Lineáris forma

Egy lineáris forma a lineáris algebrában egy lineáris leképezés, ami egy vektorteret a skalártestébe képez.

A funkcionálanalízisben topologikus valós vagy komplex vektorterek esetén többnyire folytonos lineáris funkcionálokat tekintenek lineáris formának.

Definíció

Legyen $K$ test, és legyen $V$ vektortér $K$ fölött. Egy $f:V\to K$ leképezés lineáris forma, ha minden $x,y\in V$ vektorra és $\alpha \in K$ skalárra

1. $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (additivitás);
2. $f(\alpha x)=\alpha f(x)$ (homogenitás).

Egy adott $V$ vektortér feletti lineáris formák szintén vektorteret alkotnak annak skalárteste fölött, a vektortér $V^{*}$ duális vektorterét.

Tulajdonságok

A lineáris formák általános tulajdonságai:

• Ahogy a lineáris leképezéseket, úgy a lineáris formákat is meghatározzák az egy bázison felvett értékeik.
• Vagy triviálisak (azonosan $0_K$) vagy szürjektívek.
• Ha két lineáris formának ugyanaz a magja, akkor egymás skalárszorosai.

A lineáris funkcionálok speciális jellemzői:

• Pontosan akkor folytonosak, ha magjuk zárt.
• Abszolútértékük félnorma $V$-n.
• A ${𝕂}^n\to 𝕂$ lineáris funkcionálok pontosan azok a $x\mapsto ⟨v,x⟩$ leképezések, ahol $v\in {𝕂}^n$ egy vektor és $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ a standard skalárszorzat.

Lineáris forma, mint tenzor

Egy $f$ lineáris forma elsőfokú kovariáns tenzor; emiatt néha 1-formának is nevezik. Az 1-formák a differenciálformák bevezetésének alapját alkotják.

Kapcsolódó fogalmak

Ha $K=ℂ$, és a második feltételt arra cseréljük, hogy $f(\alpha x)=\bar{\alpha }f(x)$ , ahol $\bar{\alpha }$ a komplex konjugálás, akkor szemilineáris formához jutunk.

Egy többváltozós leképezés, ami minden változójában lineáris vagy szemilineáris, lehet szeszkvilineáris forma, bilineáris forma vagy multilineáris forma.

Lásd még

Forma (algebra)

Források

[ http://eom.springer.de/L/l059210.htm Linear form. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010]

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Walter Rudin: Functional Analysis, 2nd Ed., McGraw-Hill Inc., New York, 1991
• Sablon:Cite book