Hullámegyenlet

A hullámegyenlet kétdimenziós megoldása

A hullámegyenlet a klasszikus mechanikában és elektrodinamikában egy olyan idő- és térkoordinátában is másodrendű parciális differenciálegyenlet, amely leírja egy hullám terjedését az anyagon (közvetítő közegen) keresztül. Az egyenletnek számos formája van a hullámvezetés és a közvetítő anyag fajtájától függően.

A nemrelativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, a Schrödinger-egyenlet az időkoordinátában elsőrendű.

A relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, a Dirac-egyenlet a térkoordinátákban is elsőrendű, különben nem teljesülhetne a Lorentz-invariancia.

A klasszikus fizika hullámegyenlete

D’Alembert hullámegyenlete anyagokra

Egy dimenzióban a hullámegyenlet formája:

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}.$

Általános megoldása, ahogy Jean le Rond d’Alembert megadta:

$\varphi (x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).$

Ez két impulzusnak felel meg, az egyik (F) a +x irányban, a másik (G) a −x irányban. A fenti egyenlet értelemszerűen kibővíthető térbeli hullámegyenletté a megfelelő y és z tagok hozzáadásával.

Nemlineáris hullámegyenlet tömegáramláshoz vezethet.

Hullámegyenlet az elektromágnesességben

A klasszikus elektrodinamika hullámegyenlete a Maxwell-egyenletekből vezethető le. Induljunk ki a Maxwell-egyenletek alábbi alakjából, ahol nincsenek jelen töltések (ρ = 0), valamint nem folyik áram (j = 0):

M1: $\mathrm{\nabla }\overrightarrow{E}=0$

M2: $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$

M3: $\mathrm{\nabla }\overrightarrow{B}=0$

M4: $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}$

A fentiekben $\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H}$, illetve $\overrightarrow{D}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}={ϵ}_0\cdot (1+\chi )\overrightarrow{E}=ϵ\overrightarrow{E}$.

M4-et idő szerint deriválva az (1), illetve véve M2 rotációját a (2) összefüggésre jutunk:

(1): $\mathrm{\nabla }\times \frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}=ϵ\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}$

(2): $\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\mu \mathrm{\nabla }\times \frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}$

Az utóbbi (2) egyenlet bal oldala a rotáció szorzási szabályának ($\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\overrightarrow{E})-\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}$) megfelelően átírható, de ez M1 alapján most:

(3): $\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}$

összefüggést kapjuk. Ezek után (1)-et (2)-be írva, felhasználva a (3)-as összefüggést, az alábbi differenciálegyenlet adódik:

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0$

Felhasználva az $n=\sqrt{{ϵ}_r{\mu }_r}$ és $c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}}$ összefüggéseket, az alábbi differenciálegyenlet áll elő:

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}-\frac{n^2}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0.$

A fenti egyenletet hullámegyenletnek nevezzük. Ennek időfüggetlen vagy az időfüggésről leválasztott formája a Helmholtz-egyenlet.

Abban az esetben, ha P nem lineáris, a nemlineáris hullámegyenletet kapjuk. Erről részletesebben a nemlineáris optika címszó alatt olvashatunk.

Megoldása

Egy térdimenzióban

Az egydimenziós

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0$

hullámegyenlet általános megoldásának alakja:

$u(t,x)=f(x+ct)+g(x-ct)$

ahol f és g kétszer differenciálható. Az első összeadandó a balra, a második összeadandó a jobbra futó hullámot írja le.

Az f és a g függvények kifejezhetők koszinuszos függvények lineáris kombinációjaként:

$\cos (kx-\omega t+\phi )$

vagy a komplex exponenciális függvénnyel:

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}$

$u(t,x)=\text{Re}\int \mathrm{d}ka(k){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}.$

Ahol is k a hullámszám.

A frekvencia: $\omega =|k|c$.

A $\phi (k)$ fázisszöget az $a(k).$ komplex amplitúdó foglalja magában.

Adott kezdeti feltételekkel

Legyen $u(t,x)=f(x+ct)+g(x-ct)$ az egydimenziós hullámegyenlet megoldása. Adva legyenek még az $u(0,x)=\varphi (x)$ és az $\frac{\partial u}{\partial t}(0,x)=u_t(0,x)=\psi (x)$ kezdeti feltételek.

Ekkor

$u(0,x)=f(x)+g(x)=\varphi (x)$

$u_t(0,x)=c(f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x))=\psi (x)$

A második egyenletet integrálva:

$f(x)-g(x)=\frac{1}{c}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\psi (\xi )\mathrm{d}\xi ,$

Megoldva:

$f(x)=\frac{1}{2}(\varphi (x)+\frac{1}{c}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\psi (\xi )\mathrm{d}\xi )$

$g(x)=\frac{1}{2}(\varphi (x)+\frac{1}{c}\underset{x}{\overset{x_0}{\int }}\psi (\xi )\mathrm{d}\xi )$

Így a kezdeti feltételes megoldás:

$u(t,x)=\frac{1}{2}(\varphi (x+ct)+\varphi (x-ct)+\frac{1}{c}\underset{x-ct}{\overset{x+ct}{\int }}\psi (\xi )\mathrm{d}\xi )$

Két térdimenzióban

Két dimenzióban az egyenlet alakja:

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$

Megoldásának általános alakja:

$u(t,x,y)=\frac{1}{2\pi c}\underset{D}{\iint }\frac{\varphi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt{(ct{)}^2-{\xi }^2-{\eta }^2}}d\xi d\eta .$

Ez a megoldás a magasabb dimenziós egyenletek megoldóképletéből is levezethető.

Három vagy több térdimenzióban

Az általános megoldás magasabb dimenzióban is kifejezhető síkhullámok lineáris kombinációjaként:

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(𝐤𝐱-\omega t)},\text{ahol}\omega =\left|𝐤\right|c$

és egy ilyen síkhullám c sebességgel mozog a $𝐤$ irányban.

A megoldás általános alakja

$u(t,𝐱)=\text{Re}\int {\mathrm{d}}^{n}ka(𝐤){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(𝐤𝐱-|𝐤|ct)}$

Itt nem látszik, hogyan függ a kezdeti értéktől a megoldás.

Három dimenzióban a megoldás előáll a kezdeti értékek középértékeként. Legyen $u(t,𝐱)$ a függvény, φ és ψ adott függvények

$u(0,𝐱)=\varphi (𝐱),\frac{\partial }{\partial t}u(0,𝐱)=\psi (𝐱).$

Ha most feltesszük, hogy c = 1, akkor a kezdeti értékhez tartozó megoldás megadható a középértékek lineáris kombinációjaként:

$u(t,𝐱)=t{M}_{t,𝐱}[\psi ]+\frac{\partial }{\partial t}(t{M}_{t,𝐱}[\varphi ])$

Itt

$M_{t,𝐱}[\chi ]=\frac{1}{4\pi }\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mathrm{d}\cos \vartheta \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{d}\phi \chi (𝐱+t𝐧(\vartheta ,\phi ))\text{ahol}𝐧(\vartheta ,\phi )=\left(\begin{array}{c}\sin \vartheta \cos \phi \\ \sin \vartheta \sin \phi \\ \cos \vartheta \end{array}\right)$

a χ függvény középértéke az x középpontú |t| sugarú gömbön. Külön megemlítendő, hogy $M_{0,𝐱}[\chi ]=\chi (𝐱).$

Ahogy ez az előállítás mutatja, a kezdeti érték feladat megoldása folytonosan függ a kezdeti értéktől, és a t időpontban az x-beli érték csak azoktól az y pontokban felvett értékektől függ, amely y-okból a c = 1 sebességgel haladó hullám elérhetett x-be. Magyarul, a hullám c = 1 sebességgel halad, és eleget tesz a Huygens-elvnek.

Alacsonyabb dimenziókban nem teljesül a Huygens-elv, az x-beli érték azoktól az y pontokban felvett értékektől is függhet, amely y-okból a c = 1 sebességnél lassabban haladó hullám elérhetett x-be. Páros dimenziókban hasonlóan nem teljesül a Huygens-elv.

Az inhomogén hullámegyenlet megoldása három dimenzióban:

$u(t,𝐱)=t{M}_{t,𝐱}[\psi ]+\frac{\partial }{\partial t}(t{M}_{t,𝐱}[\varphi ])+\frac{1}{4\pi }\underset{|𝐳|\le |t|}{\int }{\mathrm{d}}^{3}z\frac{v(t-\text{sgn}(t)|𝐳|,𝐱+𝐳)}{|𝐳|}$

Az inhomogenitás és a kezdeti érték hatása a hullám sebességével terjed.

Peremérték-feladatok

Egy térdimenzióban

Egy x = 0 és x = L között kifeszített hajlékony húr eleget tesz a hullámegyenletnek minden t > 0 és 0 < x < L-re. Az u különböző peremfeltételek adhatók:

$-u_x(t,0)+au(t,0)=0,$

$u_x(t,L)+bu(t,L)=0,$

ahol a és b nem negatív. Ha azt akarjuk, hogy a határpontokban u nulla legyen, akkor a-nak és b-nek a végtelenbe kell tartania.

A változók szétválasztásával

$u(t,x)=T(t)v(x).$

Következik, hogy

$\frac{T^{″}}{c^{2}T}=\frac{v^{″}}{v}=-\lambda .$

A λ sajátérték a

$v^{″}+\lambda v=0,$

$-v^{\prime }(0)+av(0)=0,v^{\prime }(L)+bv(L)=0.$

rendszer nem triviális megoldása, ami az általánosabb Sturm–Liouville-tétel speciális esete. Ha a és b is pozitív, akkor az összes sajátérték pozitív lesz, és megoldásként trigonometrikus függvények adódnak. Az u-ra és u_t-re adott négyzetesen integrálható kezdeti feltételekre adott megoldás ezek szerint a függvények szerint trigonometrikus sorba fejthető.

Magasabb dimenzióban

Az egydimenziós feltételek elmélete magasabb dimenzióba is kiterjeszthető. Tekintsük a D tartományt az m dimenziós X térben, és jelöljük a határát B-vel. Ekkor a változókra a következőknek kell teljesülniük: x D-beli, és $t>0$. D határán az u megoldásra kikötjük, hogy

$\frac{\partial u}{\partial n}+au=0,$

ahol n a B-ről kifelé mutató normális egységvektor, és a a B-n definiált nem negatív függvény. Ha u-nak nullának kell lennie a határon, akkor a-nak a végtelenbe kell tartania.

A kezdeti feltételek:

$u(0,x)=f(x),u_t=g(x),$

ahol f és g a D-n értelmezett függvények. A feladat megoldható f és g sajátfüggvények szerinti sorfejtésével.

Ezek a sajátfüggvények eleget tesznek ezeknek az egyenleteknek:

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }v+\lambda v=0,$

D-ben, és

$\frac{\partial v}{\partial n}+av=0,$

B-n.

Ha D körlap, akkor a sajátfüggvények előállnak, mint egy csak a θ szögtől függő szögfüggvény, és egy, csak a középponttól való távolságtól függő Bessel-függvény szorzata. Három dimenzióban, ha a határ gömbfelület, akkor a két tényező közül az egyik egy harmonikus gömbfüggvény, a másik egy félegész Bessel-függvény.

Egydimenziós inhomogén hullámegyenlet

Egy dimenzióban az inhomogén hullámegyenlet általános alakja:

$c^2{u}_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)=s(x,t)$

ahol a kezdeti és a peremfeltételek:

$u(x,0)=f(x)$

$u_t(x,0)=g(x)$

Az $s(x,t)$ függvényt forrásfüggvénynek is nevezik, mivel a forrás tulajdonságainak hatását írja le.

Az egyik módszer kihasználja, hogy a hullám véges sebességgel terjed, ami azt jelenti, hogy a $(x_i,t_i)$ pontban felvett érték csak $f(x_i+c{t}_i)$ és $f(x_i-c{t}_i)$ értékétől függ, és $g(x)$ értéke $(x_i-c{t}_i)$ és $(x_i+c{t}_i)$ közé esik. Ez a d’Alembert-formulában is látható:

$u(x,t)=\frac{1}{2}[g(x-ct)+g(x+ct)]+\frac{1}{2c}\underset{x-ct}{\overset{x+ct}{\int }}h(\xi )d\xi$

Fizikai szempontból tekintve: ha a maximális terjedési sebesség $c$, akkor nincs a hullámnak olyan része, ami adott idő alatt eljutva egy pontba ne hatna az ottani amplitúdóra. Ez azt jelenti, hogy a megoldásban csak a terjedési kúpban levő pontokat kell tekintetbe venni. Jelölje a $(x_i,t_i)$ pontra ható pontok halmazát $R_C$. Az inhomogén hullámegyenletet $R_C$-n integrálva:

$\underset{R_C}{\iint }(c^2{u}_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t))dxdt=\underset{R_C}{\iint }s(x,t)dxdt.$

Green-tétellel:

$\underset{L_0+L_1+L_2}{\int }(-c^2{u}_x(x,t)dt-u_t(x,t)dx)=\underset{R_C}{\iint }s(x,t)dxdt.$

A bal oldal három könnyen számítható integrál összege:

$\underset{x_i-c{t}_i}{\overset{x_i+c{t}_i}{\int }}-u_t(x,0)dx=-\underset{x_i-c{t}_i}{\overset{x_i+c{t}_i}{\int }}g(x)dx.$

Az idő szerinti integrál eltűnik, mert az időtartam nulla, ezért $dt=0$.

Érdemes megjegyezni, hogy $x\pm ct$ konstans, megegyezik $x_i\pm c{t}_i$-vel, jól megválasztott előjellel. Ezt felhasználva $dx\pm cdt=0$, ahol újra megfelelően választva az előjelet:

$\underset{L_1}{\int }(-c^2{u}_x(x,t)dt-u_t(x,t)dx)$

$=\underset{L_1}{\int }(c{u}_x(x,t)dx+c{u}_t(x,t)dt)$

$=c\underset{L_1}{\int }du(x,t)=cu(x_i,t_i)-cf(x_i+c{t}_i).$

Ugyanígy az utolsó határszegmensre:

$\underset{L_2}{\int }(-c^2{u}_x(x,t)dt-u_t(x,t)dx)$

$=-\underset{L_2}{\int }(c{u}_x(x,t)dx+c{u}_t(x,t)dt)$

$=-c\underset{L_2}{\int }du(x,t)=-(cf(x_i-c{t}_i)-cu(x_i,t_i))$

$=cu(x_i,t_i)-cf(x_i-c{t}_i).$

Összeadva és visszahelyettesítve:

$-\underset{x_i-c{t}_i}{\overset{x_i+c{t}_i}{\int }}g(x)dx+cu(x_i,t_i)-cf(x_i+c{t}_i)+cu(x_i,t_i)-cf(x_i-c{t}_i)=\underset{R_C}{\iint }s(x,t)dxdt$

$2cu(x_i,t_i)-\underset{x_i-c{t}_i}{\overset{x_i+c{t}_i}{\int }}g(x)dx-cf(x_i+c{t}_i)-cf(x_i-c{t}_i)=\underset{R_C}{\iint }s(x,t)dxdt$

$2cu(x_i,t_i)=\underset{x_i-c{t}_i}{\overset{x_i+c{t}_i}{\int }}g(x)dx+cf(x_i+c{t}_i)+cf(x_i-c{t}_i)+\underset{R_C}{\iint }s(x,t)dxdt$

$u(x_i,t_i)=\frac{f(x_i+c{t}_i)+f(x_i-c{t}_i)}{2}+\frac{1}{2c}\underset{x_i-c{t}_i}{\overset{x_i+c{t}_i}{\int }}g(x)dx+\frac{1}{2c}\underset{0}{\overset{t_i}{\int }}\underset{x_i-c(t_i-t)}{\overset{x_i+c(t_i-t)}{\int }}s(x,t)dxdt.$

Már csak a határokat kell explicitté tenni, és már látszik is, hogy az első két kifejezés kiadja a d'Alambert-formulát, a harmadik tag pedig csak az inhomogén tagtól függ minden $(x_i,t_i)$-re.

Más koordináta-rendszerekben

Az elliptikus koordináta-rendszerben felírt háromdimenziós hullámegyenlet a változók szétválasztásával visszavezethető a Mathieu-differenciálegyenletre.

Hullámegyenlet a kvantummechanikában

Nemrelativisztikus kvantummechanika

Sablon:Bővebben A Schrödinger-egyenlet írja le a részecskék hullámszerű viselkedését a nemrelativisztikus kvantummechanikában. A klasszikus hullámegyenlethez képest lényeges eltérés, hogy az időnek itt csak az első deriváltja szerepel. Az egyenlet megoldásai hullámfüggvények, amelyek a részecske valószínűségi amplitúdóját írják le. A kvantummechanika leírja más hullámok – mint például a hang – részecsketulajdonságait is atomi szinten és az alatt.

Relativisztikus kvantummechanika

Sablon:Bővebben A Dirac-egyenlet írja le a részecskék állapotát relativisztikus esetben. A fény részecsketermészetét, a fotonokat csak a relativisztikus kvantummechanika tudja leírni.

Források

• L. Simon, E.A. Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, 1983, Sablon:ISBN.
• Richard Courant–David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Band 2, Springer Verlag, zweite Auflage 1968.
• M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
• M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
• "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", Project PHYSNET.
• Ariel Lipson, Stephen G. Lipson, Henry Lipson, Optical Physics 4th Edition, "Cambridge University Press", Sablon:ISBN

További információk

• Sablon:CitWeb
• A. N. Tyihonov, A.A. Szamarszkij.: A matematikai fizika differenciálegyenletei, Akadémiai kiadó, 1956.
• Freud Géza: Műszaki Matermatikai Gyakorlatok, Parciális Differenciálegyenletek Tankönyvkiadó, 1958.
• V.Sz. Valgyimirov,: Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki könyvkiadó, 1979.