Funkcionálanalízis

Sablon:Matematika A funkcionálanalízis a matematikai analízis olyan részterülete, amely elsősorban olyan vektortereket vizsgál, melyek el vannak látva egy határértékhez köthető struktúrával, mint például skaláris szorzattal, normával vagy topológiával. Történelmileg a funkcionálanalízis kiindulópontja a függvényterek és a rajtuk definiált transzformációk (mint például a Fourier-transzformáció) tulajdonságainak elemzése volt. Ebből kiindulva vetődtek fel olyan kérdések, hogy funkcionálok és függvényterek közötti operátorok számára hogyan lehet általánosítani olyan fogalmakat, mint a folytonosság vagy a derivált. A modern funkcionálanalízist bevezető irodalom általában a topológiával ellátott vektorterek, főleg végtelen dimenziós terek, vizsgálatával foglalkozó területnek írja le.

A funkcionál szó a variációszámításból ered, melynek jelentése olyan függvény, melynek a változója is egy függvény. Ez a koncepció először Vito Volterra olasz matematikus által lett bevezetve 1887-ben, de a funkcionál kifejezés elsőként Jacques Hadamard 1910-as könyvében jelent meg. A funkcionálanalízis területét ezt követően olyan matematikusok bővítették ki, mint Fréchet, Lévy, továbbá a Banach körül szerveződött Lwówi matematikai iskola tagjai. Ismert magyar és magyar származású kutatói közé tartozik Riesz Frigyes, Neumann János, Haar Alfréd és Szőkefalvi-Nagy Béla.

Az analízisben fellelhető fogalmak általánosítása mellett a funkcionálanalízis a lineáris algebra, a mértékelmélet és a valószínűségszámítás bizonyos eredményeit is próbálja kiterjeszteni, kifejezetten végtelen dimenziós terekre. A függvényterek közötti operátorok vizsgálata különös fontossággal bír például differenciálegyenletek megoldásakor.

Topologikus vektorterek

Általánosságban, a funkcionálanalízis a topologikus vektorterek leírásával foglalkozik. Az egyik leggyakrabban alkalmazott feltétel, hogy a vektortér lokálisan konvex legyen, mely definiálható félnormák családjával. A lokálisan konvex topologikus vektortereknek egy jelentős alosztálya a Fréchet-terek osztálya. A funkcionálanalízis topologikus vektortereket illető fontosabb eredményei közé tartozik a Hahn–Banach-tétel, a Baire-tétel és a Banach–Steinhaus-tétel.

Normált-terek

Sablon:Bővebben A lokálisan konvex topologikus vektorterek legfontosabb alosztálya, továbbá időrendben az első struktúra, melyet a funkcionálanalízis kezdett vizsgálni, az olyan normált vektorterek valós vagy komplex számtestek felett, melyek teljesek, tehát melyekben minden Cauchy-sorozat konvergens. Az ilyen tereket Banach tereknek hívjuk. A Banach-terek egy fontos alosztálya a Hilbert-terek osztálya, ahol a normát egy skaláris szorzat indukálja. A Hilbert-terek rendkívül fontosak a kvantummechanika matematikai leírásában, a gépi tanulásban, a parciális differenciálegyenletek és a Fourier-analízis területén.

Hilbert-terek

Sablon:Bővebben Egy Hilbert-tér szerkezetét egyértelműen meghatározza a dimenziója: az ortonormált bázis minden számosságához tartozik egy olyan Hilbert tér, mely izomorfizmusig bezárólag egyedi. A véges dimenziós Hilbert-terek teljesen leírhatóak a lineáris algebra segítségével, míg például bármely végtelen dimenziós szeparálható Hilbert-tér izomorf az ${\ell }^2({\mathrm{\aleph }}_0)$ sorozattérrel.

A funkcionálanalízis egyik fő nyílt kérdése annak a feltételezésnek a bizonyítása, hogy bármely szeparálható Hilbert-téren definiált korlátos lineáris operátornak van-e nem-triviális invariáns altere. A probléma megoldására 2023–24-ben több bizonyítás is megjelent.

Általános Banach-terek

Sablon:Bővebben Általánosságban a Banach-terek összetettebbek, mint a Hilbert terek, és nem lehet őket ilyen egyszerű módon osztályozni. Ennek fő oka, hogy a Banach-terek nem feltétlen rendelkeznek ortonormált bázissal.

A Banach-terek ismertebb példái az $L^p$-terek bármely $p\ge 1$ természetes számra. Adott $X$ halmazon egy $\mu$ mérték, akkor $L^p(\mu )$ (vagy más jelöléssel $L^p(X,\mu )$ vagy $L^p(X)$) vektorai olyan $f$ mérhető függvények ekvivalenciaosztályai, melyekre teljesül

$\underset{X}{\int }{|f(x)|}^{p}d\mu (x)<\mathrm{\infty },$

tehát $p$-edik hatványuk Lebesgue-integrálható. Amennyiben $\mu$ egy számlálómérték, az integrál helyettesíthető összeggel, tehát

$\sum _{x\in X}{|f(x)|}^p<\mathrm{\infty }.$

Ebben az esetben nem szükséges ekvivalenciaosztályokat vizsgálni, továbbá a teret ${\ell }^p(X)$-ként jelöljük.

A Banach-terek vizsgálatában egy rendkívül fontos eszköz a duális tér, mely azon folytonos lineáris leképezések tere, melyek értelmezési tartománya a Banach-tér, értékkészlete pedig a számtest, ami felett a Banach-teret definiáltuk. Ezeket a leképezéseket hívjuk funkcionálnak. Egy Banach-tér kanonikusan beágyazható a biduális terébe, tehát a duális terének duális terébe. Viszont ez nem zárja ki annak lehetőségét, hogy a biduális térben legyen olyan vektor, melynek az eredeti Banach-térben nincs megfelelője. Ez a lehetőség akkor zárható ki, ha a Banach-tér reflexív, tehát ha a beágyazás szürjektív.

Banach-tereken definiált függvényekre általánosítható a derivált fogalma, melyet Fréchet-deriváltnak hívunk.

Operátorok és Banach-algebrák

Egy kör alakú idealizált dobbőr rezgésének egy lehetséges módusa, melyet egy függvénytéren definiált lineáris operátor sajátvektorával le lehet írni.

A funkcionálanalízis hasonlóan fontos területe a topologikus vektortereken definiált folytonos lineáris operátorok vizsgálata. Míg a Banach-terek a véges dimenziós vektorterek általánosításaként szolgálnak, addig a rajtuk definiált folytonos lineáris operátorok a lineáris algebrában alkalmazott mátrixok fogalmát terjesztik ki. Egy mátrix diagonalizálása, tehát felbontása sajátvektorainak és sajátértékeinek segítségével a funkcionálanalízisben a spektrális tétel alkalmazásaként jelenik meg Hilbert-tereken definiált önadjungált operátorokon. Ez az általánosítás rendkívül fontos a kvantummechanika matematikai leírásában, ugyanis az operátorok megfigyelhető mennyiségeknek, a spektrális felbontásukban megjelenő sajátvektorok pedig a rendszer kvantumállapotainak felelnek meg.

Mivel az operátorok tere vektorteret alkot, a kompozíciójuk pedig szintén egy operátor, így az operátorok egy asszociatív algebrát alkotnak. Az operátorok tere teljes az operátornormára tekintve, így Banach-tér. Mivel az operátornormára és az operátorkompozícióra teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, tehát bármely $A$ és $B$ operátorra teljesül $\Vert A\circ B\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$, így az operátorok Banach-algebrát alkotnak. A Banach-algebrák egy fontos alosztálya a C*-algebrák osztálya, mely további struktúrával van ellátva.

A Haar-mérték szerint integrálható függvények terét egy $G$ lokálisan kompakt csoporton $L^1(G)$-vel jelöljük, amely a konvolúció műveletével együtt Banach-algebrát alkot. Ez az algebra az alapja a harmonikus analízis kiterjesztésének a lokálisan kompakt csoportok elméletére. Ebben a megközelítésben a Fourier-transzformáció a Banach-algebraelméletben vizsgált Gelfand-transzformáció speciális esete.

Legfontosabb eredményei

A funkcionálanalízissel foglalkozó szakirodalom általában három tételt nevez meg a terület alappilléreinek: a Banach–Steinhaus-tételt, a Banach-féle nyílt leképezés tételt és a Hahn–Banach-tételt. Bizonyos szerzők a zárt gráftételt is a fundamentális tételek közé sorolják.

Banach–Steinhaus-tétel

A Banach–Steinhaus-tétel, vagy másképp az egyenletes korlátosság tétele kimondja, hogy egy folytonos és lineáris (tehát korlátos) operátorcsalád számára, melynek értelmezési tartománya egy Banach-tér, a pontonkénti korlátosság ekvivalens az egyenletes korlátossággal az operátornormában. A tételt először Banach és Steinhaus publikálta 1927-ben, viszont tőlük függetlenül Hans Hahn is bizonyította. A tétel pontos megfogalmazása a következő:

Legyen $X$ egy Banach-tér és $Y$ egy normált tér, $F$ egy korlátos operátorcsalád $X$ és $Y$ között. Ha minden $x\in X$-re teljesül

$\underset{T\in F}{\sup }\Vert T(x){\Vert }_Y<\mathrm{\infty }$,

akkor

$\underset{T\in F}{\sup }\Vert T{\Vert }_{B(X,Y)}<\mathrm{\infty }$.

Hahn–Banach-tétel

A Hahn–Banach-tétel a funkcionálanalízis egyik fő eszközének tekinthető, ugyanis azokat a feltételeket sorolja fel, melyek teljesülésével egy vektortér valamilyen lineáris alterén értelmezett korlátos lineáris funkcionált lehetséges az egész vektortérre kiterjeszteni. A tétel a következő:

Legyen $V$ egy valós vektortér, $U\subseteq V$ pedig egy lineáris altér. Ha $p:V\to ℝ$ egy szublineáris függvény és $\phi :U\to R$ egy lineáris funkcionál, melyre teljesül $\phi (x)\le p(x)$ minden $x\in U$-ra, akkor létezik egy olyan $\mathrm{\Phi }:V\to ℝ$ lineáris funkcionál, mely $\phi$ kiterjesztése $V$ egészére (tehát $\mathrm{\Phi }(x)=\phi (x)\mathrm{\forall }x\in U$) úgy, hogy közben minden $x\in V$-re teljesül $\mathrm{\Phi }(x)\le p(x)$.

A tétel fontos következménye, hogy bármely (akár végtelen-dimenziós) normált vektortéren létezik nem-triviális folytonos funkcionál, mely lehetővé teszi tetszőleges normált terek duális terének vizsgálatát.

Nyílt leképezés tétel

A nyílt leképezés tétel, vagy más néven a Banach–Schauder-tétel kimondja, hogy ha egy Banach-terek közötti folytonos lineáris operátor szürjektív, akkor egy nyílt leképezés. Nyílt leképezésnek olyan leképezést hívunk topologikus terek között, ha az értelmezési tartományának minden nyílt részhalmazának képe is nyílt.

A tétel pontos megfogalmazása a következő: ha $X$ és $Y$ Banach-tér, $T:X\to Y$ pedig egy szürjektív folytonos lineáris operátor, akkor $T$ egy nyílt leképezés.

Amennyiben $X$ és $Y$ tetszőleges normált terek, a tétel nem teljesül általánosságban, viszont Fréchet-terekre igen.

A tétel bizonyításának alapja a Baire-féle kategóriatétel, mely kimondja, hogy egy teljes (pszeudo)metrikus térben megszámlálhatóan sok sűrű nyílt halmaz metszete is sűrű.

Zárt gráf tétel

Egy $f:X\to Y$ függvény grafikonja (vagy gráfja) a $𝒢(f)=\{(x,f(x))|x\in X\}$ halmaz. Legyenek $X$ és $Y$ metrikus terek. Az $f:X\to Y$ függvényt akkor nevezzük zárt leképezésnek, ha $𝒢(f)$ zárt részhalmaza $X\times Y$-nak. A zárt gráf tétel kimondja, hogy ha $X$ és $Y$ Banach-terek és $f:X\to Y$ egy zárt lineáris operátor, akkor $f$ folytonos.

A tételnek létezik egy topológiában gyakrabban alkalmazott verziója is: legyen $X$ egy topologikus tér, $Y$ pedig egy kompakt Hausdorff-tér. Az $f:X\to Y$ függvény akkor és csak akkor zárt, ha folytonos.

Alkalmazása parciális differenciálegyenletek megoldásában

A funkcionálanalízis fontos alapot ad bizonyos parciális differenciálegyenletek megoldásához. Ezek az egyenletek gyakran írhatóak a $Du=f$ formába, ahol $u$ a keresett függvény, $f$ egy ismert függvény egy $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ halmazon, $D$ pedig egy differenciáloperátor. Az egyenlethez tartoznak peremfeltételek is, mely leírja az $u$ függvényt a vizsgált értelmezési tartomány peremén, azaz a $\partial \mathrm{\Omega }$ halmazon. A peremfeltétel fizikai értelemben megfelelhet mondjuk egy húr két kifeszített végének vagy egy dobbőr peremének, ahol a rezgések mértéke elhanyagolhatóan kicsi. Differenciáloperátor például a Laplace-operátor, amely megjelenik többek között a hullámegyenletben vagy a hővezetési egyenletben.

A differenciáloperátor tekinthető egy differenciálható függvények tere közötti operátornak, például a Laplace-operátor a kétszer folytonosan differenciálható függvények terén értelmezett, értékkészlete pedig az $\mathrm{\Omega }$-n értelmezett folytonos függvények tere. Egy általánosabb differenciálhatóság-fogalomra áttérve (például disztribúciókat vagy a gyenge derivált fogalmát alkalmazva) a differenciáloperátort értelmezhetjük Szoboljev-terek közötti operátorként. Ilyen operátorok számára fontos esetekben léteznek tételek, melyek a hozzájuk tartozó parciális differenciálegyenletek megoldásainak létezését és egyediségét bizonyítja. A funkcionálanalízis módszereivel olyan kérdéseket is lehetséges vizsgálni, hogy a megoldás hogyan függ az egyenletben található $f$ függvénytől. Ilyen például a regularitás kérdése, mely azt vizsgálja, hogy $f$ simasági tulajdonságai milyen hatással vannak $u$ simasági tulajdonságaira. Az ilyen jellegű problémák is általánosíthatóak a disztribúciók terére. Például, ha $f$ a delta-disztribúcióval egyenlő, és az egyenlet megoldása (ezt fundamentális megoldásnak hívják) ismert, akkor konvolúció segítségével számos más $f$ függvényre is levezethető a megoldás.

Ha egy differenciálegyenlet megoldása nem adható meg zárt formában, akkor hasznos numerikus módszerekkel közelítő megoldásokat keresni, például a végeselemes módszer segítségével. A funkcionálanalízis bizonyos módszerei (például a Galjorkin-módszer) alapvető szerepet játszanak a közelítő megoldások konstrukciójában és a közelítés minőségének meghatározásában.

Kapcsolata a matematika alapjaihoz

A funkcionálanalízisben vizsgált legtöbb tér végtelen dimenziós. Ahhoz, hogy ilyen tereken definiáljunk egy bázist, gyakran szükséges a Zorn-lemma, mely segítségével lehetséges végtelen dimenziós vektortereket Hamel-bázissal ellátni. Alternatívaként szolgál a Schauder-bázis, amely a funkcionálanalízisben gyakrabban alkalmazott. A Hahn–Banach-tétel bizonyításához általában a kiválasztási axióma használatos, bár elegendő hozzá a gyengébb Boole-féle prímideál tétel. A Baire-féle kategóriatételhez, mely a funkcionálanalízis több tételének bizonyításához szükséges, szintén szükséges a kiválasztási axióma.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book

Fordítás

• Sablon:Fordítás
• Sablon:Fordítás

További információ

• Riesz Frigyes, Szőkefalvi-Nagy Béla: Funkcionálanalízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988, Sablon:ISBN
• Máté László: Funkcionálanalízis műszakiaknak, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976, Sablon:ISBN
• Functional analysis az Encyclopedia of Mathematics oldalon angol nyelven (2001)
• Funkcionálanalízis témájú előadássorozat a University of Colorado, Colorado Springs egyetemen, Greg Morrow előadásában