Dirac-egyenlet

A fizikában a Dirac-egyenlet a relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, amit Paul Dirac brit fizikus 1928-ban alkotott meg. Az egyenlet az ½ spinű részecskék (mint az elektron) helyes, relativisztikus (a speciális relativitáselmélettel konzisztens) kvantummechanikai mozgásegyenlete. A Dirac-egyenlet mindenféle bővítés nélkül (mint például a Pauli–Schrödinger-egyenlet) magába foglalja a spint, továbbá jóslatot tesz az antirészecskék létezésére. Dirac az elektron antirészecske-párjának, a pozitronnak a kísérleti kimutatásakor, 1933-ban kapott Nobel-díjat.

Matematikai forma

Dirac eredetileg a következő formában adta meg az egyenletet:

$(\beta m{c}^2+\sum _{k=1}^3{\alpha }_k{p}_{k}c)\psi (𝐱,t)=i\hslash \frac{\partial \psi (𝐱,t)}{\partial t}$

ahol:

m a részecske nyugalmi tömege

c a fénysebesség,

p az impulzus operátora,

$\hslash$ a redukált Planck-állandó,

x és t a tér- és időkoordináták.

Az egyenletben megjelenő további tagok a 4x4-es ${\alpha }_k$ és $\beta$ mátrixok, és $\psi$ a Dirac-spinor (négykomponensű hullámfüggvény). A mátrixok mind hermitikusak (ami mátrixok esetén ugyanaz, minthogy önadjungáltak, továbbá antikommutálnak egymással:

${\alpha }_i{\alpha }_j=-{\alpha }_j{\alpha }_i,$

${\alpha }_i\beta =-\beta {\alpha }_i$

ahol i és j különböző indexek 1-től 3-ig.

Kovariáns alak

A szabad Dirac-egyenlet kovariáns alakja

$i\hslash {\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi -mc\psi =0,$

ahol a kétszer szereplő indexekre (Sablon:Math) összegzünk, ${\partial }_{\mu }=(\frac{1}{c}{\partial }_{\mu },\mathrm{\nabla })$ a négyesgradiens és ${\gamma }_{\mu }$ gamma mátrixok vagy Dirac mátrixok. A gamma mátrixok teljesítik a

$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}={\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }$

antikommutációs relációt, ahol ${\eta }^{\mu \nu }$ a Minkowski-metrika és a ${\gamma }_{\mu }$ mátrixok Clifford-algebrát alkotnak (Dirac-algebra). A ${\gamma }_{\mu }$ operátorokat $4\times 4$ mátrixokkal reprezentáljuk. Explicit alakjuk standard ábrázolásban (Dirac ábrázolás)

$\begin{array}{cccc}{\gamma }^0& =\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)& {\gamma }^1& =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ {\gamma }^2& =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& i& 0& 0\\ -i& 0& 0& 0\end{array}\right)& {\gamma }^3& =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right),\end{array}$

melyek a Pauli-mátrixok és a 2×2 egységmátrix $I_2$ segítségével a következő alakban írhatók bevezetve a ${\gamma }^5:=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$ mátrixot

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& -I_2\end{array}\right),{\gamma }^k=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^k\\ -{\sigma }^k& 0\end{array}\right),{\gamma }^5=\left(\begin{array}{cc}0& I_2\\ I_2& 0\end{array}\right).$

Valószínűségi áram megmaradása

Bevezetve a konjugált spinort

$\overline{\psi }={\psi }^{†}{\gamma }^0$,

ahol Sablon:Math a hullámfüggvény adjungáltja, valamint felhasználva, hogy

$({\gamma }^{\mu }{)}^{†}{\gamma }^0={\gamma }^0{\gamma }^{\mu }$,

a Dirac-egyenlet konjugálásával valamint jobbról ${\gamma }_0$-lal való beszorzásával előáll a konjugált Dirac-egyenlet

$\overline{\psi }(-i{\gamma }^{\mu }\overleftarrow{{\partial }_{\mu }}-m)=0$.

A Dirac-egyenletet balról $\overline{\psi }$-sal, a konjugált Dirac-egyenletet jobbról $\psi$-vel beszorozva, majd a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy

${\partial }_{\mu }\left(\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi \right)=0,$

amely a valószínűségi áramsűrűség megmaradását fejezi ki. A valószínűségi áramsűrűség

$j_{\mu }=c\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$,

melynek nulladik komponense a valószínűségi sűrűség

$j^0=\overline{\psi }{\gamma }^0\psi ={\psi }^{†}\psi .$

További információk

• Sablon:CitWeb