Diagonális mátrix

Diagonális mátrix vagy diagonálmátrix olyan $A = (a_{i j})$ négyzetes mátrix, melynek minden főátlón kívüli eleme nulla:

a_{i j} = 0

minden

i \neq j

-re. Másképp fogalmazva: a diagonális mátrixok olyan speciális háromszögmátrixok, amelyek egyszerre alsó és felső háromszögmátrixok.

A diagonális mátrixot szokás így is jelölni:

d i a g (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})

, ahol

a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}

a főátló elemei.

Érdemes megemlíteni, hogy a diagonális mátrix főátlóbeli elemei szintén lehetnek zérók (akár mindegyik: a nullmátrix is diagonális mátrix).

Példa: A

[\begin{matrix} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix}] = d i a g (- 3, 1, 0, 4)

mátrix diagonális.

További diagonális mátrixok: az egységmátrix, valamint az egyelemű mátrix (tehát a skalár).

Műveletek

d i a g (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) + d i a g (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) = d i a g (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n})

d i a g (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \cdot d i a g (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) = d i a g (a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \dots, a_{n} b_{n})

d i a g (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})^{N} = d i a g (a_{1}^{N}, a_{2}^{N}, \dots, a_{n}^{N})

A $d i a g (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ diagonális mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha összes főátlóbeli $a_{i}$ eleme nullától különböző, ekkor:

d i a g (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})^{- 1} = d i a g (a_{1}^{- 1}, a_{2}^{- 1}, \dots, a_{n}^{- 1})

Az $A = d i a g (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ diagonális mátrix determinánsa főátló elemeinek szorzatával egyenlő:

\det A = a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}

.