikus rész, mint $A_{SH}=\frac{1}{2}(A-A^{*})$.

Az $A_K=\frac{1}{i}{A}_{SH}$ mátrix hermitikus, és teljesül, hogy $A=A_H+i{A}_K$ és $A^{*}=A_H-i{A}_K$. Az $A$ mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha $A_{SH}$ nullmátrix, és $A_H$ pozitív definit.

Tetszőleges $A\in {ℝ}^{m\times n}$ mátrix esetén az $A^{T}A\in {ℝ}^{n\times n}$ és az $A{A}^T\in {ℝ}^{m\times m}$ mátrixok szimmetrikusak és pozitív szemidefinitek, mivel a skalárszorzás eltolási tulajdonsága miatt minden $x\in {ℝ}^n$ vektorra:

$⟨x,A^{T}Ax⟩=⟨Ax,Ax⟩\ge 0$

és minden $x\in {ℝ}^m$ vektorra:

$⟨x,A{A}^{T}x⟩=⟨A^{T}x,A^{T}x⟩\ge 0$.

Alkalmazások

• Ha az $A$ mátrix szimmetrikus (komplex esetben hermitikus) és pozitív definit, akkor $⟨x,y⟩=x^{T}Ay$, illetve $⟨x,y⟩=x^{*}Ay$ skalárszorzat.
• Egy pozitív definit bilineáris, illetve szeszkvilineáris forma egy altérre vett leszűkítése szintén pozitív definit, és nem fajul el. Ez lehetővé teszi a tér felbontását egy altérre és annak ortogonális kiegészítő alterére.
• A Hesse-mátrix definitsége döntő szerepet játszik egy $f:{ℝ}^n\to ℝ$ függvény kritikus helyeinek, szélsőértékeinek vizsgálatában.
• A szimmetrikus pozitív mátrixok a mátrixok ${ℝ}^{n\times n}$ terében kúpot alkotnak, az úgynevezett pozitív definit kúpot. Ugyanez teljesül a szimmetrikus negatív definit mátrixokra is.
• Egy gyengén pozitív definit mátrix mindig felbontható két pozitív definit mátrix szorzatára. A pozitív definit mátrixokra teljesül ez.
• Az $A$ és $B$ mátrixokra vonatkozó $A>B$, illetve $A\ge B$ jelölések azt jelentik, hogy az $A-B$ mátrix pozitív definit, illetve pozitív szemidefinit.