Szignatúra (lineáris algebra)

Egy szimmetrikus bilineáris forma szignatúrája egy olyan számhármas, ami független a bázisválasztástól. A definíciót Sylevester tehetetlenségi tétele alapozza meg, melyet JJ Sylvesterről neveztek el. Emiatt Sylvester-szignatúrának is nevezik.

A lineáris algebra mellett még a differenciálgeometria különböző területein is felbukkan.

Definíció

Legyen $V$ véges dimenziós valós vektortér, és legyen $s:V\times V\to ℝ$ szimmetrikus bilineáris forma. Sylvester tehetetlenségi tétele miatt választhatunk bázist úgy, hogy az ábrázoló mátrix így néz ki:

$A:=\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& \dots & 0& 0& \dots & 0\\ 0& \ddots & 0& & & & & & ⋮\\ 0& 0& 1& 0& & & & & 0\\ 0& & 0& -1& 0& & & & 0\\ ⋮& & & 0& \ddots & 0& & & ⋮\\ 0& & & & 0& -1& 0& & 0\\ 0& & & & & 0& 0& 0& 0\\ ⋮& & & & & & 0& \ddots & 0\\ 0& \dots & 0& 0& \dots & 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$.

Ez egy átlós mátrix, melynek főátlóján csak $1$, $-1$ és $0$ szerepel, a többi elem pedig nulla.

A továbbiakban jelölje $r_{+}(s)$ a mátrixban levő $1$-esek, $r_{-}(s)$ a -1-esek és $r_0(s)$ az átlón levő nullák számát! Ekkor $\sigma (s):=(r_{+}(s),r_{-}(s),r_0(s))$ az $s$ szimmetrikus bilineáris forma (Sylvester)-szignatúrája. Ez jóldefiniált, mivel minden szimmetrikus bilineáris forma esetén létezik ilyen bázis.

Ha az $A$ mátrix főátlóján nincsenek nullák, azaz a szimmetrikus bilineáris forma nem elfajuló, akkor néha elhagyják a nullára utaó elemet, és a $\sigma (s):=(r_{+}(s),r_{-}(s))$ párost nevezik szignatúrának. Ekkor nevezik ezt is szignatúrának:

$\mathrm{sign}(s):=r_{+}(s)-r_{-}(s)$

különösen nem elfajuló esetben. Néha a $r_{-}(s)$ mennyiséget indexnek nevezik.

A szignatúra fogalmát $A\in {ℝ}^{n\times n}$ szimmetrikus mátrixokra is kiterjesztik. Ez megegyezik $s(x,y)=x^{T}Ay,$ $x,y\in {ℝ}^n$ szignatúrájával.

A Minkowski-metrika szignatúrája

Egy fontos példa a fizikából ismert Minkowski-metrika, ami a speciális relativitáselmélet szempontjából fontos. Ez egy szimmetrikus bilineráris forma, melynek ábrázolómátrixa

$\eta =\pm \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$.

ahol ${\eta }_{00}$ az időkoordináta, aminek előjele különbözik a térkoordinátáktól. Ennek szignatúrája $(1,3)$, ahol az időnek pozitív az előjele. Írják úgy is, mint $(+,-,-,-)$, és az angol nyelvű szakirodalomban West Coast conventionnek nevezik. A $(3,1)$ fordított szignatúra, úgy is, mint $(-,+,+,+)$, és az angol nyelvű szakirodalomban East Coast conventionnek hívják.

A metrika szignatúrájának segítségével osztályozhatók a vektorok saját magukkal vett skalárszorzatuj alapján. Ha $u$ vektor, akkor $\eta (u,u)$ az önmagával vett skalárszorzata. Az $(-,+,+,+)$ konvenció szerint:

• $\eta (u,u)>0$ térszerű
• $\eta (u,u)=0$ fényszerű
• $\eta (u,u)<0$ időszerű

és a $(+,-,-,-)$ konvenció alapján:

• $\eta (u,u)>0$ időszerű
• $\eta (u,u)=0$ fényszerű
• $\eta (u,u)<0$ térszerű

Meghatározása

Ahhoz, hogy kiszámítsuk egy $s:V\times V\to ℝ$ szimmetrikus bilineáris forma szignatúráját, nem kell diagnoziálni az ábrázoló mátrixot. Legyen $B$ egy mátrix, ami az $s$ szimmetrikus bilineáris formát ábrázolja! Ekkor ez felfogható egy endomorfizmust ábrázoló mátrixként, és meghatározhatók a sajátértékei. Jelölje $r_{+}(s)$ a pozitív, az $r_{-}(s)$ a negatív sajátértékek számát, $r_0(s)$ pedig a 0 sajátérték multiplicitását! Ekkor

$\sigma (s):=(r_{+}(s),r_{-}(s),r_0(s))$

az $s$ szignatúrája.

Példa

Legyen $s(x,y)=\frac{1}{2}{x}_1{y}_2+\frac{1}{2}{y}_1{x}_2$ szimmetrikus bilineáris forma! Ennek ábrázoló mátrixa a kanonikus bázisban

$M_{𝒦}(s)=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$

Ha ezt a mátrixot ${ℝ}^2$ önadjungált endomorfizmusaként fogjuk fel, akkor a spektráltétel szerint van sajátvektoroknak egy ortonormált bázisa, melyben $S^t{M}_{𝒦}(s)S$ diagonális. Ha az összes sajátvektort megszorozzuk $|{\lambda }_i{|}^{-\frac{1}{2}}$ mennyiségekkel, ahol ${\lambda }_i$ a megfelelő sajátérték, és ezután diagonizáljuk a mátrixot, akkor a mátrix átlóján 1 és -1 értékek szerepelnek. Ekkor közvetlenül leolvasható a szignatúra. Példánkban a sajátértékek $\frac{1}{2}$ és $-\frac{1}{2}$; az ortonormált sajátvektorok $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$ és $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$. Beszorozzuk ezt a bázist $|{\lambda }_i{|}^{-\frac{1}{2}}$-nel, akkor a transzformációs mátrix

$T=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

és a bázistranszformáció:

$T^t{M}_{𝒦}(s)T=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Tehát a mátrix által ábrázolt bilineáris forma szignatúrája $(1,1,0)$. Valójában a bilineáris formáknak nincsenek sajátértékei; ez a számítás egy módja.

A fenti diagonális forma Gauß-eliminációval is számítható, amikor is nemcsak a sorokat, hanem az oszlopokat is elimináljuk.

Speciális esetek

Adva legyen egy szimmetrikus, nem szinguláris mátrix. Ekkor a szignatúra:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(A)=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(A_1)+v_g-v_a.$

ahol $A_1$ az $A$ főminora. Az első két mennyiség a további minorok determinánsának számításával adódik, ahol azonban csak az előjel a fontos. $v_g$ az ugyanolyan előjelű $\det (A_k)$ és $\det (A_{k+1})$ minorok száma, és $v_a$ a különböző előjelű $\det (A_k)$ és $\det (A_{k+1})$ párok száma.

Differenciálgeometria

A differenciálgeometriában a szimmetrikus bilineáris formákat általánosítják differenciálható sokaságokra másodfokú szimmetrikus kovariáns sima tenzormezőkké. Egy ilyen tenzormező a helyi érintőmezőn bilineáris formaként hat. Ha a szignatúra a sokaság minden pontjában ugyanaz, és nem elfajuló, akkor pszeudo-Riemann-metrikáról beszélünk, és a sokaságot pedig pszeudo-Riemann-sokaságnak nevezzük. Ezekkel a sokaságokkal a pszeudo-Riemann-geometria foglalkozik, és fontos szerephez jutnak a fizikában.

A differenciálgeometrián belül a globális analízis szignatúrával látja el a sokaságokat. A definícióhoz választ egy speciális bilineáris formát, melynek szignatúrájával ellátja a sokaságot. Ebben a témakörben Hirzebruch szignatúratétele központi jelentőségű, mivel kapcsolatba hozza a bilineáris forma szignatúráját, mint invariánst a sokaság egy invariánsával.

Legyen $M$ kompakt irányítható sima sokaság, melynek $n$ dimenziója 4-gyel osztható. Jelölje továbbá $H^{*}(M)$ az $M$ De–Rham-kohomológiáját. Tekintjük azt az $s:H^{\frac{n}{2}}(M)\times H^{\frac{n}{2}}(M)\to ℝ$ bilineáris formát, melynek definíciója:

$(\alpha ,\beta )\mapsto \underset{M}{\int }\alpha \wedge \beta$

Ez szimmetrikus, és a Poincaré-dualitás miatt nem elfajuló, vagyis $r_0(s)=0$. Ekkor az $M$ sokaság szignatúrája az $s$ bilineáris forma szignatúrája, azaz

$\mathrm{sign}(M):=\mathrm{sign}(s)=r_{+}(s)-r_{-}(s).$

Források

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, Sablon:ISBN.
• Sablon:Cite book