Hilbert-tér

A Hilbert-tér a modern matematika fontos fogalma: olyan skalárszorzatos vektortér, amely teljes a skalárszorzat által definiált normára nézve. A Hilbert-tereket a funkcionálanalízis tanulmányozza. A Hilbert-térnek alapvető jelentősége van a kvantummechanika megalapozásában, jóllehet a kvantummechanika sok alapvető tulajdonsága megérthető a Hilbert-terek mélyebb megértése nélkül. A Hilbert-tér egyben Banach-tér is, melynek normáját skalárszorzat indukálja.

Szerkezetét egyértelműen meghatározza a Hilbert-dimenziója. Ez tetszőleges kardinális szám lehet. Ha a dimenzió véges, akkor euklideszi vektortérről van szó. Sok területen, például a kvantummechanikában a megszámlálhatóan végtelen dimenziós Hilbert-teret használják. A Hilbert-tér egy eleme megadható a dimenziónak megfelelő számú valós, vagy komplex koordinátával. A vektorterekhez hasonlóan, ahol egy Hamel-bázisban megadott koordináták véges kivétellel nullák, egy Hilbert-tér ortonormált bázisában csak megszámlálható sok koordináta különbözhet nullától, és a koordináták négyzetesen összegezhetők.

A Hilbert-tereken értelmezett skalárszorzat topologikus szerkezettel is ellátja a teret; ez lehetővé teszi a határértékek megközelítését, szemben az általános vektorterekkel.

Bevezetés

David Hilbert

A Hilbert-teret David Hilbertről nevezték el, aki az integrálegyenletekkel kapcsolatban tanulmányozta azokat. Az elnevezés eredete „der abstrakte Hilbertsche Raum” Neumann Jánostól származik, a nemkorlátos hermitikus operátorokról szóló 1929-es híres cikkéből. Neumann volt talán az a matematikus, aki legtisztábban látta a jelentőségét, annak a megtermékenyítően ható munkájának következtében, mellyel a kvantummechanikát szilárd alapokra helyezte. A „Hilbert-tér” elnevezést hamarosan mások is elfogadták, például Hermann Weyl az 1931-ben publikált A csoportok és a kvantummechanika elmélete (The Theory of Groups and Quantum Mechanics) című könyvében.

Az absztrakt Hilbert-tér elemeit „vektoroknak” nevezik. A kvantummechanikában például egy fizikai rendszert egy „hullámfüggvényekből” álló komplex Hilbert-tér ír le, mely hullámfüggvények a rendszer egyes állapotait írják le, a hullámfüggvények egy L-2-tér elemei a kvantummechanika modern megfogalmazásában. A kvantummechanikában gyakran használt síkhullámok és kötött állapotok Hilbert-terére a formálisabb kifeszített Hilbert-tér néven hivatkoznak.

Definíció

A H vektorteret a T test (valós vagy komplex számtest) feletti Hilbert-térnek nevezzük, ha értelmezve van rajta egy Hermite-féle alak (belső szorzat), amely egy teljes normált teret indukál.

Azaz létezik egy leképzés: $⟨\cdot ,\cdot ⟩:H\times H\to T$, amely minden $H$-beli $x$, $y$, $z$-re és minden $T$-beli $\lambda$-ra a következőket teljesíti:

1. $⟨x,x⟩\ge 0$ (nemnegatív);
2. $⟨x,x⟩=0\iff x=0$ (definit);
3. $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$ (hermitikus - valós esetben a konjugálás elhagyható);
4. $⟨x,\lambda y⟩=\lambda ⟨x,y⟩$ és $⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩$ (lineáris a második argumentumban).

Minden, az előbbi tulajdonságokat teljesítő, belső szorzatos térben értelmezhető egy ||.|| norma következőképpen:

$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$.

H Hilbert-tér, ha H erre a normára nézve teljes, azaz minden H-beli Cauchy-sorozat konvergál.

Megjegyzések:

• Ebben a definícióban a skaláris szorzat a második argumentumban lineáris, az elsőben C-antilineáris, ez fordítva is működne, illetve használják is.
• Ha egy Hermite-féle alak értelmezve van a komplex vektortéren, akkor unitér térről beszélünk, valós esetben euklideszi vektortérről.
• Mivel minden Hilbert-tér unitér vagy euklideszi, érvényes benne a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség, a polarizációs formula és a paralelogrammaazonosság, valamint a Bessel-egyenlőtlenség és a Pitagorasz-tétel.
• A 3. tulajdonságban a felülvonás a komplex konjugálást jelöli, valós esetben a 3. tulajdonság a skaláris szorzat szimmetriája.
• Vegyük észre, hogy a norma definíciójában a gyök a norma homogenitása miatt szükséges.

Példák

• Az ${ℝ}^n$ koordinátatér az $⟨u,v⟩=u_1{v}_1+\cdots +u_n{v}_n$ valós skalárszorzattal
• A ${ℂ}^n$ koordinátatér az $⟨u,v⟩={\overline{u}}_1{v}_1+\cdots +{\overline{u}}_n{v}_n$ skalárszorzattal
• A ${𝕂}^{m\times n}$ valós vagy komplex mátrixtér a Frobenius-skalárszorzattal
• A $H^p$ Szoboljev-tér minden $p\ge 0$ esetén. Ezek képezik a parciális differenciálegyenletek megoldáselméletének alapját.
• A Hilbert-Schmidt-operátorok $HS$ tere.
• A $H^2(𝔻)$ Hardy-tér és a ${\mathscr{H}}^2({ℝ}^n)$ valós Hardy-tér.
• Az ${\ell }^2$ sorozattér, melyet azok a sorozatok alkotnak, ahol a sorozat elemeinek négyzetösszege véges. David Hilbert ezt a teret vizsgálta. Fontossága abban áll, hogy minden szeparábilis végtelen dimenziós Hilbert-tér izometrikusan izomorf ${\ell }^2$-tel.
• A négyzetesen integrálható függvények $L^2$ tere az $⟨f,g{⟩}_{L^2}=\int \overline{f(x)}g(x)\mathrm{d}x$ skalárszorzattal.
• A majdnemperiodikus függvények ${\mathrm{A}\mathrm{P}}^2$ tere, ami a következőképpen definiálható: Legyen $\lambda \in ℝ$, ehhez tekintjük azokat az $f_{\lambda }:ℝ\to ℂ$ függvényeket, ahol $f_{\lambda }\left(t\right)=e^{i\lambda t}$. Ellátjuk az $\mathrm{lin}\{f_{\lambda }:\lambda \in ℝ\}$ teret az $⟨f,g⟩=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{4T}{\int }_{-T}^T\overline{f(t)}g(t)\mathrm{d}t$ skalárszorzattal, így prehilbertteret kapunk. Ezt a teret teljessé téve jutunk az ${\mathrm{A}\mathrm{P}}^2$ Hilbert-térhez, ami nem szeparábilis.

Ortogonalitás

Két vektort $x,y\in H$ ortogonálisnak mondunk, ha $⟨x,y⟩=0$, gyakori jelölés: $x\perp y$.

Egy S halmazt H-beli ortogonális rendszernek nevezünk, ha $S\subset H$, és $\mathrm{\forall }x,y\in S,x\ne y:⟨x,y⟩=0$. Ha egy ortogonális rendszer nem bővíthető (maximális), akkor ortogonális bázis. Az ortogonális bázisok lineáris burka sűrű a Hilbert-térben. A lineáris algebrában megszokott értelemben ezek csak véges dimenziós esetben bázisok.

Egy S halmazt H-beli ortonormált rendszernek nevezünk, ha $S\subset H$, és $\mathrm{\forall }{x}_i,x_j\in S:⟨x_i,x_j⟩={\delta }_{ij}$, ahol ${\delta }_{ij}$ a Kronecker-delta. A Zorn-lemmával belátható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.

Egy véges $S=\{x_n|n=1,2,...,N\}$ ortonormált rendszerre érvényes a Pitagorasz-tétel és a Bessel-egyenlőtlenség (mint minden belső szorzatos térben). Azaz minden x-re H-ban:

Pitagorasz:

$||x|{|}^2=\sum _{n=1}^N|⟨x_n,x⟩{|}^2+||x-\sum _{n=1}^N⟨x_n,x⟩x_n||$

Bessel:

$||x|{|}^2\ge \sum _{n=1}^N|⟨x_n,x⟩{|}^2$

Bázis

Definíció: A H Hilbert-tér egy maximális ortonormált rendszerét ortonormált bázisnak nevezzük. Azaz $B\subset H$ egy ortonormált bázis, ha B ortonormált rendszer, és B bármely $x\in H$-val való bővítés után, már nem ortonormált rendszer.

A Zorn-lemma (illetve a kiválasztási axióma) használatával megmutatható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.

Ha y egy H Hilbert-térbéli vektor és $B=\{x_i\in H:i\in I\}$ egy ortonormált bázisa H-nak, ahol I egy tetszőleges indexhalmaz, akkor:

$y=\sum _{i\in I}⟨x_i,y⟩x_i$, ahol $⟨x_i,y⟩$ csak megszámlálható sok $i\in I$-re nem nulla, és az összegzés független a sorrendtől. y kifejezése bázisvektorok soraként egyértelmű. Továbbá:

$||y|{|}^2=\sum _{i\in I}|⟨x_i,y⟩{|}^2$ (Parseval tétel).

Ortonormált bázisokkal a Hilbert-terek teljesen osztályozhatók. Minden Hilbert-térben van ortonormált bázis, és egy Hilbert-tér ortonormált bázisainak kardinalitása megegyezik. Egy Hilbert-tér ortonormált bázisainak kardinalitása tehát jóldefiniált. Ezt nevezzük a tér Hilbert-dimenziójának, röviden dimenziójának. Ugyanazon test fölötti megegyező dimenziójú Hilbert-terek izomorfak, ugyanis a két bázis elemről elemre megfeleltethető egymásnak, és ez a megfeleltetés folytonosan kiterjeszthető az egész térre.

Alterek

Egy Hilbert-altér egy Hilbert-tér olyan részhalmaza, ami a Hilbert-térben értelmezett vektorösszeadás, skalárral szorzás és skalárszorzás leszűkítésére szintén Hilbert-tér. Ez azt is jelenti, hogy altere, mint vektortérnek, hiszen ezek a kikötések feltételezik a nullvektor tartalmazását, és zárt a vektorösszeadásra és a skalárral szorzásra. Emellett még a skalárszorzásra is teljesnek kell lennie; ez ekvivalens azzal, hogy topológiai értelemben zárt. Emiatt a Hilbert-altereket zárt alterekként is emlegetik, szemben az egyszerűen csak altérként említett vektorterekkel. Általában ezek az alterek skalárszorzatos vektorterek, melyek sűrűek egy Hilbert-térben, ami lezárással kapható. Lehetséges Hilbert-alterekre hányadosteret képezni, ekkor szintén Hilbert-térhez jutunk.

Ez hasonló a Banach-terek esetéhez, melyek vektortéri értelemben vett alterei normált terek. Egy fontos különbség a projekciós tétel: Adva legyen egy Hilbert-tér, amiben kiválasztunk egy elemet, és egy Hilbert-alteret. Ekkor a Hilbert-altérben egyértelműen van egy vektor, melynek az adott vektortól mért távolsága minimális. Banach-terekben ez általában már véges dimenzióban sem igaz. Ez lehetővé teszi Hilbert-altér hányadosterének kanonikus azonosítását egy Hilbert-altérrel, ez az ortogonális komplementer; és az ortogonális vetítés bevezetését is. Egy Hilbert-altér ortogonális komplementere egy komplementer Hilbert-altér; azonban Banach-alterekhez általában nincs komplementer altér.

Definíció: Legyen $S\subset H$, ekkor definiáljuk S ortogonális komplementerét:

$S^{\mathrm{\perp }}:=\{x\in H|⟨x,y⟩=0\mathrm{\forall }y\in S\}$.

Tétel: Legyen H egy Hilbert-tér, M pedig egy zárt altér H-ban. Ekkor $H=M\oplus M^{\mathrm{\perp }}$

Konjugált Hilbert-tér

Komplex Hilbert-terek esetén a skalárszorzás nem szimmetrikus; lineáris a második argumentumban, és szemilineáris az elsőben. Azonban definiálható a konjugált Hilbert-tér, a következőképpen: Legyen $H$ Hilbert-tér, és legyen a $\bar{H}$ értelmezve ugyanazon az alaphalmazon, és legyen a vektorok összeadása is ugyanaz, mint $H$-ban. A többi művelet:

• Skalárral szorzás: $\lambda {\cdot }_{\bar{H}}u:=\bar{\lambda }u$
• Skalárszorzás: $⟨u,v{⟩}_{\bar{H}}:=\overline{⟨u,v⟩}=⟨v,u⟩$.

Ezekkel a műveletekkel $\bar{H}$ szintén Hilbert-tér, $H$ konjugált Hilbert-tere. A konjugált Hilbert-tér konjugált Hilbert-tere, az eredeti Hilbert-tér.

Hilbert-terek közötti leképezések

A funkcionálanalízisben vizsgálnak olyan terek közötti leképezéseket is, amelyek megtartják a terek struktúráját. Ezek a leképezések megtartják a vektortér struktúrát is, azaz lineáris leképezések, melyeket a funkcionálanalízisben lineáris operátoroknak neveznek.

A Hilbert-terek közötti lineáris operátorok fontos osztálya a folytonos lineáris operátoroké. Ezek megtartják a topologikus struktúrát, így a konvergenciát is. További fontos tulajdonságok valamilyen értelmű korlátosságot feltételeznek. A korlátosság ekvivalens a folytonossággal; így sokszor egyszerűen csak folytonos operátorokként emlegetik őket. A kompaktság egy erősebb követelmény. A Schatten-Neumann-osztályok a kompakt operátorok osztályának valódi alosztályai. Az operátorok osztályain szintén definiálnak normákat és operátortopológiákat.

Az unitér operátorok a Hilbert-terek természetes izomorfizmus fogalmát definiálják, mivel ezek éppen az izomorfizmusok a Hilbert-terek kategóriájában, a skalárszorzattartó lineáris leképezésekkel, mint morfizmusokkal. Ezek konkrétan a lineáris szürjektív izometriák, a szögek és hosszak megőrzésével.

A folytonos lineáris operátorokat meghatározza, hogy egy ortonormált bázist mire képez le. Valójában minden kardinális számhoz létezik valós és komplex Hilbert-tér is, melynek a dimenziója megegyezik az adott kardinális számmal, például az ${\ell }^2(I)$ tér, ahol az $I$ indexhalmaz kardinális száma az adott kardinális szám:

${\ell }^2(I):=\{u:I\to K\mid \sum _{i\in I}{|u(i)|}^2<\mathrm{\infty }\}$,

ahol $K=ℝ$ vagy $K=ℂ$, és a konvergencia érdekében előírjuk, hogy csak megszámlálható sok tag különbözik a nullától (lásd feltétlen kovergencia). Ezt a teret ellátjuk az

$⟨u,v⟩:=\sum _{i\in I}\overline{u(i)}v(i)$,

skalárszorzattal. Az ${\ell }^2(I)$ tér egy ortonormált bázisát alkotják az $u_i$ vektorok, ahol $u_i(j)={\delta }_{ij}$. A Riesz-Fischer-tétel azt mondja ki, hogy minden Hilbert-tér izomorf egy ilyen térrel.

Riesz reprezentációs tétel

Definíció (duális tér): Egy H Hilbert-tér H* duális terén, a H-n értelmezett folytonos lineáris funkcionálok Banach-terét értjük, azaz

$H^{*}:=\{T:H\to ℂ|T\text{lineáris és folytonos}\}$

a folytonosság (mivel normált terek közötti lineáris leképzésről van szó) egyenértékű a leképzés operátornorma szerinti korlátosságával, azaz egy $T:H\to ℂ$ lineáris függvényre igaz:

$T\text{folytonos}⟺||T||<\mathrm{\infty }$

$||T||:=\sup \{\frac{|Tx|}{||x||}|x\ne 0,x\in H\}$

Tétel (Riesz reprezentáció): Minden $T\in H^{*}$-hez létezik pontosan egy $y_T\in H$, úgy hogy $T(x)=⟨y_T,x⟩$ minden x-re H-ban, és
$||y_T||=||T||$.

Vagyis a tétel azt mondja ki, hogy H duális tere egy Hilbert-tér, amely izometrikusan izomorf H-hoz. Ez az egyik leglényegesebb tulajdonsága a Hilbert-tereknek, és ez a tulajdonság különbözteti meg őket nagyban az általánosabb Banach-terektől. Komplex esetben a tétel hasonlóan működik, azzal a különbséggel, hogy a leképezés szemilineáris, tehát az operátor is szemilineáris. Mindkét esetben a Hilbert-tér izomorf a duális terével (egy szemiunitér $H\to H^{\prime }$ operátor felbontható egy $H\to H^{\prime }$ unitér és egy $H^{\prime }\to H^{\prime }$ szemiunitér operátorra), így a Hilbert-tér izomorf a biduális terével, tehát a Hilbert-terek reflexívek.

Ezen tétel felhasználásával vezetik be a fizikusok a bra-ket írásmódot, mely a Hilbert-tér elemeit $|x⟩$ módon jelöli, és ket-vektoroknak nevezi őket, a duálvektorokat pedig $⟨x|$ módon, melyeket bra-vektoroknak nevez. Két vektor skaláris szorzata, pedig a duálvektor hattatása a vektorra: $⟨y|(|x⟩)=⟨y|x⟩=⟨y,x⟩$, azaz a duálvektort a vektor mellé írjuk, így a bra és a ket vektor képzi nyelvi humorral a bracket-et, azaz a skaláris szorzat jelölésére használt zárójelet.

A tételből következik, hogy egy $X$-ből $Y$-ba menő lineáris operátor adjungált operátora értelmezhető, mint egy $Y$-ból $X$-be menő lineáris operátor. Így egy operátor felcserélhető adjungált operátorával; az efféle operátorok alkotják a normális operátorok osztályát. Egy Hilbert-tér operátorainál fennáll annak a lehetősége, hogy egy operátor adjungált operátora önmaga. Ezek az önadjungált operátorok.

Egy Hilbert-téren több fent bevezetett operátorosztály operátoralgebrát alkot. Az adjungálással, mint involúcióval és egy megfelelő normával involutív Banach-algebrákat alkotnak. Egy Hilbert-tér folytonos lineáris operátorai az adjungálással és az operátornormával C*-algebrát alkot.

Fourier-együttható

Az ortonormált bázisok hasznosak a Hilbert-terek és elemeik vizsgálatára mind valós, mind komplex test fölött. Például az elemek ábrázolása meghatározható ortonormált bázisban. Legyen $B=(b_1,b_2,\dots )$ ortonormált bázis, és $v$ a Hilbert-tér egy vektora. Mivel $B$ ortonormált bázis, azért vannak ${\alpha }_k\in ℝ$ illetve $ℂ$ együtthatók úgy, hogy

$v=\sum _k{\alpha }_k{b}_k$.

Ezek az együtthatók meghatározhatók az ortonormált bázis speciális tulajdonságainak felhasználásával

$⟨b_n,v⟩=⟨b_n,\sum _k{\alpha }_k{b}_k⟩=\sum _k{\alpha }_k⟨b_n,b_k⟩={\alpha }_n$,

mivel a különböző bázisvektorok skalárszorzata nulla, és a bázisvektorok önmagukkal vett skalárszorzata 1. Egy vektor ábrázolásának $n$-edik együtthatója ortonormált bázisban meghatározható skalárszorzattal. Ezeket az együtthatókat Fourier-együtthatóknak is nevezzük, mivel a Fourier-analízis egy fogalmának általánosítását nyújtják.

RKHS

Ha egy Hilbert-teret egy maggal asszociálunk, melyet a térben minden függvény reprodukál, akkor Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS)-ről van szó, ami magyarra fordítva: reprodukáló mag Hilbert-tér. Ezt először Stanisław Zaremba matematikus formalizálta 1907-ben. Jelentősége fél évszázaddal később nőtt meg, amikor a funkcionálanalízisben fontos szerephez jutott. Ma a reprodukáló magos Hilbert-terek a statisztikai elméletek egy szokványos eszköze, különösen a gépi tanulásban.

Alkalmazások

Minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is (de fordítva nem igaz).
Minden L-2 tér egy Hilbert-tér.

Minden véges dimenziós belső szorzattal rendelkező tér (mint az Euklideszi-tér a szokásos skalárszorzattal) Hilbert-teret alkot. Valójában a végtelen dimenziós terek jelentősége az alkalmazások területén sokkal nagyobb. Pár példa ezekre:

• Az unitér csoportreprezentációk elmélete
• A négyzetesen integrálható sztochasztikus folyamatok
• A parciális differenciálegyenletek Hilbert-tér elmélete, különösen a Dirichlet-probléma megfogalmazásai. Lásd még: a parciális differenciálegyenletek megoldáselmélete, amitől a Hilbert-terek a fizikában is nagy fontosságot nyernek
• A függvények spektrális analízise, beleértve a waveleteket

A kvantummechanika matematikai megfogalmazásai. Például a kvantummechanikában egy kvantummechanikai rendszer tiszta állapotai megadhatók Hilbert-térben egy vektorral. Egy kvantummechanikai rendszer állapotai egy lineáris struktúra elemei, vagyis állapotok lineáris kombinációja szintén állapot. Két állapot, $|\psi ⟩$ és $|\varphi ⟩$ skalárszorzatának normájának négyzete azt adja meg, hogy ha egy mérés eredménye $|\psi ⟩$, akkor mekkora annak a valószínűsége, hogy a rendszer a $|\varphi ⟩$ állapotban van. Ha a fizikában a Hilbert-térről beszélnek, akkor az adott kvantummechanikai rendszer állapotterét értik.

Például egy szabad részecske lehetséges hullámfüggvényei a $\psi :{ℝ}^3\to ℂ$ négyzetesen integrálható függvények $L^2$ terét alkotják a szokásos $L^2$-skalárszorzattal:

$⟨\psi |\varphi ⟩=\underset{{ℝ}^3}{\int }{\psi }^{*}(\overrightarrow{x})\varphi (\overrightarrow{x})\mathrm{d}\overrightarrow{x}$.

Egy másik példa egy elektron lehetséges spin állapotai a ${ℂ}^2$ teret feszítik ki, a szokásos komplex skalárszorzattal.

A belső szorzat teszi lehetővé a „geometriai” látásmód megőrzését, és a véges dimenziós terekben megszokott geometriai nyelvezet használatát. Az összes végtelen dimenziós topologikus vektortér közül a Hilbert-terek a „legjobban viselkedőek” és ezek állnak legközelebb a véges dimenziós terekhez. A funkcionálanalízis szempontjából a Hilbert-terek speciális és egyszerű szerkezetű terek egy osztályát alkotják.

A Fourier-analízis egyik célja, hogy egy adott függvényt adott alapfüggvények kombinációjaként írjunk fel, azaz olyan (esetleg végtelen) összegként, melyben az alapfüggvények többszörösei a tagok. Ez a probléma absztrakt módon vizsgálható Hilbert-terekben: minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa, és a Hilbert-tér minden eleme egyféleképp írható fel a báziselemek kombinációjaként, azaz olyan összegként, melyben a bázisvektorok többszörösei (skalárszorosai) szerepelnek.

Érdekesség

A német nyelvterületen több egyetemen is van Hilbert-térnek nevezett terem.

Források

• Dirk Werner: Funktionalanalysis 5., erweiterte Auflage, Springer, Berlin, 2005, Sablon:ISBN, Kapitel V, VI und VII.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Band 1: Elementary Theory; Academic Press, New York NY, 1983, Sablon:ISBN (Pure and Applied Mathematics 100, 1), Chapter 2: Basics of Hilbert Space and Linear Operators

További információk

• Michael Reed, Barry Simon: Functional Analysis (Methods of Modern Mathematical Physics, Volume 1), 1980

Sablon:Nemzetközi katalógusok Sablon:Portál