Kváziaritmetikai közép

Legyen $I\subseteq ℝ$ intervallum, $a,b\in I$ valós számok, $f:I\to ℝ$ intervallumon értelmezett szigorúan monoton és folytonos függvény. Ekkor az $a$ és $b$ számok $f$-re vonatkozó kváziaritmetikai közepe a következő, $A_f$-fel jelölt szám:

$A_f(a,b):=f^{-1}\left(\frac{f(a)+f(b)}{2}\right)$

Hasonlóan, ha adottak az $x_1,x_2,...,x_n$ ∈ $I$ számok, akkor ezek $f$-re vonatkozó függvényközepe

$A_f(x_1,x_2,...,x_n):=f^{-1}(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(x_i))$

Az $f$ függvényt szokás a közép generátorfüggvényének is nevezni.

A kváziaritmetikai közép a hatványközepek általánosítása, $f(x)=x^p$ esetén visszakapjuk a hatványközepeket.

Megjegyzés: a kváziaritmetikai közép értelmezhető a valós számokon kívül más objektumokra is például vektorokra. Ekkor azt kell feltenni, hogy $f$ értelmezési tartománya ${ℝ}^n$ egy összefüggő részhalmaza.

Nevezik Kolmogorov-középnek is, az orosz Andrej Kolmogorov után.

Tulajdonságok

Jóldefiniáltság

Először azt kell belátnunk, hogy a definícióban szereplő formulák jóldefiniáltak. Ilyen feltételek mellett $f$ két értéke között minden értéket felvesz és szigorúan monoton. Ekkor

$\frac{f(a)+f(b)}{2}$ és $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)$

az $f$ ($a$) és $f$ ($b$) illetve az legkisebb f($x_i$) és legnagyobb f($x_i$) közé esik, így beleesnek a képhalmazba, azaz f ⁻¹ értelmezve van rajtuk.

Összefüggés az absztrakt átlagokkal

Az absztrakt „átlag” fogalmának többféle ismert axiomatikus felépítése létezik. A fent definiált kvázi-aritmetikai közepek teljesítik az „átlag” leggyakrabban megkövetelt tulajdonságait, úgymint:

A következő tulajdonságokat, az ún. középérték-axiómákat:

• Cauchy középérték-axiómája:: $\min (x_1,x_2,...,x_n)$ $\le$ $A_f(x_1,x_2,...,x_n)$ $\le$ $\max (x_1,x_2,...,x_n)$

Hiszen ha $m$-mel jelöljük az $x_i$-k közül a legkisebbet és $M$-mel a legnagyobbat, akkor teljesül $m$ ≦ $x_i$ ≦ $M$. Ha $f$ szig. mon. nő, akkor ebből f(m) ≦ f($x_i$) ≦ f(M) következik és mivel a számtani közép a legkisebb és legnagyobb érték közé esik, ezért ebből és az inverz ugyanilyen irányú szigorú monotonitásából következik az az egyenlőtlenség, amit be kellett látnunk. Ha f szigorú monoton csökken, akkor $m$ ≦ $x_i$ ≦ $M$-ből f(M) ≦ f($x_i$) ≦ f(m) következik, majd ebből szintén az inverz csökkenő tulajdonságából az állítás.

• Szimmetria-axióma: $A_f(x_1,x_2,...,x_n)=A_f(y_1,y_2,...,y_n)$, ha a $x_1,x_2,...,x_n$ elemrendszernek $y_1,y_2,...,y_n$ egy permutációja; vagyis a változók értékeinek cserélgetése a középértéket nem változtatja

Ez a tétel a számtani közép ugyanilyen tulajdonságából következik.

Egyéb tulajdonságok

Ha $m$-mel jelöljük az $x_i$-k közül a legkisebbet, akkor

• $m=A_f(x_1,x_2,...,x_n)$ akkor és csak akkor teljesül, ha x₁ = x₂ = … = x_n.

Ugyanis, ha a számok egyenlők, akkor a közép egyenlő bármelyikükkel (hiszen ekkor $A_f(x,x,...,x)$ $=$$f^{-1}(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(x))$ $=$ $f^{-1}\left(\frac{nf(x)}{n}\right)$ $=$ $f^{-1}(f(x))$ $=$ $x$). Megfordítva, ha a közép a legkisebbik számmal egyenlő, akkor ez az f általi függvényértékekre is igaz; így az $f(x_i)=y_i$ jelöléssel $f(m)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i$, ahol valamely i-re y_i = f(m). f szigorú monotonitása miatt f(m) vagy az f($x_i$) számok közül a legkisebb, vagy a legnagyobb. Eszerint egy számtani közép (az y_i-k átlaga) vagy a legkisebb, vagy a legnagyobb értékkel egyenlő, amiből a számtani közép hasonló tulajdonsága miatt, mint amit itt bizonyítani szeretnénk, következik, hogy a számok egyenlők. Ha az f($x_i$)-k egyenlők, akkor az $x_i$-k is egyenlők, hiszen f a rá vonatkozó feltételekből következően injektív.

Ez m helyett az M maximummal is igaz.

Megjegyzés: a bizonyításhoz felhasználtuk, hogy a számtani közép rendelkezik a bizonyítandó tulajdonsággal. Ennek az iméntitől független bizonyítását ld. a számtani közép c. cikkben.

• Particionálhatóság: A kváziaritmetikai közép számítható blokkonként: :: $M_f(x_1,\dots ,x_{n\cdot k})=M_f(M_f(x_1,\dots ,x_k),M_f(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_f(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))$
• A kváziaritmetikai közép nem változik, ha néhány elemet a kváziaritmetikai közepükkel helyettesítünk a multiplicitás megtartásával. Ha

$m=M_f(x_1,\dots ,x_k)$, akkor

$M_f(x_1,\dots ,x_k,x_{k+1},\dots ,x_n)=M_f(\underset{k\text{ times}}{\underbrace{m,\dots ,m}},x_{k+1},\dots ,x_n)$

• Invariáns az f függvény skálázására és eltolására:

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\forall }b\ne 0((\mathrm{\forall }tg(t)=a+b\cdot f(t))\Rightarrow \mathrm{\forall }x{M}_f(x)=M_g(x)$.

• Mivel f monoton, azért $M_f$ is monoton.
• Kétváltozós esetben teljesülnek a következők:

$M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))$ és

$M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$.

Ezek közül akár egy is egyértelműen jellemzi a kváziaritmetikai közepeket. Lásd Aczél–Dhombres, 17. fejezet.

• Két változó esetén a kváziartitmetikai közép teljesíti a kiegyenlítési tulajdonságot: $M(M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)))=M(x,y)$. Érdekes kérdés, hogy ez a tulajdonság a monotonitással, folytonossággal, fixpont tulajdonsággal és a szimmetriával együtt bizonyítja, hogy kváziaritmetikai középről van szó. Erre Georg Aumann az 1930-as években adott választ: általános esetben eldönthetetlen, de lehetséges, ha analitikus függvényről van szó.
• Reguláris esetben a Centrális határeloszlás-tétel is belátható a kváziaritmetikai közepekre. Ez azt jelenti, hogy $\sqrt{n}\{M_f(X_1,\dots ,X_n)-f^{-1}(E_f(X_1,\dots ,X_n))\}$ approximálja a normális eloszlást.

A Kolmogorov–Nagumo-tétel

A. N. Kolmogorov és Mitio Nagumo 1930-ban, valószínűségeloszlások „átlagértékeit” vizsgálva jutottak a következő axiomatikus definícióra (Kolmogorov–Nagumo–de Finetti-axiómarendszer):

Legyen $T\subseteq ℝ$ zárt intervallum; $M:\left(\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{T}^i\right)\to T$ olyan függvény, amely

1. Rögzített i-re folytonos;
2. Rögzített i-re: minden változójában szigorúan monoton;
3. Rögzített i esetén változóiban szimmetrikus (azok permutációira invariáns)
4. Rögzített i-re reflexív, azaz ha minden változója ugyanazon A értéket veszi fel, a függvény értéke is A;
5. teljesíti a dekompozíciós tulajdonságot, avagy a Bemporad-féle asszociativitást: M(x₁, x₂, … , x_n) = M(x, x, … , x, x_k+1, x_k+2, … , x_n); ahol x = M(x₁, x₂, … , x_n), és 1<k<n-1 és 1<n.

E definíció érdekessége az, hogy amint a két kutató egymástól függetlenül bizonyította; a fenti axiómákat egyetlen függvénycsalád elégíti ki: pontosan a kváziaritmetikai közepek családja. Tehát a fenti axiómarendszer a tetszőleges sok változón értelmezett kváziaritmetikai közepek axiomatikus definíciója. Hasonló eredményekre jutott Kolmogorov nyomán Bruno de Finetti is 1931-ben.

De Finetti mutatott példát olyan, statisztikában használt középféleségekre is, melyek nem aritmetikai közepek – az (antiharmonikus közép a szigorú monotonitást, a medián a Bemporad-asszociativitást nem teljesíti.

Megjegyzés: a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer nem egyértelmű/karakterisztikus jellemzése tetszőleges i-változós kváziaritmetikai középnek (i rögzítettségét feltételezve), csak ezek tetszőleges sok változóra egyszerre történő kiterjesztésének. Ha M definícióját úgy módosítjuk, hogy i rögzített legyen, akkor a fenti axiómarendszer nem feltétlenül az i-változós kváziaritmetikai közepet határozza meg.

Homogenitás

A közepektől többnyire elvárják, hogy homogének legyenek, de a legtöbb függvény esetén a kváziaritmetikai közép nem az. Kivétel csak a hatványközepek és a mértani közép homogén. Lásd Hardy–Littlewood–Pólya, 68. oldal.

A homogén tulajdonság elérhető, ha normalizáljuk az adatokat, amiknek a közepét számítjuk:

$M_{f,C}x=Cx\cdot f^{-1}\left(\frac{f\left(\frac{x_1}{Cx}\right)+\cdots +f\left(\frac{x_n}{Cx}\right)}{n}\right)$

Ahol $C$ homogén közép. Ez a módszer azonban elronthatja a közép monotonitását vagy particionáló tulajdonságát.

Példák

(A lenti példák közül valamennyi megfelel a kváziaritmetikai közép definíciójában foglalt feltételeknek; értelmezési tartományuk nem-elfajuló – noha nem feltétlenül korlátos – intervallum, melyen szigorúan monotonok és folytonosak (ezáltal, injektívek).

Közép elnevezése	Közép képlete $M(x_1,x_2,\dots ,x_n)$	Generátorfüggvény	értelmezés intervalluma
Számtani közép	$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$	$f(x)=x$	$ℝ=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$
Négyzetes közép	$\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$	$f(x)=x^2$	${ℝ}_0^{+}=[0,\mathrm{\infty })$
Harmonikus közép	$\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$	$f(x)=\frac{1}{x}$	${ℝ}^{+}=(0,\mathrm{\infty })$
Hatványközép (Hölder-közép)	${\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^{\alpha }\right)}^{\frac{1}{\alpha }}$	$f(x)=x^{\alpha }$ $(\alpha \in ℝ\setminus \{0\})$	${ℝ}_0^{+}=[0,\mathrm{\infty })$
Mértani közép	$\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$	$f(x)={\log }_v(x)$ $(v\in {ℝ}^{+}\setminus \{1\})$	${ℝ}^{+}=(0,\mathrm{\infty })$
Exponenciális közép	$\frac{1}{\alpha }\ln \left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{e}^{\alpha x_i}\right)$	$f(x)=e^{\alpha x}$ $(\alpha \in ℝ\setminus \{0\})$	$ℝ=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

Általánosítások

A kváziaritmetikai közép egy lehetséges általánosítása a súlyozott kváziaritmetikai közép. Legyen $f$ az $ℝ$ egy nem-elfajuló intervallumán értelmezett s azon szigorúan monoton és folytonos függvény, s legyen $n\in {\mathbb{N}}^{+}$, ekkor az $n$-változós súlyozott kváziaritmetikai közép definíciója:

$A_{f,𝐰}(x_1,x_2,\dots ,x_n)=f^{-1}(\sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i))$,

ahol $𝐰=(w_1,w_2,\dots ,w_n)\in (0,1{)}^n$ és $\sum _{i=1}^n{w}_i=1$.

Kolmogorov, Nagumo és de Finetti axiómarendszere nem nyújtja egyértelmű jellemzését ennek a bővebb, súlyozott függvénycsaládnak. A negyvenes évek végén Horváth János és Aczél János magyar kutatók vetették fel, hogy a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer némi módosításával a súlyozott kváziaritmetikai közepek is karakterizálhatóak egy függvényegyenlet-rendszerrel. A kilencvenes évek végén ezt a jellemzési problémát sikerült megoldaniuk.

Kapcsolódó szócikkek

• Kvázi-hatványközép

Források

• Réffy Júlia: Közepek és egyenlőtlenségek. Polygon (matematikai, szakdidaktikai közlemények), „Műhelysarok” rovat; XIV. köt. 1. sz. 2005./máj.; 61.-70.
• Daróczy Zoltán, Maksa Gyula, Páles Zsolt: Functional equations involving means and their Gauss composition
• Gheorge Thoader: means and double sequences
• Jean-Luc Marichal: On an axiomatization of the quasi-arithmetic mean values without the symmetry axiom Sablon:Wayback
• Aczél, J.; Dhombres, J. G. (1989) Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989.
• Andrey Kolmogorov (1930) “On the Notion of Mean”, in “Mathematics and Mechanics” (Kluwer 1991) — pp. 144–146.
• Andrey Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, pp. 388–391.
• John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65.
• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952) Inequalities. 2nd ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.

Fordítás

• Sablon:Fordítás