Hermitikus szeszkvilineáris forma

A hermitikus szeszkvilineáris forma a lineáris algebrában szeszkvilineáris formák egy típusa, a szimmetrikus bilineáris formákhoz hasonló szereppel.

Definíció

Legyen $V$ komplex vektortér. Egy hermitikus szeszkvilineáris forma egy $⟨,⟩:V\times V\to ℂ$ leképezés,

ami minden $x,y,z\in V$ vektorra és $a\in ℂ$ komplex számra teljesülnek a következők:

• $⟨x,a\cdot y+z⟩=a⟨x,y⟩+⟨x,z⟩$ lineáris az egyik argumentumban
• $⟨a\cdot x+y,z⟩=\bar{a}⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$ szemilineáris a másik argumentumban
• $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$ hermitikus

ahol $\bar{x}$ a komplex konjugálás.

A lineáris és a nem lineáris argumentum sorrendjéről nincs egységes konvenció.

Az első két feltétel meghatározza a szeszkvilineáris formát. A harmadik feltétel miatt lesz a forma hermitikus.

A hermitikus szeszkvilineáris formák a komplex számok teste fölött relevánsak. Valós számok fölött a hermitikus szeszkvilineáris formák egybeesnek a szimmetrikus lineáris formákkal. Komplex vektortéren a skalárszorzat hermitikus szeszkvilineáris forma. Tágabb értelemben egy moduluson definiált szeszkvilineáris forma hermitikus, ha $⟨x,y⟩=\sigma (⟨y,x⟩)$, ahol $\sigma$ involutorikus antiautomorfizmus a modulus skalárgyűrűjén. Ha $\epsilon$ a gyűrű centrumában van, akkor a szeszkvilineráris forma pontosan akkor $\epsilon$-hermitikus, ha $⟨x,y⟩=\epsilon \sigma (⟨y,x⟩)$ teljesül.

Tulajdonságok

A hermitikus szeszkvilineáris formákra teljesül a polarizációs formula. Ennek egyik következménye, hogy a hermitikus szeszkvilineáris formát átlós értékei meghatározzák.

A hermitikus standard forma:

$⟨\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}⟩=⟨(x_1,x_2,\dots ,x_n),(y_1,y_2,\dots ,y_n)⟩={\overline{x}}_1{y}_1+{\overline{x}}_2{y}_2+\cdots +{\overline{x}}_n{y}_n=\sum _{k=1}^n{\overline{x}}_k{y}_k$

Források

V. L. Popov: Hermitian form. In: Michiel Hazewinkel (szerk.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, Sablon:ISBN