Fourier-transzformáció

A Fourier-transzformáció függvényen elvégzett integráltranszformáció.

A Joseph Fourier által bevezetett, és ezért róla elnevezett Fourier-transzformáció a jelfeldolgozás hasznos eszköze. Alkalmazásával a vizsgált hullám különböző tulajdonságainak elemzésére van lehetőség, ezért rendkívül sok területen alkalmazzák. Többek között a tudományos kutatásokban, a fizikában az időtérbeli hullámok frekvenciaanalízisében, a spektroszkópiákban, a mérnöki alkalmazásokban az irányítás-, szabályozástechnikában.

A digitális jelfeldolgozás gyakran alkalmazott módszere a diszkrét Fourier-transzformáció (DFT). A gyakorlatban a sok lépést igénylő számítási feladatokban a gyors Fourier-transzformációt (Fast Fourier Transform, FFT) alkalmazzák.

Egy függvény Fourier-transzformáltjára vonatkozóan az alkalmazási területnek megfelelően a szakirodalomban többféle jelöléssel lehet találkozni, mint például:

$\tilde{f}(\xi ),\tilde{f}(\omega ),F(\xi ),ℱ\left(f\right)(\xi ),\left(ℱf\right)(\xi ),ℱ(f),ℱ(\omega ),F(\omega ),ℱ(j\omega ),ℱ\{f\},ℱ(f(t)),ℱ\{f(t)\}$

Bár a jelölésrendszer különbözik, a transzformáció jelentése a különböző szakterületeken azonos.

Fourier-sorok

A periodikus függvények Fourier-sorba fejthetők:

$f(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}^{-2\pi i{\nu }_{0}k}$

ahol ${\nu }_0$ az alapfrekvencia, a periódus reciproka.

• A differenciálható függvények Fourier-sora pontonként konvergens, ami nem igaz minden integrálható függvényre (Kolmogorov konstrukciója).
• Sőt, van folytonos függvény, aminek Fourier-sora periódusonként egy pontban divergál (Reiman).
• A Dirichlet-Jordan konvergenciatétel szerint az $f(x)$ korlátos változású függvény Fourier-sora minden $x$ pontban $f(x)$-beli jobb és bal oldali határértékének számtani közepéhez tart.
• A négyzetesen integrálható függvények Fourier-sora normában konvergens. Ez a Riesz-Fischer-tétel közvetlen következménye.

Folytonos függvény Fourier-transzformáltja

A Fourier-transzformációt a periodikus függvényekre értelmezhető Fourier-sorok alapján, annak nem periodikus függvényekre érvényes általánosításával lehet bevezetni. Egy integrálható $f(x)$ függvény Fourier transzformáltja a következő:

$\hat{f}(\xi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx$

Tulajdonságai

• A Fourier-transzformáció korlátos lineáris operátor.
• Unitér

Vezessük be a következő műveleteket:

$({\tau }_{h}f)(x)=f(x+h)$ transzláció

$({\nu }_{h}f)(x)=hf(x)$ moduláció

$({\delta }_{h}f)(x)=f(hx)$ dilatáció

Ezek a műveletek a következő kapcsolatban vannak a Fourier-transzformációval:

$F{\tau }_{h}f(x)={\nu }_{h}Ff(x)$

$F{\nu }_{h}f(x)={\tau }_{-h}Ff(x)$

$F{\delta }_{h}f(x)=\frac{1}{h}{\delta }_{\frac{1}{h}}Ff(x)$

Jelölje $*$ a konvolúciót. Ekkor

$F(f*g)=Ff\cdot Fg$

Legyen $Mf=2\pi itf(t)$ és jelölje $f$ deriváltját $Df$. Ha $f$ és $Mf$ is integrálható, akkor $Ff$ mindenütt differenciálható, és

$DFf=-FMf$

$FDf=MFf$

A Fourier-transzformáció invertálható:

${\mathrm{F}}^{-1}f=\underset{I}{\int }f(t)e^{2\pi ixt}dt$

Példák

• Háromszögjel:

A háromszögjel különböző közelítései

A háromszögjel fázisszögtől függően szinuszos vagy koszinuszos kifejezésekkel közelíthető. A képletekben $h$ jelöli az amplitúdót:

$\begin{array}{cc}f(t)=& -\frac{8h}{{\pi }^2}\left[\cos \omega t+\frac{1}{3^2}\cos 3\omega t+\frac{1}{5^2}\cos 5\omega t+\cdots \right]\\ =& -\frac{8h}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos ((2k-1)\omega t)}{(2k-1{)}^2}\end{array}$

$\begin{array}{cc}f(t)=& \frac{8h}{{\pi }^2}\left[\sin \omega t-\frac{1}{3^2}\sin 3\omega t+\frac{1}{5^2}\sin 5\omega t\mp \cdots \right]\\ =& \frac{8h}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{\sin ((2k-1)\omega t)}{(2k-1{)}^2}\end{array}$

• Négyszögjel:

A négyszögjel különböző közelítései

Hasonlóan a négyszögjel:

$\begin{array}{cc}f(t)=& \frac{4h}{\pi }\left[\sin \omega t+\frac{1}{3}\sin 3\omega t+\frac{1}{5}\sin 5\omega t+\cdots \right]\\ =& \frac{4h}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin ((2k-1)\omega t)}{2k-1}\end{array}$

$\begin{array}{cc}f(t)=& \frac{4h}{\pi }\left[\cos \omega t-\frac{1}{3}\cos 3\omega t+\frac{1}{5}\cos 5\omega t\mp \dots \right]\\ =& \frac{4h}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{\cos ((2k-1)\omega t)}{2k-1}\end{array}$

• Fűrészfogjel: (növekvő)

A fűrészfogjel különböző közelítései

Ugyanígy közelíthetők szinuszos kifejezésekkel a pontra szimmetrikus függvények. Itt a váltakozó előjelek fáziseltolódást eredményeznek:

$\begin{array}{cc}f(t)=& -\frac{2h}{\pi }\left[\sin \omega t-\frac{1}{2}\sin 2\omega t+\frac{1}{3}\sin 3\omega t\mp \cdots \right]\\ =& -\frac{2h}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{\sin k\omega t}{k}\end{array}$

• Szinuszjel:

A szinuszjel abszolút értékének különböző közelítései

$\begin{array}{cc}f(t)=& h|\sin \omega t|\\ =& \frac{4h}{\pi }[\frac{1}{2}-\frac{\cos 2\omega t}{3}-\frac{\cos 4\omega t}{15}-\frac{\cos 6\omega t}{35}-\cdots ]\\ =& \frac{2h}{\pi }-\frac{4h}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos 2k\omega t}{(2k{)}^2-1}\end{array}$

Diszkrét Fourier-transzformáció

A Fourier-transzformációnak diszkrét változata is van:

$\mathrm{F}f=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(n)e^{-2\pi ixn}$

Sokszor ezt használják a gyakorlatban, mert csak véges sok mintavételezés lehetséges. A függvény értelmezési tartományáról felteszik, hogy diszkrét és véges. Nem tévesztendő össze a Fourier-sorral.

Gyors Fourier-transzformáció

A gyors Fourier-transzformáció (FFT = Fast Fourier Transform) a diszkrét Fourier-transzformált kiszámítására szolgál. Ehhez $N=2^n$ egyenközű mintavétel szükséges, ahol $n\ge 6$. Műveletigénye $N\log N$. A mintavételezés frekvenciáját úgy kell választani, hogy legalább kétszer akkora legyen, mint a maximális feldolgozandó frekvencia, különben torz kép jön létre. Több perióduson át kell mintavételezni úgy, hogy a mintavételezés máshova essen az egyes periódusokban. Például, ha a jel frekvenciája 1 kHz, akkor jobb 2100 Hz-cel mintavételezni, mint 2000-rel, és még jobb mondjuk 4100 Hz-cel, vagy még ennél is nagyobb frekvenciával.

A sor:

$y(\omega )=\frac{T}{\sqrt{2\pi }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_n{e}^{-i\omega t_n}$

ahol

$x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\pi F}{\overset{\pi F}{\int }}{y}_n{e}^{i\omega t_n}d\omega$

Algoritmus

A gyors Fourier-transzformáció rekurzív algoritmus, ami a divide et impera elvén működik.

Legelőször is idézzük fel, hogy a $2n$ pontú diszkrét Fourier-transzformáció a következőképpen definiálható:

$f_j=\sum _{k=0}^{2n-1}{x}_k{e}^{-\frac{2\pi i}{2n}jk}j=0,\dots ,2n-1.$

Legyenek a páros indexű együtthatók

$x{\text{'}}_0=x_0,x{\text{'}}_1=x_2,...,x{\text{'}}_{n-1}=x_{2n-2}$

és ezek diszkrét Fourier-transzformáltja

$f{\text{'}}_0,...,f{\text{'}}_{n-1}$;

hasonlóan, jelölje a páratlan indexű együtthatókat

$x^{\prime }{\text{'}}_0=x_1,x^{\prime }{\text{'}}_1=x_3,...,x^{\prime }{\text{'}}_{n-1}=x_{2n-1}$

és legyen ezek diszkrét Fourier-transzformáltja

$f^{\prime }{\text{'}}_0,...,f^{\prime }{\text{'}}_{n-1}$.

Ekkor:

$\begin{array}{ccc}{f}_j& =& \sum _{k=0}^{n-1}{x}_{2k}{e}^{-\frac{2\pi i}{2n}j(2k)}+\sum _{k=0}^{n-1}{x}_{2k+1}{e}^{-\frac{2\pi i}{2n}j(2k+1)}\\ \\ & =& \sum _{k=0}^{n-1}x{\text{'}}_k{e}^{-\frac{2\pi i}{n}jk}+e^{-\frac{\pi i}{n}j}\sum _{k=0}^{n-1}{x}^{\prime }{\text{'}}_k{e}^{-\frac{2\pi i}{n}jk}\\ \\ & =& \{\begin{array}{cc}f{\text{'}}_j+e^{-\frac{\pi i}{n}j}{f}^{\prime }{\text{'}}_j& \text{ha }j<n\\ \\ f{\text{'}}_{j-n}-e^{-\frac{\pi i}{n}(j-n)}{f}^{\prime }{\text{'}}_{j-n}& \text{ha }j\ge n\end{array}\end{array}$

Pszeudokód

Az algoritmus pszeudokódja:

$\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{fft}(n,\overrightarrow{f}):$

$\mathrm{i}\mathrm{f}(n=1)$

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{n}\overrightarrow{f}$

$\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{e}$

$\overrightarrow{g}=\mathrm{fft}(\frac{n}{2},(f_0,f_2,\dots ,f_{n-2}))$

$\overrightarrow{u}=\mathrm{fft}(\frac{n}{2},(f_1,f_3,\dots ,f_{n-1}))$

$\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}k=0\mathrm{t}\mathrm{o}\frac{n}{2}-1$

$\begin{array}{c}{c}_k=g_k+u_k\cdot e^{-2\pi ik/n}\\ c_{k+n/2}=g_k-u_k\cdot e^{-2\pi ik/n}\end{array}$

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{n}\overrightarrow{c}$

Alkalmazások

A Fourier-transzformációknak és a Fourier-soroknak számos alkalmazásuk van:

• a valószínűségszámítás, statisztika elméletében
• a(z elektromágneses) jelfeldolgozásban
• a hang- és videotechnikában
• a rezgésanalízisben
• analóg áramkörök leírásában
• spektrométerekben
• differenciálegyenletek megoldásában
• távközlési rendszerekben
• az interferometrikus távcsövek (pl. ALMA) jelfeldolgozásában

Források

• S. Bochner, K. Chandrasekharan: Fourier Transforms. Princeton Book Comp. Publ., 2001, Sablon:ISBN.
• O. Föllinger, M. Kluwe: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. Hüthig, 2003, Sablon:ISBN.
• B. Lenze: Einführung in die Fourier-Analysis. Logos Verlag, Berlin 2000, Sablon:ISBN.
• M. J. Lighthill: Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press, Cambridge 2003, Sablon:ISBN.
• A. Papoulis: The Fourier Integral and Its Applications. McGraw-Hill, New York 1962, Sablon:ISBN.
• E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press, Princeton 2003, Sablon:ISBN.
• James W. Cooley, John W. Tukey: An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. In: Math. Comput. 19, 1965, S. 297–301.
• C. M. Rader: Discrete Fourier transforms when the number of data samples is prime. In: Proc. IEEE 56, 1107–1108 (1968).
• Leo I. Bluestein: A linear filtering approach to the computation of the discrete Fourier transform. In: Northeast Electronics Research and Engineering Meeting Record 10, 1968, S. 218-219.
• Georg Bruun: z-Transform DFT filters and FFTs. In: IEEE Trans. on Acoustics, Speech and Signal Processing (ASSP) 26, Nr. 1, 1978, S. 56-63.
• M. T. Heideman, D. H. Johnson, C. S. Burrus : Gauss and the History of the Fast Fourier Transform. In: Arch. Hist. Sc. 34, Nr. 3, 1985.
• Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1999, Sablon:ISBN.
• E. Oran Brigham: FFT. Schnelle Fourier-Transformation. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1995, Sablon:ISBN.
• Kuczmann Miklós: Jelek és rendszerek
• Simon Péter: Fourier-transzformáció
• Periódusanalízis
• A Fourier-transzformáció, társai és alkalmazásaikSablon:Halott link
• Fourier-transzformációs IR készülékek
• Diszkrét rendszerek és jelek Fourier-analízise Sablon:Wayback
• A Fourier-transzformáció rövid elmélete és gyakorlati alkalmazása
• Fourier-sorok, Fourier-transzformáció, egységimpulzus
• FFT Python

Kapcsolódó szócikkek

• Fourier-sor
• Fourier-analízis
• Fourier-optika
• Fourier-transzformációs infravörös spektroszkópia