Sylvester tehetetlenségi tétele

A lineáris algebrában Sylvester tehetetlenségi tétele kijelentéseket tesz bilineáris formák együtthatómátrixairól, és azt állítja, hogy bizonyos tulajdonságok bázisváltás hatására sem tűnnek el.

A tételt J. J. Sylvester brit matematikusról nevezték el.

Legyen $V$ véges dimenziós komplex vektortér, és legyen $s:V\times V\to ℂ$ hermitikus szeszkvilineáris forma. Ekkor a $V_0$ elfajulási tér

$V_0:=\{v\in V:(\mathrm{\forall }w\in V)s(v,w)=0\}$.

A tétel kimondja, hogy előáll a

$V=V_{+}\oplus V_{-}\oplus V_0$

direkt összeg, ahol $s(v,v)>0$ minden $v\in V_{+}\setminus \{0\}$ vektorra, és hasonlóan $s(v,v)<0$ minden $v\in V_{-}\setminus \{0\}$ vektorra.

Ez azt is jelenti, hogy választható bázis $V$-ben úgy, hogy az $s$ hermitikus szeszkvilineáris formát ábrázoló $A$ mátrix diagonális legyen:

$A:=\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& \dots & 0& 0& \dots & 0\\ 0& \ddots & 0& & & & & & ⋮\\ 0& 0& 1& 0& & & & & 0\\ 0& & 0& -1& 0& & & & 0\\ ⋮& & & 0& \ddots & 0& & & ⋮\\ 0& & & & 0& -1& 0& & 0\\ 0& & & & & 0& 0& 0& 0\\ ⋮& & & & & & 0& \ddots & 0\\ 0& \dots & 0& 0& \dots & 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Továbbá ennek a mátrixnak a főátlóján csak az 1, –1 és 0 számok fordulnak elő, és a főátlón kívül minden elem nulla.

Ha $A\in {ℝ}^{n\times n}$ szimmetrikus mátrix, és $S\in GL(n,ℝ)$ invertálható mátrix, akkor a tételből következik, hogy $A$ és $S^{T}AS$ pozitív és negatív sajátértékei multiplicitással megegyeznek. Ez nem triviális, hiszen egy négyzetes mátrix sajátértékei csak az $S^{-1}AS$ transzformációra invariánsak, nem pedig $S^{T}AS$-ra.

A tétel nem teljesül hermitikus bilineáris formákra.

Legyenek most az $V_{+}$, $V_{-}$ és $V_0$ alterek definiálva, mint korábban. Ekkor a tételből következik, hogy az

$\begin{array}{cc}{r}_{+}(s)& :=\dim (V_{+}),\\ r_{-}(s)& :=\dim (V_{-})\text{ és}\\ r_0(s)& :=\dim (V_0)\end{array}$

számok invariánsak az $s:V\times V\to ℂ$ hermitikus szeszkvilineáris formákra. Így például

$r_{+}(s)=\max \{\dim (W):W\subseteq V$ altér és $(\mathrm{\forall }w\in W\setminus \{0\})s(w,w)>0\}$. Hasonló teljesül $r_{-}(s)$-re is. A direkt felbontásból következik az $r_{+}(s)+r_{-}(s)+r_0(s)=\dim (V)$ egyenlőség is. Az $\sigma (s):=(r_{+}(s),r_{-}(s),r_0(s))$ hármast nevezik tehetetlenségi indexnek vagy (Sylvester)-szignatúrának is.

Források

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14., durchgesehene Auflage. (Vieweg, Wiesbaden, 2003) Sablon:ISBN.