Galjorkin-módszer

Sablon:Lektor A Galjorkin-módszer a matematikában, a numerikus analízis területén, olyan módszerek csoportja, amely egy folytonos feladatot diszkrét feladattá alakítja át (például egy differenciálegyenlet esetén). Elméletileg egyenértékű egy függvénytéren belül a paraméterek variálási módjának alkalmazásával. Tipikusan az egyik akkor alkalmaz bizonyos korlátokat a függvénytéren belül, ha a tér véges. A Galjorkin-módszer hatékony numerikus megoldást nyújt a differenciálegyenletek megoldásánál és a modális elemzés során.

A megközelítés Borisz Grigorjevics Galjorkin nevéhez fűződik, de a módszert Walther Ritz fedezte fel.

Példák Galjorkin-módszerre:

• a Galjorkin-módszer súlyozott maradéka a leggyakoribb számítási módszere a globális merevségi mátrixnak és véges elem módszernek
• a határelem-módszer az integrált egyenletek esetén
• Krilov-féle iteratív módszerek

Bevezetés absztrakt problémával

A feladat gyenge alakja

Bemutatjuk a Galjorkin-módszert egy absztrakt feladaton, amely gyenge feladatként jelenik meg egy $V$-vel jelölt Hilbert-téren, azaz $u\in V$ és $v\in V,a(u,v)=f(v)$.

Itt az $a(\cdot ,\cdot )$ egy bilineáris forma (pontos követelmények szerint az $a(\cdot ,\cdot )$ később kerül meghatározásra) és az $f$ egy korlátos lineáris funkcionál a $V$ téren.

Dimenziócsökkentés

Választunk egy $V_n\subset V$ alrendszert, ami az $n$ dimenziós $V$ térből van, mely megoldja a feladatot: keresünk egy $u_n\in V_n$-et, amire teljesül, hogy $v_n\in V_n,a(u_n,v_n)=f(v_n)$.

Ezt Galjorkin-egyenletnek nevezzük. Vegyük észre, hogy az egyenlet maga változatlan marad, csak a terek változtak meg. Ez a véges dimenziós altérbe való redukció lehetővé teszi az $u_n$-nek a $V_n$ altér bázisvektorainak véges lineáris kombinációként való numerikus kiszámítását.

Galjorkin-ortogonalitás

A Galjorkin-féle megközelítés kulcsfontosságú tulajdonsága, hogy a hiba ortogonális a kiválasztott alterekre. Mivel $V_n\subset V$, használni tudjuk $v_n$-t mint tesztvektort az eredeti egyenletben. A két egyenlet egymásból való kivonásával megkapjuk a Galjorkin-féle ortogonalitási relációt az ${ϵ}_n=u-u_n$, ahol $u$ az eredeti feladat, míg az $u_n$ a Galjorkin-egyenlet megoldása:

$a({ϵ}_n,v_n)=a(u,v_n)-a(u_n,v_n)=f(v_n)-f(v_n)=0.$

Mátrix formátum

Mivel a Galjorkin-módszer célja a lineáris egyenletrendszerek megoldása, így a mátrix formáját építjük fel, melynek segítségével a megoldást a számítógépes program határozza meg.

Veszünk egy $e_1,e_2,\dots ,e_n$ bázist a $V_n$ vektortérből. Ezután elegendő ezeket a Galjorkin-egyenletek teszteléséhez használni, oly módon hogy $a(u_n,e_i)=f(e_i)i=1,\dots ,n.$

Ennek alapján bővítjük $u_n$-t, úgy hogy $u_n=\sum _{j=1}^n{u}_j{e}_j$ , melyet felhasználva a fenti egyenlet:

$a(\sum _{j=1}^n{u}_j{e}_j,e_i)=\sum _{j=1}^n{u}_{j}a(e_j,e_i)=f(e_i)i=1,\dots ,n.$ lesz.

Ez egy lineáris egyenletrendszer, mely a következőképpen írható: $Au=f$ , ahol $A_{ij}=a(e_j,e_i),f_i=f(e_i).$

A mátrix szimmetriája

A mátrix tulajdonságai alapján a Galjorkin-egyenlet mátrixa is szimmetrikus, akkor és csak is akkor ha a billineáris forma ( $a(\cdot ,\cdot )$) is szimmentrikus.

Galjorkin módszerek elemzése

Itt használjuk a bilineáris formát, vagyis $a(u,v)=a(v,u).$ Ez valójában nem korlátozza a Galjorkin-módszereket, de a standard elmélet alkalmazása egyszerűbbé válik. Ezen kívül a nemszimmetrikus esetekben a Petrov-Galjorkin módszerre lehet szükség.

A módszerek elemzése két lépésben történik:

1. Meg kell mutassuk hogy a Galjorkin-egyenlet Hadamard értelemben egy jól körülhatárolt feladat, ezért egyedülálló megoldást jelent
2. Tanulmányozzuk a Galjorkin-megoldás közelítését

Az elemzés többnyire a billineáris forma két tulajdonságára korlátozódik:

• Határozottság: minden $u,v\in V$ tart az $a(u,v)\le C\Vert u\Vert \Vert v\Vert$-hoz, a C állandón keresztül (C>0)

• Ellipticitás: minden $u\in V$ tart az $u\in V$ -hoz a c állandón keresztül (c>0)

A Lax-Milgram-tétel szerint ez a két feltétel az eredeti feladat jó helyzetét fogalmazza meg. A fent megjelent normákat gyakran energia-normáknak is nevezik.

A Galjorkin-egyenlet pozitivitása

A $V_n\subset V$ a bilineáris forma hatására az ellipticitása $V_n$. Ezért a Galjorkin-probléma tulajdonképpen az eredeti probléma jól megfogalmazott öröksége.

Legnagyobb közelítés (Céa-Lemma)

Az eredeti hiba és a Galjorkin-megoldás között felírható a következő összefüggés:

$\Vert u-u_n\Vert \le \frac{C}{c}\underset{v_n\in V_n}{\inf }\Vert u-v_n\Vert .$

Ez azt jelenti hogy a $C/c$ állandó, és a Galjorkin-megoldás ($u_n$) olyan közel áll az eredeti megoldáshoz ($u$), hogy mindkettő a $V_n$ belül helyezkedik el.

Próba

Mivel a bizonyítás nagyon egyszerű, az alapelv a Galjorkin-módszerek mögött a bilineáris forma ellipticitásával határolható, vagyis $v_n\in V_n$:

$c\Vert u-u_n{\Vert }^2\le a(u-u_n,u-u_n)=a(u-u_n,u-v_n)\le C\Vert u-u_n\Vert \Vert u-v_n\Vert .$

Elosztva a $c\Vert u-u_n\Vert$ értékkel, a lehető legkevesebb $v_n$ hozza létre a lemmát.

Lásd még

• Ritz-módszer