Számtani közép

Sablon:Redir Sablon:Korrektúrázandó Számtani vagy aritmetikai középértéken $n$ darab szám átlagát, azaz a számok összegének $n$-ed részét értjük. A számtani közepet általában $A$ betűvel jelöljük:

$A(a_1;...;a_n)=\frac{a_1+...+a_n}{n}$.

A kiindulási értékeket összeadjuk, majd az összeget elosztjuk az összeadott számok darabszámával. A hétköznapi életben ezt egyszerűen „átlagnak” hívjuk. A matematikában a számtani közép elnevezés a mértani és a harmonikus középtől való megkülönböztetést szolgálja. Ezt a hármat pithagoraszi középnek is nevezik.

Ideálisan normális eloszlású, vagy akár csak szimmetrikus eloszlású adatok esetén a számtani közép értéke egybeesik a medián és a módusz értékével. Ha az eloszlás ferde, akkor a számtani közép nem esik egybe a mediánnal és a módusszal, tehát nem ez a leggyakoribb érték, és nem is a középső érték.

A könnyű számíthatósága és értelmezhetősége okán számos területen használják, például statisztikában, történelemben, szociológiában és pénzügyekben. Annak ellenére, hogy statisztikailag nem megfelelően jellemzi a sokaságot, az egy főre jutó jövedelmet számtani középpel számítják. Ennek oka, hogy habár közép felé húz, a számtani közép nem robusztus statisztika, mivel erősen hatnak rá a kilógó adatok, például a kevés magas jövedelem felhúzza a számtani közepet. Ezek hatása csökkenthető a kiugró értékek kiszűrésével, mint például a Dixon teszt vagy a Grubbs teszt, vagy más az eloszlásnak megfelelő statisztikát és középérték-számítást kell választani.

Egy téves használat szerint, ha x és y számok, akkor bármely számtani sorozat, aminek tagjai a kettő közé esnek, nevezhető x és y számtani közepének.

Értelmezés

Az a és a b számok számtani közepe akkor és csak akkor m, ha $m-a=b-m$.

Legyenek $X_1,\dots ,X_n$ független azonos eloszlású valószínűségi változók $\mu$ várható értékkel és $\sigma$ szórással, ekkor az $m=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ középérték szintén $\mu$ körül ingadozik, és szórása kisebb, mint $\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}$. Ha tehát egy valószínűségi változó várható értéke és szórása is véges, akkor a Csebisev-egyenlőtlenség miatt a mintaközép a minta elemszámának növelésével sztochasztikusan konvergál a valószínűségi változó várható értékéhez. Tehát a számtani közép alkalmas a várható érték becslésére, viszont érzékeny a nem tipikus adatokra (lásd: medián).

A számtani középre vonatkozó alaptétel

Tétel: Ha $a,b,c$ valós számok, és $b=A(a;c)$, vagyis $b$ az $a$ és $c$ számok számtani közepe, akkor $b-a=c-b=\frac{c-a}{2}$. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy $b$ az $a$ és a $c$ számoktól egyenlő távolságra (vagyis „középen”) helyezkedik el a számegyenesen. Valóban, hiszen ha $b=\frac{a+c}{2}$, akkor $b-a=\frac{a+c}{2}-a=\frac{a+c-2a}{2}=\frac{c-a}{2}$ és $c-b=c-\frac{(a+c)}{2}=\frac{2c-a-c}{2}=\frac{c-a}{2}$.

Adott

$a_1,\dots ,a_n\in ℝ$

valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:

$\underset{i}{\min }(a_i)\le A(a_1,a_2,\dots ,a_n)\le \underset{i}{\max }(a_i)$

Algebrai tulajdonságok

Ha a tetszőleges $a_1,\dots ,a_n\in ℝ$ számsorozatot tetszőlegesen hosszan bővítjük e számok számtani közepével, akkor az így kibővített sorozat tagjainak számtani középértéke megegyezik az eredeti számtani középpel:

$A(a_1;\dots ;a_n;A_n;\dots ;A_n)=A_n$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség:

$\mathrm{A}(a,b)\ge \mathrm{G}(a,b)$

Mivel középre húz, alkalmas a centrális tendencia mérésére. Ezek közé tartozik, hogy:

• Ha az $x_1,\dots ,x_n$ számok számtani közepe $\overline{x}$, akkor $(x_1-\overline{x})+\cdots +(x_n-\overline{x})=0$. Ezt azzal szemléltetik, hogy a számtani középtől balra és jobbra levő számok ellensúlyozzák egymást. A számtani közepet egyértelműen meghatározza ez a tulajdonsága, tehát nincs más ilyen tulajdonságú szám.
• Ha az $x_1,\dots ,x_n$ számokat egyetlen paraméterrel kell jellemezni, akkor erre a számtani közép a legalkalmasabb, mivel minimalizálja a négyzetes eltéréseket a paramétertől. Ezt a minta négyzetes hibájának, vagy torzított tapasztalati szórásnégyzetnek nevezik. A számtani közép (ilyen kontextusban tapasztalati várható érték) torzítatlanul közelíti a minta várható értékét.

Szembeállítás a mediánnal

A számtani közép szembeállítható a mediánnal. A medián definíció szerint a minta középső eleme, tehát az elemek fele kisebb, fele nagyobb nála. Páros elemszám esetén a medián a két középső elem számtani közepe. A számtani közép és a medián akkor esik egybe, ha a rendezett sorozat számtani. Például, ha a rendezett sorozat $1,2,3,4$ akkor a számtani közép és a medián is 2,5. Ha például $1,2,4,8,16$, akkor a számtani közép 6,2, de a medián 4. A számtani közép lehet sokkal nagyobb, vagy kisebb is, mint a sorozat legtöbb eleme.

A medián és a számtani közép együttes használata elterjedt. Statisztikai elemzések szerint az 1980-as évektől az Amerikai Egyesült Államokban a jövedelem számtani közepe gyorsabban nőtt, mint a mediánja.

Számtani sorozatok

Számtani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának számtani közepe. Általában $a_n$ tag az $a_{n-k}$ és $a_{n+k}$ tagok számtani közepe, ha $n>k$ pozitív egészek. Ennek megfordítása is igaz (ha egy sorozatban bármely két tag a szomszédos tagok számtani közepe, akkor az egy számtani sorozat), mégpedig egyszerű következménye a számtani középre vonatkozó alaptételnek.

Súlyozott számtani közép

A számtani középnek súlyozott változata is értelmezhető. Alkalmazzák például a keverési feladatokban, a valószínűségszámításban és a statisztikában.

A súlyozott számtani közép számítása:

$\overline{x}=\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot x_i}{\sum _{i=1}^n{w}_i}$.

ahol az $x_i$ számok rendre a $w_i$ súlyokkal szerepelnek.

A keverési feladatokban $x_i$ jelöli a koncentrációt vagy a hőmérsékletet, és $w_i$ a térfogatot, vagy a tömeget.

A statisztikai alkalmazásokban az $x_i$ adatpontokhoz tartozó $w_i$ súlyok azt mutatják, hogy az adott adatpont hányszor jelenik meg a mintában.

Több minta összetevésekor az egyes minták középértékeit a megfelelő minták elemszámával súlyozzák.

A valószínűségszámításban, ha az ${𝐗}_i$ valószínűségi vektorváltozók közös várható értéke ${\mathit{\mu }}_i$, de szórásuk rendre ${\sigma }_i$, akkor a súlyozott középérték ${\mathit{\mu }}_i$ körül ingadozik, és szórásnégyzete

${\sigma }_{\overline{x}}^2=\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i^2{\sigma }_i^2}{{\left(\sum _{i=1}^n{w}_i\right)}^2}$.

Ha most $w_i=\frac{1}{{\sigma }_i^2}$, akkor

${\sigma }_{\overline{x}}^2=\frac{\sum _{i=1}^n\frac{1}{{\sigma }_i^4}{\sigma }_i^2}{{\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{{\sigma }_i^2}\right)}^2}=\frac{\sum _{i=1}^n\frac{1}{{\sigma }_i^2}}{{\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{{\sigma }_i^2}\right)}^2}=\frac{1}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{{\sigma }_i^2}}$.

A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség alapján

$\left(\sum _{i=1}^n{w}_i^2{\sigma }_i^2\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{{\sigma }_i^2}\right)\ge {\left(\sum _{i=1}^n{w}_i\right)}^2$.

A $w_i=\frac{1}{{\sigma }_i^2}$ választás minimalizálja a középérték szórását. A súlyok választása mutatja, hogy melyik adatnak mekkora fontosságot tulajdonítunk.

Alkalmazás

A számtani közepet additív – magyarul összeadható – mennyiségek átlagolására használjuk (például magasságok átlaga, testsúlyok átlaga stb.).

Függvény középértéke

A Riemann-integrálható függvények középértéke a számtani közép általánosításaként fogható fel.

Az $f:[a,b]\to ℝ$ Riemann-integrálható függvény középértéke

$\overline{f}:=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

Ha most egyenlő osztásközöket veszünk, ahol $\{x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n\}$ osztópontok, és a két szomszédos osztópont közötti távolság $h=\frac{b-a}{n}$, akkor az

$m_n(f):=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots +f(x_n)}{n}=\frac{1}{b-a}\sum _{k=1}^{n}f(x_k)h$

számtani közép tart az $\overline{f}$ középértékhez.

Ha f folytonos, akkor az integrálszámítás középértéktétele szerint létezik $\xi \in [a,b]$, amire $f(\xi )=\overline{f}$, a függvény legalább egy helyen felveszi középértékét.

A középértéknek is van súlyozott változata, ahol is a $w(x)$ súlyfüggvény pozitív minden $x\in [a,b]$-re. Ekkor a súlyozott középérték

$\overline{f}=\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)w(t)\mathrm{d}t}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}w(t)\mathrm{d}t}$.

Az $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ mértéktérben, ahol $\mu (\mathrm{\Omega })<\mathrm{\infty }$, a Lebesgue-integrálható függvények középértéke

$\overline{f}:=\frac{1}{\mu (\mathrm{\Omega })}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)\mathrm{d}\mu (x)$.

Valószínűségi tér esetén, ahol $\mu (\mathrm{\Omega })=1$, a középérték az

$\overline{f}:=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)\mathrm{d}\mu (x)$

alakra hozható, ami éppen az f(x) várható értéke.

Folytonos valószínűségi eloszlások

Két, különböző ferdeségű lognormális eloszlás középértékeinek középértékeinek (várható érték, medián és módusz) összehasonlítása

Valószínűségi eloszlások esetén annak a valószínűsége, hogy az érték a számegyenes melyik szakaszára esik, különbözhet attól, hogy az érték egy másik, de ugyanolyan hosszú szakaszra esik. Egyenlőség minden szakaszpárra csak geometriai eloszlás esetén áll fenn. A többi esetet eloszlásfüggvénnyel vagy sűrűségfüggvénnyel írják le. A súlyozott átlag megfelelője itt a valószínűségeloszlás várható értéke. A valószínűségeloszlás folytonos, ha eloszlásfüggvénye folytonos. A sűrűségfüggvény létezéséhez az eloszlásfüggvénynek differenciálhatónak kell lennie. Az egyik leggyakrabban használt eloszlásfüggvény a normális eloszlás, ami szimmetrikus a várható értékére, így mediánja és módusza is a várható értéke. Nem szimmetrikus eloszlások esetén ezek különböznek. Egy gyakran használt nem szimmetrikus (ferde) a lognormális eloszlás, amit az ábra is mutat.

Szögek

Szögek és más hasonló mennyiségek, egy modulus szerinti mennyiségek átlagolására alkalmatlan a számtani közép. Az egyik nehézség az, hogy a két mennyiségnek két távolsága van, amelyek közül a kisebbet szokták távolságon érteni, de a számtani közép lehet, hogy a nagyobb távolságot felezi. Például, ha a két mennyiség 1 és 359 fok, akkor a hagyományos számtani közép 180 fokot ad, pedig a 0 vagy 360 foknak geometriai jelentése is lenne. Egy másik probléma az, hogy a modulo mennyiségek értelmezhetők többféleképpen is. Például 1 és 359 fok helyett lehetne 1 és -1 fok, de lehetne 361 és 719 fok is, ami több különböző eredményt ad. Éppen ezért ezekre a mennyiségekre át kell definiálni a számtani közepet, hogy a moduláris távolságot felezze. Az így definiált mennyiség a moduláris számtani közép, vagy moduláris átlag.

Kapcsolat más közepekkel

Legyen $f$ egy $I$ intervallumon értelmezett szigorúan növő folytonos függvény. Legyenek továbbá adva a $w_i,0\le w_i\le 1,\sum _i{w}_i=1$ súlyok. Ekkor az $x_i\in I$ számok $w_i$-vel súlyozott kváziaritmetikai közepe

${\overline{x}}_f=f^{-1}(\sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i))$.

Nyilván

$\min (x_i)\le {\overline{x}}_f\le \max (x_i)$.

Így a különböző f függvényekkel különböző közepek definiálhatók. $f(x)=x$ visszaadja a számtani közepet, $f(x)=\log (x)$ a mértani közepet, és $f(x)=x^k$ a k-adik hatványközepet.

Mindezek a közepek függvényekre is általánosíthatók. Ehhez azt kell még kikötni, hogy az f függvény értelmezési tartománya tartalmazza az u függvény képhalmazát. Ekkor az u függvény középértéke:

${\overline{u}}_f=f^{-1}\left(\frac{\int f(u(t))w(t)\mathrm{d}t}{\int w(t)\mathrm{d}t}\right)$

Kapcsolódó szócikkek

• Kváziaritmetikai közép (általánosítás)
• A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség
• A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség

Források

• A középértékek és a lemniszkáta