Multilineáris forma

A lineáris algebrában egy $\omega$ $p$-multilineáris forma egy $p$ aritású függvény, ahol a változók $v_i\in V_i,i\in \{1,\dots ,p\}$ vektorok az ugyanazon $K$ test fölötti $V_1,\dots ,V_p$ vektorterekből, és a függvény értéke skalár a $K$ testből; továbbá minden változójában lineáris. Általánosabb esetben, amikor a képtér egy egynél magasabb dimenziós vektortér, vagy pedig vektorterek helyett modulusokról van szó, akkor multilineáris leképezésről beszélünk.

Definíció

Egy

$\begin{array}{cc}\omega :V_1\times \cdots \times V_p& \to K\\ (v_1,\dots ,v_p)& \mapsto \omega (v_1,\dots ,v_p)\end{array}$

leképezés multilineáris forma, ha minden $v_j\in V_j,j\in \{1,\dots ,p\}$ és minden $i\in \{1,\dots ,p\}$ esetén teljesülnek a következő feltételek:

Minden $\lambda \in K$ esetén

$\omega (v_1,\dots ,\lambda v_i,\dots ,v_p)=\lambda \omega (v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_p)$

és minden $w\in V_i$ vektorra

$\omega (v_1,\dots ,v_i+w,\dots ,v_p)=\omega (v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_p)+\omega (v_1,\dots ,w,\dots ,v_p)$.

A multilineáris leképezések ${𝒥}^p(V_1,\dots ,V_p)$ halmaza vektortér a $K$ test fölött. Ha $V_1=\cdots =V_p=:V$, akkor ${𝒥}^p(V):={𝒥}^p(V,\dots ,V)$.

Alternáló multilineáris formák

Egy $\omega \in {𝒥}^p(V)$ multilineáris forma alternáló, ha értéke nulla, valahányszor két argumentuma megegyezik. Azaz

$\omega (\dots ,v,\dots ,v,\dots )=0$

minden $v\in V$ vektorra. Az alternáló lineáris formák ferdén szimmetrikusak, ami azt jelenti, hogy tetszőleges két változót felcserélve előjelet vált, vagyis

$\omega (v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_j,\dots ,v_p)=-\omega (v_1,\dots ,v_j,\dots ,v_i,\dots ,v_p)$

minden $v_k\in V,k\in \{1,\dots ,p\}$ és minden $i,j\in \{1,\dots ,p\},i\ne j$ esetén. A megfordítás csak akkor következik, ha a skalártest karakterisztikája 2-től különböző, így például $K=ℝ$ esetén. Általánosabban, ha $\pi \in S_p$ az indexek permutációja, akkor

$\omega (v_{\pi (1)},\dots ,v_{\pi (p)})=\mathrm{sign}(\pi )\cdot \omega (v_1,\dots ,v_p)$,

ahol $\mathrm{sign}(\pi )$ a permutáció előjele.

Az alternáló multilineáris formák ${\mathrm{\Omega }}^p(V)$ halmaza a ${𝒥}^p(V)$ vektortér altere. Egy fontos speciális eset a $p=\dim V$. Ekkor ${\mathrm{\Omega }}^p(V)$ egydimenziós altér, melynek vektorai determinánsfüggvények.

Az összes ${\mathrm{\Omega }}^p(V),p=0,1,2,\dots$ által generált vektortéren algebra definiálható. Ez az algebra a Graßmann-algebra.

Példák

• A lineáris formák pontosan az 1-multilineáris formák.
• A bilineáris formák pontosan a 2-multilineáris formák. Az antiszimmetrikus bilineáris formák alternálók is, ha a skalártest karakterisztikája különbözik 2-től.
• Ha $n$ vektorból négyzetes mátrixot alkotunk, akkor a mátrix determinánsa alternáló, normált $n$-multilineáris forma. Például háromdimenziós vektorok esetén a mátrix determinánsa:

$\omega (v_1,v_2,v_3):=\det \left(\begin{array}{ccc}{v}_{1x}& v_{2x}& v_{3x}\\ v_{1y}& v_{2y}& v_{3y}\\ v_{1z}& v_{2z}& v_{3z}\end{array}\right)$

alternáló 3-lineáris forma. A $v_1,v_2,v_3$ vektorok koordinátákkal ábrázolva:

$v_1=\left(\begin{array}{c}{v}_{1x}\\ v_{1y}\\ v_{1z}\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}{v}_{2x}\\ v_{2y}\\ v_{2z}\end{array}\right),v_3=\left(\begin{array}{c}{v}_{3x}\\ v_{3y}\\ v_{3z}\end{array}\right)$.

• A kovariáns tenzorok multilineáris formák, és ha a $V_i$ vektorterek megegyeznek, azaz $V_i=V$, akkor a $p$-multilineáris formák $p$-edfokú kovariáns tenzorok. Ekkor a $p$-multilineáris formák teljesen antiszimmetrikus $p$-edfokú tenzorok.
• Egy differenciálforma egy differenciálható sokaság egy pontjához a hozzátartozó érintőtér egy alternáló multilineáris formáját rendeli.

Lásd még

Forma (algebra)

Források

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, Sablon:ISBN.
• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. De Gruyter, Berlin 2003, Sablon:ISBN.