Kanonikus bázis

A lineáris algebrában a kanonikus bázis, úgy is, mint standard vagy természetes bázis egy bázis, melyet egy vektortér bázisai közül annak konstrukciója tüntet ki.

Általában véve egy vektortér bázisa független generátorrendszer, ami a következőket jelenti:

• A vektortér minden vektora előáll a halmaz vektorainak lineáris kombinációjaként
• A halmazból csak úgy lehet előállítani a nullvektort, hogy csupa nulla együtthatót használunk.

Ezeket az együtthatókat a vektorok koordinátáinak nevezik az adott bázisban.

A vektortereknek van bázisuk, ám nincs feltétlenül a konstrukcióból adódó kitüntetett bázisuk. Például a sík eltolásai vektorteret alkotnak, de egyik bázisa sincs kitüntetve. Megadható egy bázis úgy, mint: a jobbra egy egységgel eltoló eltolás és a felfelé egy egységgel eltoló eltolás, de mivel a jobbra, felfelé és az egység szavak jelentése konvención alapulnak, azért ez nem standard bázis.

Tekintsük a kétszer differenciálható $f:ℝ\to ℝ$ függvényeket, és minden $x\in ℝ$ esetén teljesítik az $f(x)+f^{″}(x)=0$ egyenlőséget. Ez egy kétdimenziós valós vektortér, melynek egy bázisa a szinusz- és a koszinuszfüggvényből áll. Ez szintén nem tekinthető természetes bázisnak.

Standard terek standard bázisai

Az euklideszi sík standard bázisa

Többnyire elsőként vezetik be a standard ${ℝ}^n$ tereket, ahol $n\in \mathbb{N}$. Az ${ℝ}^n$ terek elemei valós szám-$n$-esek. Az ${ℝ}^n$ bázisai közül kitüntetettek azok, melyekben a vektorok koordinátái megegyeznek az ábrázoló $n$-esek elemeivel. Kitüntetett az a bázis, melynek elemei az $e_1,\dots ,e_n$ vektorok, ahol

$\begin{array}{ccc}{e}_1& =& (1,0,0,\dots ,0),\\ e_2& =& (0,1,0,\dots ,0),\\ & ⋮& \\ e_n& =& (0,0,0,\dots ,1)\end{array}$

Ez ${ℝ}^n$ standard bázisa. Hasonlók teljesülnek a $K^n$ vektorterekben, ahol $K$ tetszőleges test. Ekkor a standard bázisvektorok $e_1=(1,0,\dots ,0),\dots ,e_n=(0,\dots ,0,1)$.

Példa

Az ${ℝ}^2$ tér standard bázisa az $e_1=(1,0)$ és $e_2=(0,1)$ vektorokból áll. A bevezetőben említett példák izomorfak az ${ℝ}^2$ térrel, azonban nincs standard bázisuk. Következtetésképpen nincs kitüntetett izomorfizmus ezen terek és az ${ℝ}^2$ tér között.

Jelölés

A standard bázisvektorok elterjedt jelölése $e_1,e_2,\dots$. Az ${ℝ}^3$ tér standard bázisvektorait természettudományi alkalmazásokban gyakran $𝐢,𝐣,𝐤$ jelöli:

$𝐢=e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),𝐣=e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),𝐤=e_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

További tulajdonságok

Az ${ℝ}^n$ tér konstrukciójából adódóan további tulajdonságokkal bír. A standard skalárszorzat szerint a standard bázis ortonormált.

Standard bázis mátrixterekben

A mátrixok $K^{m\times n}$ terei vektorteret alkotnak a mátrixok összeadására és a skalárral szorzásra. A standard bázist az $E_{ij}$ mátrixok alkotják, ahol a mátrixokban pontosan egy elem egyezik meg a $K$ test egységelemével, a többi elem pedig a $K$ test nulleleme. Például a $(2\times 2)$-es mátrixok esetén a standard bázis elemei:

$E_{11}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),E_{12}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),E_{21}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),E_{22}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Standard bázis végtelen dimenziós terekben

Ha $K$ test, és $M$ halmaz, akkor $M$ elemeinek véges lineáris kombinációi vektorteret alkotnak, ha az együtthatók $K$-beliek. Ekkor $M$ bázisa az így definiált vektortérnek, mégpedig standard bázisa.

Alternatívan, a lineáris kombinációk helyett tekinthetjük azokat az $f:M\to K$ leképezéseket, amelyeknél majdnem minden $x\in M$ esetén teljesül, hogy $f(x)=0$. Ha $m\in M$, akkor legyen $e_m:M\to K$ az az $M\to K$ leképezés, amire:

$e_m(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{ha }x=m\\ 0,& \text{ha }x\ne m\end{array}$

Ekkor az $\{e_m{\}}_{m\in M}$ család a vektortér bázisát alkotja, ebben az esetben a standard bázisát.

Amennyiben $M$ végtelen, úgy az összes $f:M\to K$ leképezésnek nincs standard bázisa.

A testek fölötti polinomgyűrűk szintén vektorterek, ahol a konstrukció eleve kitüntet egy bázist. Ez az $ℝ[X]$ polinomgyűrű esetén az $1,$ $X,$ $X^2,$ $X^3\dots$ monomokból áll.

Források

• Kowalsky und Michler: Lineare Algebra, Gruyter, Sablon:ISBN
• Albrecht Beutelspacher: „Das ist o.B.d.A. trivial!“ 9. aktualisierte Auflage, Vieweg + Teubner, Braunschweig und Wiesbaden 2009, Sablon:ISBN, s. v. „Kanonisch“