Bilineáris forma

Egy bilineáris forma a lineáris algebrában egy kétváltozós függvény, ami két vektorhoz egy skalárt rendel, és mindkét változójában lineáris. A változók származhatnak közös $K$ test fölötti különböző $V,W$ vektorterekből. Egy bilineáris forma egy $B:V\times W\to K$ leképezés. Egy bilineáris forma mindkét változójában lineáris forma, ezért egy kétváltozós multilineáris forma.

Definíció

Legyenek $V,W$ vektorterek ugyanazon $K$ test fölött. Általánosabban, legyen $V$ balmodulus és $W$ jobbmodulus ugyanazon gyűrű fölött.

Egy

$B:V\times W\to K,(v,w)\mapsto B(v,w)=⟨v,w⟩$

leképezés bilineáris forma, hogyha mindkét változójában lineáris, ami azt jelenti, hogy

• $⟨v_1+v_2,w⟩=⟨v_1,w⟩+⟨v_2,w⟩$,
• $⟨v,w_1+w_2⟩=⟨v,w_1⟩+⟨v,w_2⟩$,
• $⟨\lambda v,w⟩=\lambda ⟨v,w⟩$,
• $⟨v,w\lambda ⟩=⟨v,w⟩\lambda$.

ahol $v,v_1,v_2\in V$, $w,w_1,w_2\in W$ és $\lambda \in K$.

Szimmetriatulajdonságok V = W esetén

Egy $B:V\times V\to K$ lineáris formának a következő szimmetriatulajdonságai lehetnek:

Egy $B$ bilineáris forma szimmetrikus, ha

$B(x,y)=B(y,x)$

minden $x,y\in V$-re.

A szimmetrikus bilineáris formulák esetén teljesül a $2\cdot B(x,y)=B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)$ polarizációs formula. Innen következik, hogy a szimmetrikus bilineáris formát egyértelműen meghatározzák a $B(x,x),x\in V$ értékei, ha a skalártest karakterisztikája 2-től különböző, $(\mathrm{char}(K)\ne 2)$.

Egy $B$ bilineáris forma alternáló, ha

$B(x,x)=0$

minden $x\in V$-re.

Egy $B$ bilineáris forma antiszimmetrikus vagy ferdén szimmetrikus, ha

$B(x,y)=-B(y,x)$

minden $x,y\in V$-re.

Minden alternáló bilineáris forma ferdén szimmetrikus. Ha $\mathrm{char}(K)\ne 2$, például $K=ℝ$ és $K=ℂ$ esetén, akkor a megfordítás is teljesül: Minden antiszimmetrikus bilineáris forma alternáló. Általánosabban, kommutatív gyűrű fölötti modulusok esetén is ekvivalens a két tulajdonság, feltéve, ha a célmodulusnak nincs 2-torziója.

Példák

• Valós vektortéren értelmezett skalárszorzat egy nem elfajuló, szimmetrikus pozitív definit bilineáris forma.
• Egy komplex $V$ vektortéren értelmezett skalárszorzat nem bilineáris forma, hanem szeszkvilineáris forma. Ha a $V$ teret valós térként fogjuk fel, akkor

$V\times V\to ℝ,(x,y)\mapsto \mathrm{Re}B(x,y)$ szimmetrikus bilineáris forma és

$V\times V\to ℝ,(x,y)\mapsto \mathrm{Im}B(x,y)$ alternáló bilineáris forma.

• Kanonikus nem elfajuló bilineáris forma:

$V\times V^{*}\to K,(v,f)\mapsto ⟨v,f⟩=f(v).$

Elfajulási tér

Az elfajulási tér definíciója

Legyen $B:V\times W\to K$ bilineáris forma. Ekkor az

${\perp }^{}W:=\{v\mid \mathrm{\forall }w\in W:B(v,w)=0\}\subseteq V$

halmaz altér $V$-ben; ez a bilineáris forma balmagja vagy balradikálja. A ${\perp }^{}W$ szimbólum azt jelenti, hogy a balmag elemei pontosan azok, amelyek a bilineáris forma értelmében ortogonálisak a teljes $W$ térre.

Analóg módon,

$V^{\perp }:=\{w\mid \mathrm{\forall }v\in V:B(v,w)=0\}\subseteq W$

a jobbmag vagy jobbradikális. Ha a $B:V\times V\to K$ bilineáris forma szimmetrikus, akkor a bal- és a jobbmag egybeesik, és ez az altér $B$ elfajulási tere.

Az $R^{\perp }$ és ${\perp }^{}S$ írásmódok analóg definícióval használhatók az $R\subseteq V$ illetve $S\subseteq W$ részhalmazokra.

Nem elfajuló bilineáris formák

Minden $B$ lineáris forma definiál két lineáris leképezést:

$B_l:V\to W^{*},v\mapsto (w\mapsto B(v,w))$

és

$B_r:W\to V^{*},w\mapsto (v\mapsto B(v,w)).$

A jobb- és a balmag ezeknek a leképezéseknek a magja:

$\ker B_l={}^{\perp }W$

$\ker B_r=V^{\perp }$

Ha mindkét mag triviális, azaz $B_l$ és $B_r$ is injektív, akkor a bilineáris forma nem elfajuló. Ha ez nem teljesül, akkor a bilineáris forma elfajuló. Ha a $B_l$ és $B_r$ leképezések bijektívek, azaz izomorfizusok, akkor a bilineáris forma tökéletes párosítás. Véges dimenzióban ezek ekvivalensek, tehát a nem elfajuló és a tökéletes párosítás egymás szinonimájaként használható.

Így egy bilineáris forma nem elfajult, ha teljesülnek a következők:

• Minden $v\in V\setminus \{0\}$ vektorhoz létezik egy $w\in W$ vektor úgy, hogy $B(v,w)\ne 0$.
• Minden $w\in W\setminus \{0\}$ vektorhoz létezik egy $v\in V$ vektor úgy, hogy $B(v,w)\ne 0.$

Ha egy bilineáris forma szimmetrikus, akkor pontosan akkor nem elfajuló, ha elfajulási tere a nullvektortér.

Koordinátaábrázolás

Véges dimenziós $V,W,$ vektorterekben jelölje a megfelelő dimenziókat $\dim (V)=n,\dim (W)=m$. Ekkor a tereknek van rendre egy-egy $\{e_1,\dots ,e_n\}$ és $\{f_1,\dots ,f_m\}$ bázisa.

Egy $B:V\times W\to K$ bilineáris forma erre a bázisra vonatkozóan ábrázolható $M_B\in K^{n\times m}$ mátrixszal úgy, hogy

${(M_B)}_{ij}:=B(e_i,f_j)$.

Ha $x$ és $y$ rendre az $v\in V$ és $w\in W$ vektorok koordinátavektorai, vagyis :$v=\sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i,w=\sum _{j=1}^m{y}_j{f}_j,$, akkor

$B(v,w)=x^T{M}_{B}y=\left(\begin{array}{c}{x}_1\dots x_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}B(e_1,f_1)& \cdots & B(e_1,f_m)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ B(e_n,f_1)& \dots & B(e_n,f_m)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_m\end{array}\right)$,

ahol a mátrixszorzás eredménye egy $1\times 1$-es mátrix, tehát egy skalár.

Megfordítva, ha $M$ tetszőleges $n\times m$-es mátrix, akkor

$B_M(v,w):=x^{T}My$

egy $B_M:V\times W\to K$-bilineáris forma.

Bázisváltás

Legyenek $e^{\prime }$ és $f^{\prime }$ rendre további bázisok $V$-ben és $W$-ben, illetve legyen ${}_{e^{\prime }}{\mathrm{𝟏}}_e$ az $e$ bázisról $e^{\prime }$ bázisra áttérés mátrixa. Ekkor $B$ mátrixa az új bázisban

$A^{\prime }={}_e{\mathrm{𝟏}}_{e^{\prime }}^T\cdot A\cdot {}_f{\mathrm{𝟏}}_{f^{\prime }}$.

Ha $V=W$, $e=f$ és $e^{\prime }=f^{\prime }$, akkor $A$ és $A^{\prime }$ hasonló mátrixok.

Példák, tulajdonságok

• ${ℝ}^n$-ben a standardbázisban a skaláris szorzás mátrixa az egységmátrix.
• Ha $V=W$, és $V$ és $W$ ugyanazt a bázist használja, akkor teljesülnek a következők:

• A mátrix pontosan akkor szimmetrikus, ha a bilineáris forma szimmetrikus
• A mátrix pontosan akkor ferdén szimmetrikus, ha a bilineáris forma antiszimmetrikus
• A mátrix pontosan akkor alternáló, ha a bilineáris forma alternáló.

• A $B\mapsto M_B$ leképezés bijekció a bilineáris formák $V\times W\to K$ tere és a $n\times m$-$K$ mátrixok között. Ha kanonikus módon definiáljuk az összeadást és skalárral szorzást a bilineáris formákon: $(\lambda B_1+B_2)(v,w):=\lambda B_1(v,w)+B_2(v,w)$, akkor ez a bijekció vektortérizomorfizmus is.
• Véges dimenziós vektorterekben a szimmetrikus bilineáris formákhoz van olyan bázis, amiben mátrixuk diagonális, feltéve, hogy $\mathrm{char}(K)\ne 2$. Pozitív definit bilineáris formák esetén ilyen bázis található a Gram–Schmidt ortogonalizációval.
• Ha $K=ℝ$, akkor található olyan bázis, ahol az átlón csak az 1, -1 és a 0 értékek szerepelnek. Ez Sylvester tehetetlenségi tétele.

További megjegyzések

• A $V\times W\to K$ bilineáris formák megfeleltethetők $V\otimes W\to K$ lineáris leképezéseknek, ahol $\otimes$ a tenzorszorzatot jelöli.
• Ha egy leképezés nem a $K$ alaptestbe megy, hanem szintén egy vektortérbe, akkor a leképezés bilineáris leképezés.
• A bilineáris forma általánosítása több változóra multilineáris forma.
• Komplex számok fölött kevésbé a bilineáris formák jelentősek. Ott a szeszkvilineáris formák töltik be ugyanazt a szerepet, mint valós test fölött a bilineáris formák. A skaláris szorzást is szeszkvilineáris formával értelmezik.

Lásd még

Forma (algebra)

Forrás

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, Sablon:ISBN