Kvadratikus forma

A matematikában a kvadratikus forma egy függvény, ami bizonyos értelemben az $x\mapsto x^2$ másodfokú függvényhez hasonlóan működik. Például a kizárólag másodfokú tagokból álló polinomok kvadratikus formák. Erre egy példa egy vektor hosszának négyzete: $\overrightarrow{v}=(x,y,z,\dots )$:

$|\overrightarrow{v}{|}^2=x^2+y^2+z^2+\dots$

Kvadratikus formákkal a lineáris algebrán kívül is találkozhatunk. A geometriában metrikákat vezethetünk be velük, illetve az elemi geometriában kúpszeleteket írhatunk le vele. A racionális és az egész számok felett a számelméleti vizsgálódások klasszikus tárgya, ahol is kvadratikus formákkal ábrázolható számokat karakterizálnak.

Motiváció

Egy $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ skalárszorzattal ellátott $V$ valós vektortér normált térré tehető, amennyiben egy $x$ vektor normáját úgy értelmezzük, mint $\Vert x\Vert :=\sqrt{⟨x,x⟩}$ (indukált norma). Azonban a négyzetgyökvonás miatt nehezebb ezt a képletet általánosítani, és kapcsolatba hozni bilineáris formákkal, és más skalártestek fölötti vektorterekre általánosítani; ezért inkább a négyzetgyökvonás nélküli $q:x\mapsto ⟨x,x⟩$ leképezést tekintjük, és vizsgáljuk más testekben és vektorterekben. Ezeket az összefüggéseket találjuk:

$\begin{array}{cc}q(ax)=a^{2}q(x)& \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}a\in K\text{ s }x\in V\\ q(x+y)+q(x-y)=2q(x)+2q(y)& \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}x,y\in V\end{array}$

A fenti feltételeknek megfelelő $q:V\to K$ leképezéseket bilineáris formák nélkül is vizsgálhatjuk, és tovább általánosíthatjuk őket egységelemes kommutatív gyűrűk fölötti modulusokra. Gyakran vizsgált skalárgyűrű az egész számok $\mathbb{Z}$ gyűrűje, illetve a ${\mathbb{Z}}^n$ modulus, különösen a ${\mathbb{Z}}^2$ modulus.

Definíció

n határozatlanú kvadratikus forma

Egy $A$ egységelemes kommutatív gyűrű fölötti ($n$ határozatlanú) kvadratikus forma egy ($n$ határozatlanú) homogén másodfokú polinom $A$-beli együtthatókkal.

Az algebrában a forma fogalmát Legendre vezette be.

Speciális esetek

• Az $n=2$ esetben binér kvadratikus formákról beszélünk. Egy binér kvadratikus forma egy $a{X}^2+bXY+c{Y}^2$ alakú polinom, ahol $a,b,c\in A$.
• Az $n=3$ esetben ternér kvadratikus formákról van szó, melyek alakja $a{X}^2+bXY+cXZ+d{Y}^2+eYZ+f{Z}^2$, ahol $a,\dots ,f\in A$.

Kvadratikus formák modulusok fölött

Általánosabban a kvadratikus formákat modulusok fölött definiálják. Legyen $M$ modulus; ekkor egy $M$ fölötti kvadratikus forma egy $q:M\to A$ leképezés a következő tulajdonságokkal:

• Minden $a\in A$ és $x\in M$ esetén $q(ax)=a^{2}q(x)$.
• Definiáljuk a $b(x,y):=q(x+y)-q(x)-q(y)$ $b:M\times M\to A$ leképezést, ami lineáris mindkét argumentumában, vagyis bilineáris forma $M$ fölött. Ez automatikusan szimmetrikus, vagyis $b(x,y)=b(y,x)$. Ez a $q$-hoz tartozó szimmetrikus bilineáris forma.

Egy fenti értelemben vett kvadratikus forma a modulusok fölötti definíció szerint kvadratikus forma $A^n$ fölött.

Kvadratikus modulus

Egy kvadratikus modulus egy $(M,q)$ pár, ahol $M$ egy A fölötti modulus, és $q$ kvadratikus forma $M$ fölött.

Legyen $b$ a $q$-hoz tartozó szimmetrikus bilineáris forma. Ekkor az $x,y\in M$ elemek $q$-ortogonálisak, illetve $b$-ortogonálisak, ha $b(x,y)=0$

Kvadratikus tér

Egy $(V,q)$ kvadratikus modulus kvadratikus tér, ha $V$ vektortér. Ekkor a hozzá tartozó skalárgyűrű test.

Tulajdonságok

A következőkben feltételezzük, hogy a $2$ invertálható az $A$ gyűrűben. Ez kizárja a további jellemzésből a 2 karakterisztikájú gyűrűket. Mivel a valós és a komplex számok karakterisztikája különbözik 2-től, és a 2 invertálható mindkettőben, így ennek a feltételnek megfelel.

Hozzárendeljük a $q(x)=\sum _{1⩽i⩽j⩽n}{q}_{ij}{x}_i{x}_j$ kvadratikus formához a $Q=(q_{ij}$, $i⩽j$ háromszögmátrixot, ahol a fennmaradó elemek nullák. Ezzel $q(x)$ felfogható úgy is, mint $x^{T}Qx$, és úgy is, mint $x^T{Q}^{T}x$.

Kapcsolat a szimmetrikus bilineáris formákkal: Van egy egy-egyértelmű megfeleltetés az $n$ határozatlanú kvadratikus formák és az $A^n$ fölötti bilineáris formák között:

Egy $q$ kvadratikus formához megkapható a hozzá tartozó $B$ szimmetrikus bilineáris forma polarizációval:

$B(x,y)=\frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y)).$

Megfordítva

$q(x)=B(x,x).$

Formálisan nézve ez a konstrukció csak egy polinomfüggvényt ad; azonban ténylegesen polinom kapható, ha a bilineáris formát mátrixszal ábrázoljuk, vagy kiterjesztjük tetszőleges $A$-algebrára.

Formák ekvivalenciája: Ha $S$ $n$ soros mátrix, akkor az $y=Sx$ helyettesítéssel egy $y^T(S^{T}QS)y$ kvadratikus formához jutunk. Ha $S$ invertálható, akkor az új formából visszakaphatjuk a régit. Összességében definiálható egy $\mathrm{\Gamma }$ mátrixcsoport a kvadratikus formákon vett ekvivalenciareláció bevezetésével. Ezek a $\mathrm{\Gamma }$-ekvivalens kvadratikus formák.

Definitség: Valós vagy komplex formák esetén alkalmazhatók a mátrixkritériumok a $Q+Q^T$ mátrixra, így állítások tehetők arra, hogy a forma milyen előjelű értékeket vesz fel ${ℝ}^n$-en. Ennek megfelelően lehet a kvadratikus forma pozitív definit, negatív definit, illetve indefinit. Ha nullvektortól különböző értékeken is felvehet nullát, akkor lehet pozitív szemindefinit, negatív szemindefinit vagy indefinit.

Példák

Valós kvadratikus formák

Legyen $V$ valós vektortér; ekkor Sylvester tehetetlenségi tétele miatt minden $q:V\to ℝ$ kvadratikus forma diagonizálható, tehát létezik olyan $e_1,\dots ,e_n$ bázis $V$-ben, úgy, hogy

$q({\lambda }_1{e}_1+\cdots +{\lambda }_n{e}_n)={\lambda }_1^2+\cdots +{\lambda }_a^2-{\lambda }_{a+1}^2-\cdots -{\lambda }_{a+b}^2$

alkalmas $a,b$-re, ahol $a+b\le n$. Egy kvadratikus forma izomorfizmusosztályát meghatározza $a+b$ rangja, és $a-b$ szignatúrája.

Kvadratikus formák számtestek fölött

A $\mathbb{Q}$ fölötti kvadratikus formákat Minkowski osztályozta. Hasse kiterjesztette ezt a klasszifikációt számtestekre. Pontosabban, két kvadratikus forma akkor és csak akkor izomorf, ha minden teljessé tételük (valós, komplex, p-adikus) izomorf, lásd Hasse–Minkowski-tétel.

Kvadratikus formák egész számok fölött

Azt mondják, hogy az egész számok fölött két pozitív definit kvadratikus forma, $(V,q),(V^{\prime },q^{\prime })$ neme megegyezik, ha minden $n\in \mathbb{N}$-re az $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ skalárral bővítés (vagyis tenzorszorzás $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-nel) izomorf kvadratikus formákat kapunk $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-en. Az ugyanolyan nemű izomorfiaosztályok számát Smith–Minkowski–Siegel súlyformulájával lehet meghatározni.

Elemi számelmélet

Sok eredmény van arra, hogy egy adott, egész számok fölötti kvadratikus formula felvehet-e egy adott értéket. Ehhez meg kell jegyezni, hogy

• ${\mathrm{SL}}_n(\mathbb{Z})$ az n soros, egészeket tartalmazó 1 determinánsú mátrixok csoportja
• ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z})$ az n soros, egészeket tartalmazó ±1 determinánsú mátrixok csoportja

melyek önmagukra képezik a ${\mathbb{Z}}^n$ rácsot és a ${\mathbb{Z}}^n$-beli relatív prímek halmazát, így a további eredmények ekvivalens kvadratikus formák egész családjaira állnak fenn.

Ismert példák:

• $x^2+y^2$ alakú négyzetszámok: Az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet egészeken vett megoldásai pitagoraszi hármasok. A legismertebb példa az $3^2+4^2=5^2$ egyenlőség. Ez a végtelen sok megoldás közül a legkisebb. A fenti paraméteres leíráson túl a pitagoraszi hármasokról további információk találhatók a szakirodalomban.
• Az $w^2+x^2+y^2+z^2$ alakú számok: A kvadratikus forma első ismert példája, amivel minden természetes szám előállítható. Ez a négynégyzetszám-tétel.
• Az $a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=0$ egyenlet egész megoldásai, ahol $a,b,c$ egészek, páronként relatív prímek, négyzetmentesek, és nem mind ugyanolyan előjelűek. Csak olyan nem triviális megoldások léteznek, hogy $-ab(\mathrm{mod}c)$, $-bc(\mathrm{mod}a)$ és $-ca(\mathrm{mod}b)$ kvadratikus maradékok. Ez Legendre eredménye.
• Az $x^2+y^2$ alakú prímszámok: Ezek pontosan a 2 és a $\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ alakú prímszámok. Történelmi jelentőségű megfigyelés, Fermatra megy vissza. Egy modern bizonyítás megtalálható a Das BUCH der Beweise 4. fejezetében.
• Az $x^2+xy+y^2$ alakú prímszámok: Ezek a 3 és az $\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ alakú prímszámok.
• Az $x^2+n{y}^2$ alakú prímszámok: Cox könyve foglalkozik a kérdéssel..

Ha két kvadratikus forma mátrix alkalmazásával átvihető egy másikba, akkor egy egész szám pontosan akkor ábrázolható az egyik kvadratikus forma értékével, ha a másik értékével is ábrázolható. Ez közvetlenül adódik a definícióból: $(Aq)(x_1,\dots ,x_n)=q(A^{-1}{x}_1,\dots ,A^{-1}{x}_n)$. A számelmélet szempontjából a $q$ és az $Aq$ kvadratikus formák ekvivalensek, és felmerül a kérdés, hogy találjunk egy lehetőleg egyszerű reprezentációs rendszert az $n$ változós kvadratikus formák számára modulo $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ hatására. A kétváltozós kvadratikus formák esetén Gauß is foglalkozott a témával, a Disquisitiones Arithmeticae 5. fejezetében, 260 oldalon át, ami a könyv fő része.

Mai nyelven szólva, ez azt jelenti pozitív definit kvadratikus formák esetén, hogy a cél találni egy fundamentális tartományt $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ hatásához az $\mathrm{GL}(n,ℝ)/O(n)$ szimmetrikus téren (a pozitív definit kvadratikus formák terén).

Az SL(2,ℤ) hatásának fundamentális tartományai a hiperbolikus síkon

Az $n=2$ esetben a $\mathrm{GL}(2,ℝ)/O(2)$ pozitív definit binér kvadratikus formák azonosíthatók a hiperbolikus síkkal. Az ábra a hiperbolikus sík felbontását mutatja $\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})$ szerinti fundamentális tartományokra. Egy ilyen fundamentális tartomány (mint például az ábrán szürkére színezett) a binér kvadratikus formák egy reprezentánsrendszerét adja, úgy, hogy minden pozitív definit binér kvadratikus forma ekvivalens egy kvadratikus formával a kvadratikus tartományból, így ugyanazokat az egész számokat ábrázolja.

Hasonló, kapcsolódó problémák a kvadratikus formák terén kívül a nagy Fermat-tétel és a Waring-probléma.

Kapcsolódó fogalom

Egy kvadratikus forma (projektív) nullhelyeinek halmaza a kvádrika.

Lásd még

• Forma (algebra)

Források

• Martin Kneser, Rudolf Scharlau: Quadratische Formen. Springer Verlag, 2002, Sablon:ISBN (Vorlesungen von Kneser in den 1970er und 1980er Jahren in Göttingen, neu herausgegeben von Scharlau)
• Winfried Scharlau: Quadratic and Hermitian Forms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 270. Springer Verlag, 1985
• John Milnor, Dale Husemöller: Symmetric bilinear forms. Springer Verlag, 1973