Hatványközép

Sablon:Nincs forrás A matematikában a hatványközepek a püthagoraszi közepek – úgy mint számtani, mértani, harmonikus – általánosításai. A hatványközepek további általánosítása a kváziaritmetikai közép, aminek értelmezés

$M_f(x_1,\dots ,x_n)=f^{-1}\left(\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^{n}f(x_i)\right)$

Ha itt f(x) = x^p, akkor visszajutunk a hatványközepekhez.

Definíció

Legyenek $x_1,x_2,\dots ,x_n$ nemnegatív valós számok. Ekkor ezen számok $k$-adik hatványközepe:

$S_k(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\left(\sum _{i=1}^n\frac{x_i^k}{n}\right)}^{\frac{1}{k}}$

Legyenek emellett $w_1,w_2,\dots ,w_n$ pozitív súlyok, és $w=\sum w_i$, ekkor definiálhatjuk $x_1,x_2,\dots ,x_n$ súlyozott hatványközepét:

$S_k(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\left(\sum _{i=1}^n\frac{w_i{x}_i^k}{w}\right)}^{\frac{1}{k}}$

Egyre normálva:

$S_k(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\left(\sum _{i=1}^{n}w{\text{'}}_i{x}_i^k\right)}^{\frac{1}{k}}$, ahol $w{\text{'}}_i=\frac{w_i}{w}$

Nevezetes hatványközepek

$\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_p(x_1,\dots ,x_n)=\min \{x_1,\dots ,x_n\}$	minimum
$S_{-1}(x_1,\dots ,x_n)=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}$	harmonikus közép
$\underset{p\to 0}{\lim }{S}_p(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\cdot \dots \cdot x_n}$	mértani közép
$S_1(x_1,\dots ,x_n)=\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$	számtani közép
$S_2(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt{\frac{x_1^2+\dots +x_n^2}{n}}$	négyzetes közép
$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_p(x_1,\dots ,x_n)=\max \{x_1,\dots ,x_n\}$	maximum

A hatványközép határértékei

Maximum és minimum

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_p(x_1,\dots ,x_n)=\max \{x_1,\dots ,x_n\}$,

ugyanis legyen $x=\max \{x_1,\dots ,x_n\}$ és $p>0$, ekkor

$x={\left(x^p\right)}^{\frac{1}{p}}\le S_p(x_1,\dots ,x_n)\le {\left(n{x}^p\right)}^{\frac{1}{p}}=n^{\frac{1}{p}}{\left(x^p\right)}^{\frac{1}{p}}\to x(p\to \mathrm{\infty })$,

$\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_p(x_1,\dots ,x_n)=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{S_p(\frac{1}{x_1},\dots ,\frac{1}{x_n})}=\frac{1}{\max \{\frac{1}{x_1},\dots ,\frac{1}{x_n}\}}=\min \{x_1,\dots ,x_n\}$.

Mértani közép

$\underset{p\to 0}{\lim }{S}_p(x_1,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}$, ahol $\sum _{i=1}^n{w}_i=1$.

A L’Hospital-szabály szerint

$\underset{p\to 0}{\lim }\frac{\log \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)}{p}=\underset{p\to 0}{\lim }\frac{1}{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}\cdot \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)=\frac{1}{\sum _{i=1}^n{w}_i}\cdot \underset{p\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n(w_i\cdot \log (x_i)\cdot x_i^p)=\sum _{i=1}^n{w}_i\log (x_i)$,

kihasználva az exponenciális függvény($e^x$) folytonosságát

$\underset{p\to 0}{\lim }\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}=\underset{p\to 0}{\lim }{e}^{\frac{\log \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)}{p}}=e^{\underset{p\to 0}{\lim }\frac{\log \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)}{p}}=e^{\sum _{i=1}^n{w}_i\log (x_i)}=\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}$.

Homogenitása

A legtöbb középértékhez hasonlóan homogén, azaz, ha $b>0$, akkor tetszőleges $k$-ra

$S_k(b{x}_1,\dots ,b{x}_n)=b{S}_k(x_1,\dots ,x_n)$

Bizonyítás

$S_k(b{x}_1,\dots ,b{x}_n)={(\sum _{k=1}^{n}w{\text{'}}_i(b{x}_i{)}^k)}^{\frac{1}{k}}={\left(b^k\sum _{k=1}^{n}w{\text{'}}_i{x}_i^k\right)}^{\frac{1}{k}}=b{\left(\sum _{k=1}^{n}w{\text{'}}_i{x}_i^k\right)}^{\frac{1}{k}}=b{S}_k(x_1,\dots ,x_n)$.

További tulajdonságai

• A hatványközepek mindig az adatok minimuma és maximuma közé esnek.
• A hatványközepek szimmetrikusak, argumentumaik permutálása nem változtat az értéken.
• Mivel a hatványközepek kváziaritmetikai közepek, blokkosíthatók:

$M_p(x_1,\dots ,x_{n\cdot k})=M_p[M_p(x_1,\dots ,x_k),M_p(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_p(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})]$

Hatványközepek közti egyenlőtlenség

Sablon:Bővebben A hatványközepek közti egyenlőtlenség kimondja, hogy az $f:ℝ\to ℝ,q\mapsto S_q(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ függvény a teljes értelmezési tartományán monoton nő. Azaz, ha $p<q$, akkor $S_p(x_1,x_2,\dots ,x_n)\le S_q(x_1,x_2,\dots ,x_n)$.

A fentiek szerint a hatványközepek közti egyenlőtlenség magában foglalja a püthagoraszi közepek közti egyenlőtlenséget.

Felhasználása

A hatványközepek nemlineáris mozgóátlagot jelentenek, ami kis p-re a kis értékek felé, nagy p-kre a nagy értékek felé tolódik el. Kis p-kre tömegspektrum bázisvonalának detektálására, nagy p-kre görbék burkológörbéjének meghatározására használják.

Ha adva van a smooth függvény, ami mozgó számtani közepet számol, akkor a mozgó hatványközép definiálható a következő Haskell kóddal:

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)