Multilineáris leképezés

A lineáris algebrában és kapcsolódó területeken a multilineáris leképezés a lineáris leképezés általánosítása. A multilineáris leképezés egy fontos példája a determináns.

Definíció

Legyen $R$ egységelemes kommutatív gyűrű, és legyenek $F$ és $E_i$ minden $i\in \{1,...,p\}$-re modulusok az $R$ gyűrű fölött. Ekkor egy $f:E_1\times \cdots \times E_p\to F$ leképezés multilineáris, ha minden változójában lineáris. Pontosabban, ha $p>0$ egész szám, akkor egy leképezés $p$-multilineáris, ha:

$\mathrm{\forall }a\in E_1\times \cdots \times E_p,\mathrm{\forall }i\in \{1,...,p\}:f_i(a)\in L(E_i;F)$,

ahol az $f_i(a)$ parciális leképezésre:

$f_i(a):E_i\to F;x\mapsto f(a_1,...,a_{i-1},x,a_{i+1},...,a_p)$

és $L(E;F)$ az $E$-ből $F$-be menő lineáris leképezések halmaza.

Ha $F=R$, akkor $R$-multilineáris formáról beszélünk.

Az $E_1\times \cdots \times E_p$-ből $F$-be menő $p$-lineáris leképezések halmazát $L_p(E_1,...,E_p;F)$ jelöli. Ha $E_i=E$ minden $i\in \{1,...,p\}$-re, akkor $L_p(E,...,E;F)=:L_p(E;F)$ és végülé $L_p(E,...,E;R)=:L_p(E)$.

Példák

• A lineáris leképezések 1-multilineáris leképezések.
• Ha $p>1$, akkor egyedül a null-leképezés az egyedüli lineáris leképezés, ami $p$-lineáris. Ugyanis $(x,y,...)=(0,y,...)+(x,0,...)$, amiből $f(x,y,...)=f(0,y,...)+f(x,0,...)$. A linearitás miatt $f(...)=0$, ha valamelyik változója $0$.
• A bilineáris leképezések 2-lineáris leképezések.
• Az $[x,y,z]=x\cdot (y\times z)$ vegyes szorzat ${ℝ}^3$-ben 3-lineáris leképezés, vagyis $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]\in L_3({ℝ}^3)=L_3({ℝ}^3;ℝ)=L_3({ℝ}^3,{ℝ}^3,{ℝ}^3;ℝ)$.
• Egy testben vagy gyűrűben a szorzás 2-lineáris leképezés.
• A vektoriális és a skalárszorzás 2-lineáris leképezés.
• Egy n-dimenziós vektortérben a determináns n-multilineáris leképezés.

Tulajdonságok

Az $\{1,\dots ,p\}$ permutációinak szimmetrikus csoportja definiál egy műveletet $L_p(E;F)$-en,

$S_p\times L_p(E;F)\to L_p(E;F);(\sigma ,f)\mapsto \sigma f:(x_1,...,x_p)\mapsto (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (p)})$

ami egy $p$-lineáris leképezés változóinak permutációi. Ekkor egy $f\in L_p(E;F)$ leképezés

• szimmetrikus, ha $\sigma f=f$ minden $\sigma$ esetén
• antiszimmetrikus, ha $\sigma f=ϵ(\sigma )f$ minden $\sigma$ permutációra, ahol $ϵ(\sigma )$ a permutáció előjele.
• alternáló, ha $f(x_1,\dots ,x_p)=0$, valahányszor két változója megegyezik.

Megfordítva, a szimmetrizáló:

$S:f\mapsto Sf=\sum _{\sigma \in S_p}\sigma f$

és az antiszimmetrizáló

$S:f\mapsto Sf=\sum _{\sigma \in S_p}\epsilon (\sigma )\sigma f$,

ahol $f$ tetszőleges multilineáris leképezés szimmetrikusan vagy antiszimmetrikusan működik. Egyes szerzők itt osztanak $p!$-ral, hogy ezek az operátorok idempotensek legyenek, de ez véges karakterisztikájú testek esetén nem mindig működik.

Könnyen megmutatható, hogy az alternáló leképezések antiszimmetrikusak, míg egy antiszimmetrikus leképezés alternáló, ha $1+1\ne 0$, különben pedig szimmetrikus.

Például a vektoriális szorzat és a vegyes szorzat antiszimmetrikus leképezések.

A determinánsformák például alternáló multilineáris leképezések (definíció szerint).

Alkalmazás

Multilineáris leképezésekkel definiálhatók univerzális tenzorszorzatok: Minden $A_1\times \cdots \times A_n\to B$ mulitilineáris leképezéshez van pontosan egy $A_1{\otimes }_R\cdots {\otimes }_R{A}_n\to B$ homomorfizmus úgy, hogy a következő diagram kommutatív legyen:

A tenzorszorzat univerzális tulajdonsága

Forrás

A. L. Onishchik: Multilinear mapping. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002 Sablon:ISBN